數(shù)學教改幾個論題

1、數(shù)學教改的幾個論題1一、如何理解“新理念”?核心：以每一個學生的全面、和諧與可持續(xù)發(fā)展為本教育中的“科學發(fā)展觀”教學目標全面關(guān)注學生的認知、能力和理性精神，以學生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進學生全面、和諧、可持續(xù)發(fā)展數(shù)學育人。2如何落實？提高課堂教學立意許多教師的“匠氣”太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利”，缺少思想、精神的追求。數(shù)學的“育人”功能如何體現(xiàn)？挖掘數(shù)學知識蘊含的價值觀資源，在教學中將知識教學與價值觀影響融為一體。關(guān)鍵：提高思想性?！凹夹g(shù)”：加強“先行組織者”的使用。3例1 四邊形的“先行組織者”概括三角形中研究的問題、線索和基本方法：定義（組成元素、分類）三角形的性質(zhì)（變化中的不

2、變性、規(guī)律性，從度量關(guān)系和位置關(guān)系入手）三角形的全等（確定三角形的條件）特殊三角形的研究（角特殊直角三角形、邊特殊等腰三角形，性質(zhì)、判定）相似三角形（性質(zhì)、判定）目的：給學生一個類比對象，使他們知道研究的“基本套路”。4引導(dǎo)學生類比，思考“四邊形”研究的問題、線索和方法等：一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和、外角和）；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；邊的特殊性平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)”研究的是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對角線的關(guān)系等；“判定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；5特殊的平行四邊形：角的

3、特殊矩形，邊的特殊菱形，邊角都特殊正方形，都要研究性質(zhì)和判定。研究的方法：化歸為三角形、平行線的性質(zhì)等已有知識；特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩形直角三角形；菱形等腰三角形；梯形6教學要求個性差異與統(tǒng)一要求的辯證統(tǒng)一，但以個性差異為出發(fā)點和基礎(chǔ)教學設(shè)計不僅從內(nèi)容的教學需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓(xùn)練等，而且特別強調(diào)課堂“生成”，預(yù)設(shè)能引發(fā)學生獨立思考、自主探究的“開放性問題”，乃至強調(diào)“看過問題三百個，不會解題也會問”教學方法講授、問答、訓(xùn)練的綜合，不再是單一的講授或活動，是教師主導(dǎo)取向的講授式和學生自主取向的活動式的融合，強調(diào)“啟發(fā)式講授”的重要性7學習方式接受與探究的融合，強調(diào)學

4、生學習主動性、積極性，獨立思考和合作學習的結(jié)合教學過程知識發(fā)生發(fā)展過程（自然、水到渠成）為載體的學生認知過程，以學生為主體的數(shù)學活動過程，強調(diào)學生數(shù)學思維的展開、深度參與（教學的有效性）教學評價教師根據(jù)教學進程進行教學反饋、調(diào)節(jié)，學生通過自我監(jiān)控調(diào)節(jié)學習進程，重視形成性評價發(fā)展的眼光教學媒體追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學概念、原理的實質(zhì)理解8“新理念”新在對學生的全面關(guān)注上，但社會功利化導(dǎo)致教育的短期行為愈演愈烈，“全面關(guān)注”變成了“只關(guān)注分數(shù)”，而且為了分數(shù)可以不擇手段竭澤而漁。9二、怎樣才算“教完了”？讓學生經(jīng)歷概念的發(fā)生發(fā)展過程“這樣能教完嗎？”給學生

5、吃“壓縮餅干”：基礎(chǔ)知識“一個定義，三項注意”；解題教學“題型教學”，解題技巧大雜燴，“一步到位”。10問題在那里？不“準”或者是沒有圍繞概念的核心，或者教錯了；不“簡”在細枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復(fù)雜化了；不“精”讓學生在知識的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費學生大量時間、精力卻達不到對知識的深入理解。11例2 “代數(shù)式”概念的一組練習已知|5x+3|+(4x28xy+3y9)2=0，求5(4x28xy+3y1)的值；已知a2+a1=0,則a2000+a1999 a1998= ；已知 ，求 的值；已知a:b=5:6，b:c=4:3，求 的值；12學生沒有學比例式、分式、指數(shù)等概念，如何理解題意？！在代數(shù)

6、式學習之初，要求學生用“變量代換”“整體”等思想方法解決問題，可能嗎？“教完了”應(yīng)該以學生是否理解為準，特別是學生達到的數(shù)學雙基的理解和熟練水平為標準（注意，雙基包括由內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完”。廣種薄收是不負責任的，習題的針對性不強是水平不高的表現(xiàn)。忙=心亡。13三、怎樣才是抓“基礎(chǔ)”我國“雙基”的優(yōu)勢正在喪失；現(xiàn)象：（1）數(shù)學教學題型教學刺激反應(yīng)（記憶、模范型學習）；（2）缺少概念的概括過程，以訓(xùn)練代替概念教學應(yīng)用可以促進理解，但沒有理解的應(yīng)用是盲目的；（3）過分關(guān)注“題型”與“題型”對應(yīng)的技巧是雕蟲小技，無法窮盡，結(jié)果是“講過練過的不一定會，沒講沒練

7、的一定不會”；等。14如何改變？要強調(diào)知識及其蘊含的思想方法教學的重要性無知者無能；不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題；加強概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路。應(yīng)追求解決問題的“根本大法”基本概念所蘊含的思想方法，強調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。15例3 關(guān)于“配方法”概念：把二次（三項）式配成一個含二項式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4acb2)/4a依據(jù)：(a+b) 2=a 2+2ab+b2步驟：（1）二次項系數(shù)變1；（2）加上并減去一次項系數(shù)一半的平方?！芭浞椒ā笔腔径匾?，在“三個二次”中有廣泛應(yīng)用。16一元二次方程的求根公式從最簡

8、單的開始：x 2=a；變式：(xp) 2=q，并分析“能解”的原因（可以通過開方將方程“降次”）。對于ax2+bx+c=0，通過與“變式”的比較，得到化歸為(xp) 2=q就能解的思想方法，并讓學生獨立思考獲得用“配方法”推導(dǎo)出求根公式。這里要讓學生形成一個“基本套路”：從特殊到一般，將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，要注意化歸的條件（完備性思維的嚴謹性）17二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)沿用一元二次方程求根公式的“套路”，從最簡單的y=x2開始，到y(tǒng)=ax2，再到y(tǒng)=a(xh)2+k ，最后到y(tǒng)=ax2+bx+c。思想方法：“化歸”到前一種情況。研究工具：配方法。研究的問題：開口方向、對稱軸、頂

9、點坐標、單調(diào)性（包括最大值、最小值）等。18“配方法”的靈活應(yīng)用“配方” “完全平方式”非負性例：（1）無論m取何值，2x 2+(m1)x+(m4)=0都有兩個不等實根。判別式是不等于0的“完全平方式”。（2）已知x2+4y22x+4y+2=0，求x，y的值。一個方程兩個未知量，一般是不定的，但特殊情況下可以，即實質(zhì)是“方程組”，化歸的方法是“配方得到完全平方式”。19四、探究式教學的天時地利人和天時：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育“以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點”；地利：教學內(nèi)容是否適合于“探究”有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱、規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學；20例4 不適宜于探究的內(nèi)容

10、舉例概念名稱，如“有理數(shù)”“無理數(shù)”“補角” “余角”等；定義，什么叫代數(shù)式、兩條直線平行的定義等；數(shù)學符號，如判別式，全等，相似；某些復(fù)雜的定理，如勾股定理，只要理解意義，會證明，能應(yīng)用；為什么用圓周角與圓心的相對位置對圓周角進行分類？21例5 適宜探究的內(nèi)容舉例實數(shù)運算律從具體到抽象，歸納得出；乘法公式，平方差公式、完全平方公式等；各種幾何性質(zhì)原則上都是可以探究的；22例6 等腰三角形的性質(zhì)先行組織者：對于三角形，我們研究過它的組成要素和相關(guān)要素（內(nèi)角、邊、外角、角平分線、中線、高等）的度量關(guān)系；研究過兩個三角形的特殊關(guān)系全等問題；等。這些研究從性質(zhì)和判定兩個角度入手。像研究直線的特殊位置

11、關(guān)系（垂直、平行）一樣，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究“角”為標準的直角三角形，“邊”為標準的等腰三角形（特例是等邊）。23問題1 你認為可以研究等腰三角形的哪些問題？性質(zhì)與判定問題2 等腰三角形的性質(zhì)可以從哪些角度入手？角的關(guān)系（兩底角相等）、高、中線、角平分線的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。問題3 前面學習過軸對稱圖形，知道角是以角平分線為對稱軸的軸對稱圖形。根據(jù)這些經(jīng)驗，請動手剪一個等腰三角形，并說明你得到的一定是等腰三角形。24從“剪”的過程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性質(zhì)的猜想？“剪”的關(guān)鍵步驟是什么？數(shù)學含義是什么？上述猜想是從一個等腰三角形得到的，

12、是否對所有等腰三角形都有這些性質(zhì)呢？如何證明？通過全等三角形，注意從操作中獲得證明思路的啟發(fā)。對特殊的等腰三角形等邊三角形，有什么相應(yīng)的特殊結(jié)論？25人和：師生共同營造的“探究氛圍”，有賴于學生“探究式學習的心向”，也有賴于教師的“探究型教學的意識”。探究過程需要精心設(shè)計圍繞核心的定向探究；數(shù)學思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)注意使用“先行組織者”。26“我校生源差，反復(fù)講還記不住，怎能讓學生自主探究？”學習是知與行的統(tǒng)一，只“講”肯定不會；探究是深層次的思維活動，是“心動”與“行動”的融合。生源越差越要精心組織學生的探究活動，如何鋪設(shè)探究的臺階是對教師的考驗。27例7 “找

13、規(guī)律”平面上的n條直線至多可以有多少個交點。歸納推理過程分析：n=2，1個交點；n=3，第3條直線與前2條直線各有一個交點，增加2個，為1+2；n=4時，第4條直線，增加3個，為1 + 2 + 3；n條直線至多1+2+（n1）。難點：（1）歸納思想不是自然產(chǎn)生的；（2）保留中間值以便觀察規(guī)律的技能不容易；（3）1+2+（n1）的意義難理解。結(jié)論：這個題目不適合初中。28五、概念教學的要義是什么？概念教學的核心概括：將凝結(jié)在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念；“舉一反三”與“舉三反一”的關(guān)系：（1）分化

14、：用典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性舉三反一；29（2）類化：把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中舉一反三；（3）納入概念系統(tǒng)，與相關(guān)概念建立聯(lián)系。對具體例證進行分化、類化是概念教學的重要步驟，教會學生自己分析材料、比較屬性是教學的重要任務(wù)；發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力是很重要的。30概念教學的基本環(huán)節(jié)典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；下定義（準確的數(shù)學語言描述）；概念的辨析以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；用概念作判斷的具體事例形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。31例8 無理數(shù)概念的教學32六、如何理解

15、循序漸進、螺旋上升？螺旋上升既有數(shù)學概念發(fā)展史的依據(jù)，也有學生思維發(fā)展規(guī)律的依據(jù)；螺旋上升應(yīng)該體現(xiàn)“必要性”，如函數(shù)概念必須螺旋式學習，但平面幾何的螺旋不應(yīng)該是“先實驗幾何，論證下次再說”；33“螺旋式”可能產(chǎn)生的問題是重復(fù)學習，例如統(tǒng)計與概率的不適當重復(fù)問題；重要的數(shù)學思想方法必須得到“螺旋上升地重復(fù)”“隱性知識”，“可以意會不可言傳”，要經(jīng)歷“滲透概括應(yīng)用”的學習階段。34例9 概念的多元聯(lián)系表示中體現(xiàn)的螺旋上升比例關(guān)系：算術(shù)比和比例、百分數(shù)、比例尺；代數(shù)各種“率”，實際問題；平面幾何線段比和比例、相似形等；解析幾何斜率、線性方程；統(tǒng)計與概率統(tǒng)計圖表、頻率與概率。當利用基本的幾何概念（如相

16、似）和代數(shù)概念（如線性關(guān)系）引入比例概念時，學生對比例關(guān)系的理解就會更深刻。35七、“不是教教材，是用教材教”？現(xiàn)象：脫離教材，大量使用教輔；原因：教材內(nèi)容“簡單”，不足以應(yīng)付中考；對“不是教教材，而是用教材教”、“創(chuàng)造性使用教材”的意圖有誤解；有的教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。36我的看法“不是教教材，而是用教材教”“脫離教材”，是針對“照本宣科”的；教材的“基礎(chǔ)性”與中考的“選拔性”有目標差異，但學好教材一定是中考取得好成績的前提，教師的主要精力應(yīng)當放在幫助學生熟練掌握教材內(nèi)容上。37理解教材是當好數(shù)學教師的前提，而“理解教材”的第一要義是“理解數(shù)學”：了解數(shù)學概念的背景，把握概念的

17、邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識所蘊含的科學方法、理性思維過程和價值觀資源，區(qū)分核心知識和非核心知識等。課本、課本，一科之本。課堂教學應(yīng)“以課本為本”。教輔資料不能作為教學依據(jù)；布置教輔資料上的題目時，教師自己應(yīng)該先做一遍，題目不配套時，對學生學習會有大干擾。38例10 銳角三角函數(shù)概念概括過程的設(shè)計目的：解直角三角形課題的引入：從實際需要看（如比薩斜塔的傾斜問題）；從數(shù)學內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒有確定的關(guān)系）。定性考察：從直角三角形全等的判定可知，Rt中，除直角外，任意給兩個條件（至少一個是邊），其余唯一確定。39“定量化”的過程設(shè)計從最

18、熟悉的直角三角形開始：無論 Rt的 大小如何，30所對的邊是斜邊的一半（本質(zhì)特征）。思考：由這個比值能干什么？當A = 30時，已知斜邊可求A的對邊，反之也可。及時鞏固：等腰直角三角形中，銳角A的對邊與斜邊的比是多少？由這個比值能干什么？推廣到一般：給定銳角A，A的對邊與斜邊的比值是否為一個確定的值？（注意引導(dǎo)學生理解條件什么不變、什么變）40下定義，用符號表示。辨析定義：（1）A為RtABC的銳角， ABC的大小可以變化，但A的對邊與斜邊的比值不變，即對于每一個銳角A都有唯一確定的比值與之對應(yīng)，這個比值叫做A的正弦；（2）符號sinA的理解一個由A唯一確定的數(shù)，例如sin30=0.5；（3）

19、sinA的取值范圍；等。概念的應(yīng)用：給直角三角形的邊，求正弦值。掌握用定義解題的基本規(guī)范。41教材的編寫意圖如何提出數(shù)學問題引導(dǎo)學生思考已經(jīng)研究過什么，還可以研究什么；從定性到定量數(shù)學的普遍方法；從學生最熟悉的問題開始；從另一個角度看問題舊問題新解釋，數(shù)學發(fā)展的一種思路；從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法；使學生經(jīng)歷概念形成的完整過程。42八、重結(jié)果輕過程的危害是什么？數(shù)學是思維的科學。數(shù)學思想方法孕育于知識的發(fā)生發(fā)展過程中?！八枷搿笔歉拍畹撵`魂，是“數(shù)學素養(yǎng)”的源泉，是從知識到能力的橋梁；“過程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺，是思維訓(xùn)練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學能力的土壤。43沒有過程=

20、沒有思想；沒有思想就難以理解概念的實質(zhì)；缺乏數(shù)學思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系無法認識、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標”都會大打折扣。沒有“過程”的教學把“思維的體操”降格為“刺激反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學教學中的集中表現(xiàn)。44 例11 平行線的判定 過程中體現(xiàn)的思想性復(fù)習：（1）在“相交線”中，我們是如何展開研究的？研究線索：從定義（獲得研究對象）圖形的性質(zhì)（同一類圖形的共同本質(zhì)特性）特例（垂直）研究內(nèi)容：四個角的位置關(guān)系、大小關(guān)系；特例的“特殊性”鄰補角相等時兩條直線的位置關(guān)系，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直（不垂直時有兩

21、條），垂線段最短。45（2）“三線八角”的研究過程是什么？其中的關(guān)鍵是什么？與相交線的研究思路一樣，對“兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截”構(gòu)成的八個角的位置關(guān)系進行分類。位置關(guān)系分類的關(guān)鍵是確定分類標準（兩個不共頂點的角在AB、CD的同一方，EF的同一側(cè)）。46“平行線的判定”的過程構(gòu)建問題一：類比相交線的特例，在“三線八角”中，有哪些特例？（兩條直線平行平行公理；第三條直線與兩條直線都垂直；等）先行組織者：對于幾何圖形，我們主要考察位置關(guān)系和大小度量。對于某種確定的圖形（位置關(guān)系），我們一般從判定和性質(zhì)兩個角度進行研究。判定就是什么時候有這種位置關(guān)系；性質(zhì)就是具有這種位置關(guān)系的圖形有什么特性。下面先學習“判定”。47問題二：顯然我們可以用定義來判定，但由于直線可以無限延伸，用定義判斷不方便。從“三線八角”模型、畫平行線的過程等操作中，你能得到什么啟發(fā)？同位角相等，兩直線平行（公理）。問題三：兩條直線被第三條直線所截，同時得到同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，由同位角相等可以判定兩條直線平行，能否利用內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角來判定呢？通過內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角與同位角的關(guān)系，注意訓(xùn)練推理的條理性，滲透化歸思想。48課堂小結(jié)從運動變化觀點看直線與直線的位置關(guān)系（將相交線、垂線、平行線