應力與應變分析方法講解和狀態(tài)

1、應力與應變分析方法講解和狀態(tài)8-1 一點的應力狀態(tài)8-3 平面應力狀態(tài)分析解析法8-4 平面應力狀態(tài)分析圖解法8-5 三向應力狀態(tài)第八章 應力與應變分析8-8 廣義胡克定律8-9 復雜應力狀態(tài)下的應變比能8-10 強度理論概述8-11 四種常用強度理論小 結1一點的應力狀態(tài)8-1 一點的應力狀態(tài)一、一點的應力狀態(tài)受力構件一點處各個不同截面上的應力情況2研究應力狀態(tài)的目的找出該點的最大正應力和切應力數值及所在截面的方位，以便研究構件破壞原因并進行失效分析。1)代表一點的應力狀態(tài)；單元體法1單元體2)每個面上的應力均布，應力正負用箭頭方向表示；3)平行面上的應力大小相同、方向相反；4)三個相互垂直

2、面上的應力已知。二、研究應力狀態(tài)的方法圍繞構件內一點截取的微小正六面體。具有以下特點：2單元體上的應力分量1)單元體上的應力分量共有 九個，獨立分量有六個；2)應力分量的角標規(guī)定：xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz第一角標表示應力作用面，第二角標表示應力平行的軸；兩角標相同時，只用一個角標來表示。例如txy表示x面上平行于y軸的切應力，sx表示x面上平行于x軸的正應力；3)面的方位用其法線方向表示，例如x面表示法線平行 于x軸的面；4)切應力互等定理：3截取單元體的方法與原則1)在一點用與三個坐標軸(笛卡

3、爾坐標和極坐標，依 問題和構件形狀而定)垂直的平面截取，因其微小， 看成微小正六面體；2)單元體各個面上的應力已知或可求；3)幾種受力情況下截取單元體方法：8-1 一點的應力狀態(tài)FMeMeFFMeMe橫截面、周向面、直徑面各一對，從上表面截取Ctss橫截面、周向面、直徑面各一對B一對橫截面，兩對縱截面As=F/Ast=Me /WpABCFCABBtBCtCsCsCAsAsA1主應力、主單元體、主平面的概念三、應力狀態(tài)的分類(按主應力)1)主平面：單元體上切應力為零的平面2)主單元體：各面均為主平面的單元體，主單元體上有三對主平面；旋轉yxzs2s3s1sxsztxytxztzxtzytyzty

4、xsy3)主應力：主平面上的正應力，用s1、s2、s3表示，且s1s2s3。xyz(找主平面、主單元體和主應力)2應力狀態(tài)按主應力分類1)單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不為零的應力狀態(tài)；2)平面應力狀態(tài)：有二個主應力不為零的應力狀態(tài)，也稱為二向應力狀態(tài)；3)三向應力狀態(tài)：三個主應力均不為零的應力狀態(tài)，也稱為空間應力狀態(tài)；4)單向應力狀態(tài)又稱為簡單應力狀態(tài)；平面和空間應 力狀態(tài)又稱為復雜應力狀態(tài)。4)圍繞一點至少存在一個主單元體，應力分析的主 要目的就是尋找主單元體和主應力。8-3 平面應力狀態(tài)分析解析法1平面應力狀態(tài)的表示方法(一般表現形式)一、平面應力狀態(tài)分析的解析法平面應力狀態(tài)一般表現為：單

5、元體上有一對側面應力為零，而其它四個側面上應力都平行于應力為零的側面。sxtxysysysxtyxsytyxtxysxsx2任意a角斜截面以及與之相垂直斜截面上的應力1)公式推導sxtxysysysxtyxABxydAsxtxytyxsyxxsatatxysytyxsasxantasxtxysysysxtyxABdAsataanta2)a角斜截面應力公式由三角變換得單元體上所繪s、t，數值代表大小，箭頭方向代表正負。4)推導公式時，sx、sy、txy、a 角均假設為正，實際計算時應 代入各參量的正負。s ：拉為正，壓為負；a ：以x軸正向為起線，逆時針轉 至外法線方向者為正，反之為負；t ：使

6、微元產生順時針轉動趨勢者為正；反之為負。ax3主應力及其方位1)由主平面定義：，得：可求出兩個相差90o的a0值，對應兩個互相垂直主平面。2)即主平面上的正應力取得所有方向正應力的極值。3)主應力大?。?)由s 、s 、0按代數值大小排序得出：5)判斷s、s作用方位(與兩個a0如何對應)txys s a0*a)由： 求得一個a0：b)txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s(較大主應力) 在第幾象限，即先判斷s 大致方位，再判斷其與算 得的a0相對應，還是與 a0+90o相對應。6)txys s a0*1)4極值切應力2)極值切應力：可求出兩個相差90o的a1值，對應兩個互相垂直的極值切應力方位

7、。3)極值切應力方位與主應力方位的關系：極值切應力平面與主平面成45o例8-1 圖示單元體，試求：a=30o斜截面上 的應力；主應力并畫出主單元體； 極值切應力。403020單位：MPaasata402030解：1) a=30o斜截面上的應力2)主應力與主單元體3)極值切應力4)討論并證明：同一單元體任意垂直平面上的正應力之和為常數。14.9os s s s tABCD例8-2 分析圓軸扭轉時的應力狀態(tài)。MeMeDCBA3)圓軸扭轉時，任意點為純剪切應力狀 態(tài)，最大拉、壓應力在與軸線成45o 斜截面上，它們數值相等，均等于橫 截面上的切應力；4)對于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉破壞時，

8、通常是橫截面 上的最大切應力使圓軸沿橫截面剪斷；5)對于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉破壞時，通常沿與 軸線成45o的螺旋面拉斷。x45o-45os3s1s1s3解：1) 圍繞圓軸外表面一點取單元 體ABCD：2)求主應力和主單元體q5主應力跡線1)作法將一點的主拉(壓)應力方向延長與相鄰橫截面相交，再求出交點的主拉(壓)應力方向，依次得到一條曲線主拉(壓)應力跡線。2)主應力跡線的特征 同一類主應力跡線不能相交； 兩類主應力跡線若相交，則必然正交； 所有主應力跡線與軸線相交的夾角均為45o； 所有主應力跡線與梁的上或下邊緣垂直相交； 主應力跡線只反映主應力方向，不反映大小。1理論依

9、據平面應力狀態(tài)分析的圖解法應力圓以s、t為坐標軸，則任意a 斜截面上的應力sa、ta為8-4 二向應力狀態(tài)分析圖解法Ost2應力圓的繪制sxsxtxytyxtxytyxsysyxyC2a0 B1 s A1s 2a(sa ,ta)EG1 t G2 t D(sy, tyx)BAD(sx, txy)nasata1)選定坐標及比例尺；2)取x面的兩個應力值，定出D(sx , txy)點，取y面的兩個應力值，定出D(sy , tyx)點；3)連DD交s 軸于C點，以C為圓心，DD為直徑作圓。3應力圓的應用1)點面對應關系：2)角度對應關系： 應力圓上一點坐標代表單元體某個面上的應力； 應力圓上半徑轉過2

10、a，單元體上的面轉過a ；3)轉向對應關系： 應力圓上半徑的轉向與單元體上面的旋向相同；OstC2a(sa ,ta )E D(sy, tyx)BAD(sx, txy)xsxsxtxytyxtxytyxsysyynasata4)求外法線與x軸夾角為a 斜 截面上的應力，只要以D為 起點，按a 轉動方向同向轉 過2a 到E點，E點坐標即為 所求應力值。5)應力圓確定主平面、主應力應力圓上縱軸坐標最大的G1點為t，縱軸坐標最小的G2點為t，作用面確定方法同主應力。由主平面上切應力t=0，確定D轉過的角度；D轉至s軸正向A1點代表s所在主平面，其轉過角度為2a0*，轉至s軸負向B1點代表s所在主平面；

11、OstC2a0* B1 s A1s G1 t G2 t D(sy, tyx)BAD(sx, txy)sxsxtxytyxtxytyxsysy6)確定極值切應力及其作用面4)作應力圓，并由幾何關系算出或由 比例尺量出：60o解：一、圖解法1)由豎直面BE上的應力 得到應力圓上的D點：sOt17.34080D120oDlC2)由AB面上的正應力 作直線s：例8-3 平面應力狀態(tài)如圖所示，試用應力圓和解析法分別求出主應力和斜截面AB上的切應力t。(應力單位：MPa)B5080A5080tt60oE則應力圓上代表AB面應力的點一定在該直線上3)作直線l，使其滿足：與s軸正向 逆時針夾角120o，交直線

12、s于D， 交s軸于C，|CD|=|CD|50s解：二、解析法1)建立坐標系2)截取微塊ABC60oB5080A5080ttE由于AC面為主平面，其上切應力為零，則根據切應力互等定理BC面上切應力也為零，只有主應力sy。3)將AB看成斜截面，求解其 上應力xy8060o50tsyBAC例8-4 圖示單元體，試求：a=30o斜截面上 的應力；主應力并畫出主單元體； 極值切應力。403020單位：MPaasata解：1) a=30o斜截面上的應力2)主應力并畫出主單元體sOtD(30,-20)D(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40203014.9os s s

13、 s 3)極值切應力：40.3-40.3三、幾種應力狀態(tài)的應力圓1單向拉伸和壓縮應力狀態(tài)1)單向拉伸ss2)單向壓縮ssOstCsDD C sEE 圓心C：(s/2,0)D(s/2, s/2)D(s/2, -s/2)極值切應力點：主應力：圓心C：(-s/2,0)E(-s/2, s/2)E(-s/2, -s/2)極值切應力點：主應力：2純剪切應力狀態(tài)OstttttC圓心C：(0,0)D(0, t)D(0, -t)極值切應力點：主應力：DDpppp3兩向均勻壓(拉)應力狀態(tài)Ostssss主應力：Cs兩向均勻壓(拉)應力狀態(tài)的應力圓為s軸上的一點。因此其任意方向均為主應力方向，任意平面均為主平面pp

14、p任意形狀平面，只要邊界各點承受大小相同垂直作用于邊界的力，則其內部任意一點均為兩向均勻壓(拉)應力狀態(tài)，同樣對于三維構件(如圓球)，就為三向均勻壓(拉)應力狀態(tài)。8-5 三向應力狀態(tài)1三向面應力狀態(tài)下的應力圓一、三向應力狀態(tài)下的應力圓s3s2s1s2s3s1s2s1s3OtsC2s3C1C3s1s21)平行s3斜截面上應力由s1、 s2作出應力圓上的點確定；2)平行s1斜截面上應力由s2、 s3作出應力圓上的點確定；3)平行s2斜截面上應力由s1、 s3作出應力圓上的點確定；t23OtsC2s3C1C3s1s2t13t122三向應力狀態(tài)下的最大切應力4)由彈性力學知，任意斜 截面上的應力點落

15、在陰 影區(qū)內。tmax所在平面與s1和s3兩個主平面夾角為45o。三、例題sy=140txy=150sx=300A視解法一：1)已知一個主應力：sz=90MPa。2)將單元體沿z方向投影，得到平面應力狀態(tài)：例8-5 試確定圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力， 并確定主平面和最大切應力作用面位置。xzy90300150140單位：MPa根據txy方向，s1與x逆時針夾角為31o，s3與x軸夾角121o，均在xoy平面內 最大切應力所在平面法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。xzys2y31o31os1xs3A8-8 廣義胡克定律一、廣義胡克定律1)主應變：1有關概念2)正應力只引起

16、線應變，切應力只引起切應變；沿主應力方向的應變，分別用e 1e 2e 3表示；2廣義胡克定律2)推導方法：利用疊加原理和第一章里討論的拉壓和剪切胡克定律。1)廣義胡克定律：應力與應變的關系，又稱本構關系；s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1方向上的應變：s2方向上的應變：s3方向上的應變：s1Is1s2IIs2IIIs33)主應力與 主應變的 關系：8-8 廣義胡克定律4)一般情況：5)用應變表 示應力：6)平面應力狀態(tài)下：sz、 tyz 、 txz 為零。二、體積應變與應力分量之間的關系1)長a、寬b、高c的單元體變 形前體積：1體積應變2)在主應力s1、 s2、 s3作 用下，

17、單元體體積變?yōu)椋?)體積改變率(體積應變)abcs3a(1+e1)s1s2b(1+e2)c(1+e3)4)體積應變的應力表達式：代入胡克定律平均應力體積模量三、例題例8-6 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm 的凹座，凹座內放置一直徑為50mm的鋼制 圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。 假設鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取 E=200GPa，n =0.30。Fps3=F/Asq= psr=ppp解：1)圓柱橫截面上的應力2)圓柱徑向應變3)截取單元體如圖4)由廣義胡克定律5)圓柱內任意點主應力為：8-9 復雜應力狀態(tài)下的應變比能一、總應變比能1)應變能(變形能)：1有關概念

18、伴隨彈性體的變形而儲存在彈性體的能量，用U表示；2)比能：單位體積內儲存的應變能，用u表示；3)克拉貝依隆原理：該原理只在線彈性條件下成立F i：d i ：廣義力；與廣義力相對應的廣義位移；1)取主應力單元體，假定三個 主應力按某一比例由零同時 增加到最終值，則該單元體 所儲存的應變能為2總應變比能s 2s 1s 3dxdydze 1e 2e 32)比能：3)代入廣義胡克定律二、體積改變比能uv與形狀改變比能uf1)單元體的變形：1有關概念體積改變和形狀改變s 3s 2s 1體積應變只與平均正應力有關，則體積改變比能只與平均正應力有關。體積改變smsmsms3 - sms2- sms1 - s

19、m形狀改變2)體積改變比能：與體積改變相對應的比能，用uv表示；3)形狀改變比能：與形狀改變相對應的比能，用uf表示；4)2uv、 uf公式1)體積改變比能：2)形狀改變比能：一般情況下：1失效：8-10 強度理論概述一、失效方式構件失去它們應有的功能1)強度失效方式：2失效方式取決于材料的種類、加載方式、構件所處的 應力狀態(tài)和工作環(huán)境等主要表現為：強度失效、剛度失效、失穩(wěn)與屈曲失效、疲勞失效、蠕變與松弛失效。屈服與斷裂2)剛度失效方式：構件產生過量的彈性變形3)屈曲失效方式：構件平衡狀態(tài)的突然轉變4)疲勞失效方式：交變應力作用引起構件的突然斷裂1脆性材料二、單向拉伸應力狀態(tài)下的強度失效1)失

20、效形式：斷裂2)失效判據：由單向拉伸試驗建立2塑性材料1)失效形式：屈服2)失效判據：由單向拉伸試驗建立1簡單應力狀態(tài)下強度準則可由試驗確定；三、強度準則的提出2一般應力狀態(tài)下，材料失效方式不僅與材料性質有關， 且與應力狀態(tài)有關，即與各主應力大小及比值有關；1)一般脆性材料脆斷，塑性材料屈服；2)脆性材料在三向等壓應力狀態(tài)下會產生塑性變形， 塑性材料在三向等拉應力狀態(tài)下會發(fā)生脆性斷裂；1)金屬材料的失效分為：3復雜應力狀態(tài)下的強度準則不能由試驗確定(不可能 針對每一種應力狀態(tài)做無數次試驗)；4強度準則塑性屈服與脆性斷裂；2)強度準則(強度理論)：材料失效原因的假說；3)通過強度準則，利用單向拉

21、伸試驗結果建立各種應 力狀態(tài)下的失效判據和相應的設計準則。一、斷裂失效的三種類型構件在載荷作用下，沒有明顯塑性變形而發(fā)生突然破壞的現象。1脆性材料的突然斷裂；斷裂失效：2有裂紋或缺陷構件的斷裂；3漸近性斷裂，亦稱疲勞斷裂；本章只討論第一情況脆性斷裂2強度準則：失效判據：3su由單向拉伸斷裂條件確定：4應用情況： 符合脆性材料的拉斷試驗，如鑄鐵單向拉伸和扭轉中的脆斷；未考慮其余主應力影響且不能用于無拉應力的應力狀態(tài)，如單向、三向壓縮等。最大拉應力s1，與應力狀態(tài)無關；一、最大拉應力理論（第一強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的共同原因是最大拉應力s1達到材料在單向拉伸時的極限應力

22、su。最大拉應力準則：1斷裂原因：8-11 四種常用的強度理論2強度準則：失效判據：3e u由單向拉伸斷裂條件確定：4應用情況： 符合表面潤滑石料的軸向壓縮破壞等，不符合大多數脆性材料的脆性破壞。最大伸長線應變e1，與應力狀態(tài)無關；二、最大伸長線應變理論（第二強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的共同原因是最大伸長線應變e1達到材料在單向拉伸時的極限應變eu。最大伸長線應變準則：1斷裂原因：2強度準則：失效判據：3tu由單向拉伸屈服條件確定：4應用情況：形式簡單，符合實際，廣泛應用，偏于安全。最大切應力tmax，與應力狀態(tài)無關；三、最大切應力理論（第三強度理論） 無論在什么樣的應力狀態(tài)下，材料發(fā)生屈服流動的原因是最大切應力tmax達到材料在單向拉伸時的極限切應力tu。最大切應力準則(Tresca準則)：1屈服原因：2強度準則：失效判據：最大形狀改變比能uf，與應力狀態(tài)無關；四、最大形狀改變比能理論（第四強度理論） 無論在什么樣的應力狀態(tài)下，材料發(fā)生屈服的共同原因是形狀改變比能uf達到材料在單向拉伸時的極限值ufu。最大形狀改變比能準則(Mises準則)： 1屈服原因：3ufu由單向拉伸屈服條件確定：