2022年《電動(dòng)力學(xué)》知識點(diǎn)歸納及典型試題研究

1、電動(dòng)力學(xué)學(xué)問點(diǎn)歸納及典型試卷分析 一、試卷結(jié)構(gòu) 總共四個(gè)大題：1單項(xiàng)題 ）： 主要考察基本概念、基本原理和基本公式,及對它們的懂得；2填空題 ： 主要考察對基本理論的把握和基本公式物理意 義的懂得；4. 證明題）和運(yùn)算題 ）： 考察能進(jìn)行簡潔的運(yùn)算和對基本常用的方程和原理進(jìn)行證明；例如：證明泊松方 程、電磁場的邊界條件、亥姆霍茲方程、長度收縮公式等等；運(yùn)算 磁感強(qiáng)度、電場強(qiáng)度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波導(dǎo) 的截止頻率、空間一點(diǎn)的電勢、矢勢、以及相對論方面的內(nèi)容等 等；二、學(xué)問點(diǎn)歸納學(xué)問點(diǎn)1：一般情形下,電磁場的基本方程為：此為麥克斯韋方程組）；在沒有電荷和電流分布）的自由空間 或勻稱

2、1 / 28 介質(zhì)）的電磁場方程為：齊次的麥克斯韋方程組）學(xué)問點(diǎn) 2：位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)分；答：我們知道恒定電流是閉合的：在交變情形下,電流分布由電荷守恒定律制約,它一般不再閉合；一般說來,在非恒定情形下,由電荷守恒定律有現(xiàn) 在 我 們 考 慮 電 流 激 發(fā) 磁 場 的 規(guī) 律 ：取 兩 邊 散 度 , 由 于,因此上式只有當(dāng) 時(shí)才能成立；在非恒定情形下,一般有,因而 式與電荷守恒定律發(fā)生沖突；由于電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律,故應(yīng)修改 式使聽從普遍的電荷守恒定律的要求；把 式推廣的一個(gè)方案是假設(shè)存在一個(gè)稱為位移電流的物理量,它和電流合起來構(gòu)成閉合的量 并假設(shè)位移電流 與電流 一樣產(chǎn)生

3、磁效應(yīng),即把 修改為；此式兩邊的散度都等于零,因而理論上就不再有沖突；由電荷守恒定律電荷密度與電場散度有關(guān)系式兩式合起來得：與式比較可得的一個(gè)可能表示式位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)分：位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流淌,而是電場的變化；它說明,與磁場的變化會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生電場一樣,電場的變化也必會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生磁場；而傳導(dǎo)電流實(shí)際上是電荷的流淌而產(chǎn)生的；學(xué)問點(diǎn) 3：電荷守恒定律的積分式和微分式,及恒定電流的連續(xù)性方程；2 / 28 答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為：恒定電流的連續(xù)性方程為：學(xué)問點(diǎn) 4：在有介質(zhì)存在的電磁場中,極化強(qiáng)度矢量 p 和磁化強(qiáng)度矢量 M 各的定義方法； P與；M 與 j；E、D 與

4、p 以及 B、H 與 M 的關(guān)系；答：極化強(qiáng)度矢量 p：由于存在兩類電介質(zhì)：一類介質(zhì)分子的正電中心和負(fù)電中心不重和,沒有電偶極矩；另一類介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和,有分子電偶極矩,但是由于分子熱運(yùn)動(dòng)的無規(guī)性,在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零,因而也沒有宏觀電偶極矩分布；在外場的作用下,前一類分子的正負(fù)電中心被拉開,后一類介質(zhì)的分子電偶極矩平均有肯定取向性,因此都顯現(xiàn)宏觀電偶極矩分布；而宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度矢量P 描述,它等于物理小體積 內(nèi)的總電偶極矩與 之比,為第 i 個(gè)分子的電偶極矩,求和符號表示對 內(nèi)全部分子求和；磁化強(qiáng)度矢量 M ：介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀分子電流,由于分子電

5、流取向的無規(guī)性,沒有外場時(shí)一般不顯現(xiàn)宏觀電流分布；在外場作用下,分子電流顯現(xiàn)有規(guī)章取向,形成宏觀磁化電流密度；分子電流可以用磁偶極矩描述；把分子電流看作載有電流 i 的小線圈,線圈面積為 a,就與分子電流相應(yīng)的磁矩為：介質(zhì)磁化后,顯現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布,用磁化強(qiáng)度積內(nèi)的總磁偶極矩與之比,學(xué)問點(diǎn) 5：導(dǎo)體表面的邊界條件；答：抱負(fù)導(dǎo)體表面的邊界條件為：M 表示,它定義為物理小體；它們可以形象地表述為：在導(dǎo)體表面上,電場線與界面正交,磁感應(yīng)線與界面相切；學(xué)問點(diǎn) 6：在球坐標(biāo)系中,如電勢不依靠于方位角,這種情形下拉氏方程的通解；3 / 28 答：拉氏方程在球坐標(biāo)中的一般解為：式 中為 任 意 的 常 數(shù)

6、 , 在 具 體 的 問 題 中 由 邊 界 條 件 定 出 ；為締合勒讓德函數(shù)；如該問題中具有對稱軸,取此軸為極軸,就電勢不依靠于方位角,這球形下通解為：是任意常數(shù),由邊為勒讓德函數(shù),界條件確定；學(xué)問點(diǎn) 7：爭論磁場時(shí)引入矢勢A 的依據(jù)；矢勢 A 的意義；答：引入矢勢 A 的依據(jù)是：磁場的無源性；矢勢 A 的意義為：它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量；只有 A 的環(huán)量才有物理意義,而每點(diǎn)上的 Ax）值沒有直接的物理意義；學(xué)問點(diǎn) 8：平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式；答：平面時(shí)諧電磁波是交變電磁場存在的一種最基本的形式；它是傳播方向肯定的電

7、磁波,它的波陣面是垂直于傳播方向的平面,也就是說在垂直于波的傳播方向的平面上,相位等于常數(shù)；平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：1）電磁波為橫波, E 和 B 都與傳播方向垂直；2）E 和 B 同相,振幅比為 v；3 E和 B 相互垂直, E B 沿波矢 k 方向；學(xué)問點(diǎn) 9：電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)分；電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依靠的因素；答：區(qū)分 :1）在真空和抱負(fù)絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒有能量的損耗,電磁波可以無衰減地傳播 在真空和抱負(fù)絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；2）電磁波在導(dǎo)體中傳播,由于導(dǎo)體內(nèi)有自由電子,在電磁波電場作用下,自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流,由電 流產(chǎn)生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗；因此,在導(dǎo)體內(nèi)部

8、的電磁波是一種衰 減波 在導(dǎo)體中）；在傳播的過程中,電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量；電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依靠于：電導(dǎo)率和頻率；學(xué)問點(diǎn) 10：電磁場用矢勢和標(biāo)勢表示的關(guān)系式；答：電磁場用矢勢和標(biāo)勢表示的關(guān)系式為：4 / 28 學(xué)問點(diǎn) 11：推遲勢及達(dá)朗貝爾方程；答：推遲勢為：達(dá)朗貝爾方程為：學(xué)問點(diǎn) 12：愛因斯坦建立狹義相對論的基本原理 或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容；答： 1）相對性原理：全部的慣性參考系都是等價(jià)的；物理規(guī)律對于全部慣性參考系都可以表為相同的形式；也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象,仍是電磁現(xiàn)象,或其他現(xiàn)象,都無法覺察出所處參考系的任何“ 肯定運(yùn)動(dòng)” ；相對性原理是被大量試驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過的物理學(xué)基本原

9、理；2）光速不變原理：真空中的光速相對于任何慣性系沿任一方向恒為 c,并與光源運(yùn)動(dòng)無關(guān)；學(xué)問點(diǎn) 13：相對論時(shí)空坐標(biāo)變換公式洛倫茲變換式）和速度變換公式；答 ： 坐 標(biāo) 變 換 公 式 洛 倫 茲 變 換 式 ） ：洛 倫 茲 反 變 換 式 ：5 / 28 速度變換公式：學(xué)問點(diǎn) 14：導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí),應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同 伽利略變換二者的關(guān)系；答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和間隔不變性；c 作為基本假設(shè)為：光速不變原理狹義相對論把一切慣性系中的光速都是基本假設(shè),這就是光速不變原理）、空間是勻稱的并各向同性,時(shí)間是勻稱 的、運(yùn)動(dòng)的相對性；洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系

10、：伽利略變換是存在 于經(jīng)典力學(xué)中的一種變換關(guān)系,所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速；洛侖茲變換是存 在于相對論力學(xué)中的一種變換關(guān)系,并假定涉及的速率等于光速；當(dāng)慣性系即物體）運(yùn)動(dòng)的速度時(shí),洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換,也就是說,如兩個(gè)慣性系間的相對速率遠(yuǎn)小于光速,就它以伽利略變換為近似；學(xué)問點(diǎn) 15：四維力學(xué)矢量及其形式；答：四維力學(xué)矢量為：1）能量動(dòng)量四維矢量2 ） 速 度 矢 量 ：4）四維電流密度矢量：6 / 28 或簡稱四維動(dòng)量）：3 ） 動(dòng) 量 矢 量 ：5）四維空間矢量：6）四維勢矢量：7）反對稱電磁場四維張量：8）四維波矢量：學(xué)問點(diǎn) 16：大事的間隔：答：以第一大事P 為空時(shí)原點(diǎn) 0,0,

11、0,0）；其次大事Q 的空時(shí)坐標(biāo)為： x,y,z,t）,這兩大事的間隔為：兩大事的間隔可以取任何數(shù)值；在此區(qū)分三種情形：1）如兩大事可以用光波聯(lián)系,有rct,因而類光間隔）；類時(shí)間2）如兩大事可用低于光速的作用來聯(lián)系,有,因而有隔）； a）肯定將來； b）肯定過去；有3）如兩大事的空間距離超過光波在時(shí)間t 所能傳播的距離,有,因而類空間隔）；學(xué)問點(diǎn) 17：導(dǎo)體的靜電平穩(wěn)條件及導(dǎo)體靜電平穩(wěn)時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件；答：導(dǎo)體的靜電平穩(wěn)條件：1）導(dǎo)體內(nèi)部不帶電,電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；2）導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；3）導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向,因此導(dǎo)體表面為等勢面；整個(gè)導(dǎo)體 的電勢相等；導(dǎo)體靜電平穩(wěn)時(shí)導(dǎo)體

12、表面的邊界條件：學(xué)問點(diǎn) 18：勢方程的簡化；答：采納兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：（1） 庫侖規(guī)范：幫助條件為（2） 洛倫茲規(guī)范：幫助條件為：7 / 28 例如：對于方程組：適用于一般規(guī)范的方程組）；如采納庫侖規(guī)范,可得：；如 采 用 洛 倫 茲 規(guī) 范 , 可 得 ：程）；學(xué)問點(diǎn) 19：引入磁標(biāo)勢的條件；此 為 達(dá) 朗 貝 爾 方答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所圍繞,或者說,該區(qū)域是沒有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域,用數(shù)學(xué)式表示為：學(xué)問點(diǎn) 20：動(dòng)鐘變慢：系中同地異時(shí)的兩大事的時(shí)間間隔,即系中同一地點(diǎn),先后）發(fā)生的兩大事的時(shí)間間隔在 S系的觀測：稱為固有時(shí),它是最短的時(shí)間間隔,8 / 28

13、學(xué)問點(diǎn) 21：長度收縮 動(dòng)尺縮短）尺相對于系靜止,在系中觀測在 S 系中觀測即兩端位置同時(shí)測定稱為固有長度,固有長度最長,即；學(xué)問點(diǎn) 22：電磁場邊值關(guān)系 也稱邊界上的場方程）學(xué)問點(diǎn) 23：AB 效應(yīng) 1959 年 Aharonov 和 Bohm 提出一種后來被試驗(yàn)所證明的新效應(yīng) 這簡稱 AB 效應(yīng)）,同時(shí) AB 效應(yīng)的存在說明磁場的物理效應(yīng)不能完全用 描述；學(xué)問點(diǎn) 24：電磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：平面電磁波的能流密度為：能量密度和能流密度的平均值為：學(xué)問點(diǎn) 25：波導(dǎo)中傳播的波的特點(diǎn)：電場 E 和磁場H 不同時(shí)為橫波；通常選一種波模為的波,稱為橫電波TE）；另一種波模為 的波,稱

14、為橫磁波 型的截止頻率為：波有最低截止頻率；如 ab,就如管內(nèi)為真空,此最低截止頻率為,相應(yīng)的截止波長為：在波導(dǎo)中能夠通過的最大波長為2a）學(xué)問點(diǎn) 27：相對論的試驗(yàn)基礎(chǔ) : 橫向多普勒 Doppler）效應(yīng)試驗(yàn) 證明相對論的運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩效應(yīng)）；高速運(yùn)動(dòng)粒子壽命的測定證明時(shí)鐘延緩效應(yīng)）；攜帶原子鐘的環(huán)球飛行試驗(yàn) 證明狹義相對論和廣義相對論的時(shí)鐘延緩總效應(yīng)）；相對論質(zhì)能關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)的試驗(yàn)檢驗(yàn)學(xué)問點(diǎn) 28：靜電場是有源無旋場：對狹義相對論的試驗(yàn)驗(yàn)證）此為微分表達(dá)式）穩(wěn)恒磁場是無源有旋場：此為微分表達(dá)式）學(xué)問點(diǎn) 29：相對論速度變換式：求；其反變換式依據(jù)此式學(xué)問點(diǎn) 30：麥克斯韋方程組積分式和微分式

15、,及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律；10 / 28 答：麥克斯韋方程組積分式為：麥克斯韋方程組微分式為：依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場的高斯定理、靜電場與渦旋電場的環(huán)路定理、磁場中的安培環(huán)路定理、磁場的高斯定理；三、典型試卷分析1、證明題：1、試由畢奧沙伐爾定律證明證明：由式：, 因 此又知：由所以原式得證；2、試由電磁場方程證明一般情形下電場的表示式證：在一般的變化情形中,電場E 的特性與靜電場不同；電場E一方面受到電荷的激發(fā),另一方面也受到變化磁場的激發(fā),后者所激發(fā)的電場是有旋的；因11 / 28 此在一般情形下,電場是有源和有旋的場,它不行能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢來描述；在變化情形下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系

16、,因而電場的表示式必定包含矢勢 A 在內(nèi)；得：,該式表示矢量是無旋場,因此它可以用標(biāo)勢 描述,；因此,在一般情形下電場的表示式為：；即得證；3、試由洛侖茲變換公式證明長度收縮公式；答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長度與該物體靜止長度的關(guān)系；如下列圖,設(shè)物體沿 x 軸方向運(yùn)動(dòng),以固定于物體上的參考系為；如物體后端經(jīng)過 點(diǎn)第一大事）與前端經(jīng)過 點(diǎn)其次大事）相對于 同時(shí),就 定義為 上測得的物體長度；物體兩端在 上的坐標(biāo)設(shè)為；在 上 點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,兩端分別經(jīng)過 和 的時(shí)刻為；對這兩大事分別應(yīng)用洛倫 茲 變 換 式 得, 兩 式 相 減 , 計(jì) 及, 有式中 為 上測得的物體長度 由于坐標(biāo) 是在

17、上同時(shí)測得的）,為上測得的物體靜止長度；由于物體對靜止,所以對測量時(shí)刻沒有任何限制；由式得；4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場與電勢的關(guān)系答：由于靜電場的無旋性,得：設(shè)為由的兩條不同路徑；合成閉合回路,因此12 / 28 即因此,電荷由而只和兩端點(diǎn)有關(guān)；把單位正電荷由電場 E 對它所作的功為：這功定義為的電勢差；如電場對電荷作了正功,就電勢下降；由此,由這定義,只有兩點(diǎn)的電勢差才有物理意義,一點(diǎn)上的電勢的肯定數(shù)值是沒有 物理意義的；相距為的兩點(diǎn)的電勢差為E 等于電勢由于5、試由恒定磁場方程證明矢勢因此,電場強(qiáng)度的負(fù)梯度A 的微分方程；答 ： 已 知 恒 定 磁 場 方 程 在 均 勻 線 性 介

18、 質(zhì) 內(nèi) ） , 把得矢勢A 的微分方程由矢量分析公式如取 A 滿意規(guī)范條件,得矢勢 A 的微分方程6、試由電場的邊值關(guān)系證明勢的邊值關(guān)系證：電場的邊值關(guān)系為：,式可寫為式中為由介質(zhì) 1 指向介質(zhì) 2 的法線；利用,可用標(biāo)勢將表為：13 / 28 勢的邊值關(guān)系即得證；7、試由靜電場方程證明泊松方程；,在勻稱各向同性線答：已知靜電場方程為：并知道性介質(zhì)中,將 3）式代入 2）得為自由電荷密度；于是得到靜電勢滿意的基本微分方程,即泊松方程；8、試由麥克斯韋方程證明電磁場波動(dòng)方程；答：麥克斯韋方程組說明,變化的磁場可以激發(fā)電場,而變化的電場又可以激發(fā)磁場,因此,自然可以推論電磁場可以相互激 發(fā),形成

19、電磁波；這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到,在真空的無源區(qū) 域,電荷密度和電流密度均為零,在這樣的情形下,對麥克斯韋方程的其次個(gè)方程取旋度并利用第一個(gè)方程,得到程 對 時(shí) 間 求 導(dǎo) , 得 到,再把第四個(gè)方, 從 上 面 兩 個(gè) 方 程 消 去,得到；這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程；對應(yīng)的波的速度是9、試由麥克 斯韋方程 組證明電磁場的邊界條件解：14 / 28 對于磁場B,把應(yīng)用到邊界上無限小的扁平圓柱高斯面上,重復(fù)以上推導(dǎo)可得：作跨過介質(zhì)分界面的無限小狹長的矩形積分回路,矩形回路所在平面與界面垂直,矩形長邊邊長為,短邊邊長為；由于,作沿狹長矩形的E 的路徑積分；由于 比 小得多,當(dāng) 時(shí), E 沿

20、積分為二級小量,忽 略 沿 的 路 徑 積 分 , 沿 界 面 切 線 方 向 積 分 為 ：即 ：；可以用矢量形式表示為：式中 t 為沿著矩形長邊的界面切線方向單位矢量；令矩形面法線方向單位矢量為,它與界面相切,明顯有將, 就, 利 用 混 合 積 公 式,改寫 式為：此式對任意 都成立,因此,此式表示電場在分界面切線方向重量是連續(xù)的；10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程；在肯定的頻率下,有方程組,把時(shí)諧電磁波的電場和磁場方程：代入麥?zhǔn)舷ス餐蜃雍蟮迷诖肆粢庖稽c(diǎn)；在 的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的；取第一式的散度,由于,因而,即得第四

21、式；同樣,由其次式可導(dǎo)出第三式；在此,在肯定頻率下,只有第一、二式是獨(dú)立的,其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出；取第一 式旋度并用 第二式得由15 / 28 ,上式變?yōu)?此為亥姆霍茲方程；11、試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上,在靜電的情形下,導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流的情形下,導(dǎo)體內(nèi)的電場線總是平行于導(dǎo)體表面；證 明 ： 1） 導(dǎo) 體 在 靜 電 條 件 下 達(dá) 到 靜 電 平 衡 , 所 以 導(dǎo) 體 內(nèi), 而 ：2）導(dǎo)體中通過恒定的電流時(shí),導(dǎo)體表面；而：,；導(dǎo)體內(nèi)電場方向和法線垂直,即平行于導(dǎo)體表面；12、設(shè)是滿意洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢,現(xiàn)引入一矢量函數(shù)赫茲矢量）,如令

22、證明：滿意洛倫茲規(guī)范,故有2、運(yùn)算題：1、真空中有一半徑為接地導(dǎo)體球,距球心為處有一點(diǎn)電荷Q,求空間各點(diǎn)的電勢；解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷來代替球面上感應(yīng)電荷對空間電場的作用；由對稱性,應(yīng)在連線上；關(guān)鍵是能否挑選的大小和位置使得球面上的條件使得滿意？16 / 28 考慮到球面上任一點(diǎn) P；邊界條件要求 式中 r 為 Q 到 P 的距離,因此對球面上任一點(diǎn),應(yīng)有 由圖可看出,只要選 的位置使設(shè) 距 球 心 為 b , 兩 三 角 形 相 似 的 條 件 為想電荷由1）和 2）式求出 3）和 4）式確定假的位置和大??；由 和鏡象電荷 激發(fā)的總電場能夠滿意在導(dǎo)風(fēng)光上 的邊界條件,因此是 空 間

23、 中 電 場 的 正 確 解 答 ； 球 外 任 一 點(diǎn) p 的 電 勢 是 ：式中 r為由到 P 點(diǎn)的距離,為由到 P 點(diǎn)的距離, R 為由球心 O 到 P 點(diǎn)的距離,2、兩金屬小球分別帶電荷 和,它們之間的距離為,求小球的電荷 數(shù)值和符號）同步地作周期變化,這就是赫茲振子,試求赫茲振子的輻射能流,并爭論其特點(diǎn)；解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場：取球坐標(biāo)原點(diǎn)在電荷分布區(qū)內(nèi),并以 P 方向?yàn)闃O軸,就可知 B 沿緯線上振蕩, E 沿徑線上振蕩；）；赫 茲 振 子 輻 射 的 平 均 能 流 密 度 為：因子 表示赫茲振子輻射的角分布,即輻射的方向性；在 的平面上輻射最強(qiáng),而沿電偶極矩軸線方向 沒有輻

24、射；17 / 28 3、已知海水的試運(yùn)算頻率為 50、和Hz 的三種電磁波在海水中的透入深度；解 ： 取 電 磁 波 以 垂 直 于 海 水 表 面 的 方 式 入 射 , 透 射 深 度4、電荷 Q 勻稱分布于半徑為 算電場的散度；a 的球體內(nèi),求各點(diǎn)的電場強(qiáng)度,并由此直接計(jì)解：作半徑為 r 的球與電荷球體同心）；由對稱性,在球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度有相同的數(shù)值 E,并沿徑向；當(dāng)球面所圍的總電荷為Q,由高斯定理得因而寫成矢量式得如 就球面所圍電荷為：應(yīng)用高斯定理得：由此得現(xiàn)在運(yùn)算電場的散度；當(dāng)E 應(yīng)取式,在這區(qū)域,由直接運(yùn)算可得因而18 / 28 當(dāng) E 應(yīng)取 式,由直接運(yùn)算得5、一半徑為 R

25、的勻稱帶電球體,電荷體密度為,球內(nèi)有一不帶電的球形空腔,其半徑為,偏心距離為 a,）求腔內(nèi)的電場；解：這個(gè)帶電系統(tǒng)可視為帶正電 的 R 球與帶負(fù)電的 的 球的迭加而成 ； 因 此 利 用 場 的 迭 加 原 理 得 球 形 空 腔 的 一 點(diǎn) M 之 電 場 強(qiáng) 度 為 ：6、無窮大的平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì),極板上面電荷密度為 求電場和束縛電荷分布；解：由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向,把同樣把應(yīng)用于下板與介質(zhì) 1 界面上,因?qū)w內(nèi)場強(qiáng)為零,故得式應(yīng)用到上板與介質(zhì) 2 界面上得由這兩式得處, 由束縛電荷分布于介質(zhì) 表 面 上 ； 在 兩 介 質(zhì) 界 面 處 ,得在介質(zhì)1與下板分界由得在介質(zhì)

26、 2 與上板分界處,19 / 28 簡潔驗(yàn)證,介質(zhì)整體是電中性的；7、截面為 S ,長為 的細(xì)介質(zhì)棍,沿 X 軸放置,近端到原點(diǎn)的距離為 b ,如極化強(qiáng)度為,沿 X 軸；求：（1） 求每端的束縛電荷面密度；2）求棒內(nèi)的束縛電荷體密度； 3）總束縛電荷；解： 象電荷只有 5 個(gè)；各象電荷所在處的直角坐標(biāo)為：21 / 28 各個(gè) r 由相應(yīng)的象電荷坐標(biāo)確定；9、在一平行板電容器的兩板上加 a,板間距離為 d,試求 1）、兩板間的位移電流；的電壓,如平板為圓形,半徑為2）、電容器內(nèi)離軸 r 處的磁場強(qiáng)度；3）、電容器內(nèi)的能流密度；解： 1）22 / 28 2）3）10、靜止長度為的車廂,以速度相對于

27、地面S 運(yùn)行,車廂的后壁以速度為向前推出一個(gè)小球,求地面觀看者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；解： S 系的觀看者看到長度為的車廂以運(yùn)動(dòng),又看到小球以追 趕 車 廂 ；小 球 從 后 壁 到 前 壁 所 需 的 時(shí) 間 為 ：11、求無限長抱負(fù)的螺線管的矢勢 設(shè)螺線管的半徑為a,線圈匝數(shù)為n,通電電流為 I）解：分析：時(shí),可得：；1）當(dāng)23 / 28 2）當(dāng) 時(shí),同理可得：12、在大氣中沿 Z 軸方向傳播的線偏振平面波,其磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式（1） 求；2）寫出的瞬時(shí)值表達(dá)式解：；13、內(nèi)外半徑分別為a 和 b 的球形電容器,加上的電壓,且不大,故電場分布和靜態(tài)情形相同,運(yùn)算介質(zhì)中位移電流密度 及穿過半徑R 的球面的總位移電流；解：位移電流密度為：穿 過 半徑R的 球 面的 總 位 移 電 流為 ：14、證明勻稱介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度倍；證：即證明白勻稱介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的總是等于體自由電荷密度；24 / 28 15、一根長為 的細(xì)金屬棒,鉛直地直立在桌上,設(shè)所在地點(diǎn)地磁場強(qiáng)度為H ,方向?yàn)槟媳?如金屬棒自靜止?fàn)顟B(tài)向東自由倒下,試求兩端同時(shí)接觸桌面的瞬時(shí)棒內(nèi)的感生電動(dòng)勢,此時(shí)棒兩端的電勢哪端高？解：金屬棒倒下接觸桌面時(shí)的角速度 w 由下式給出式中為棒的質(zhì)量, I 為棒繞端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ）,g 為重力加速度,代入得,棒接觸桌面時(shí)的感生