守恒量與對(duì)稱性關(guān)系

1、 在經(jīng)典力學(xué)中, 借助守恒量, 可以使運(yùn)動(dòng)方程的求解大為簡(jiǎn)化.前 言中的守恒量與對(duì)稱性：（1）空間平移不變性 動(dòng)量守恒.（2）空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性 角動(dòng)量守恒.（3）時(shí)間平移不變性 能量守恒.4.4 守恒量與對(duì)稱性的關(guān)系 與經(jīng)典力學(xué)相比, 量子力學(xué)關(guān)于對(duì)稱性的研究, 大大豐富了對(duì)體系的認(rèn)識(shí).考慮某種線性變換 Q（存在逆變換 Q-1, 不依賴于時(shí)間） 設(shè)體系的狀態(tài)用 描述. 的演化遵守Schrdinger方程量子力學(xué)中的守恒量與對(duì)稱性 體系對(duì)于變換的不變性表現(xiàn)為 與 遵守相同形式的運(yùn)動(dòng)方程，即要求 也遵守 Schrdinger方程.與方程 比較，要求 ，或表示成這就是體系在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表達(dá).

2、對(duì) 的Schrdinger方程用 Q-1 運(yùn)算，得 凡滿足式(4)的變換,稱為體系的對(duì)稱性變換. 物理學(xué)中的體系的對(duì)稱性變換，總構(gòu)成一個(gè)群，稱為體系的對(duì)稱性群（symmetry group）.則 應(yīng)為幺正算符，即考慮到概率守恒，要求對(duì)于連續(xù)變換, 可以考慮無(wú)窮小變換, 令 是刻畫無(wú)窮小變換的實(shí)參量.并要求 在上式中, F 為厄米算符, 稱為變換 Q 的無(wú)窮小算符 (infinitesimal operator) . 按式 (4) 要求,體系在 Q 變換下的不變性 , 即 ，應(yīng)用到無(wú)窮小變換, 就導(dǎo)致F 就是體系的一個(gè)守恒量.可以用F 來(lái)定義與 Q 變換相聯(lián)系的一個(gè)可觀測(cè)量.平移不變性與動(dòng)量守恒顯然即 考慮體系沿x方向的無(wú)窮小平移，描述體系狀態(tài)的波函數(shù) ，變化如下：在上式中，把 換為 ，則有所以體系平移 的算符可表示為式中就是相應(yīng)的無(wú)窮小算符,也就是動(dòng)量算符的x分量. 對(duì)于三維空間的無(wú)窮小平移 則 式中即動(dòng)量算符.此即動(dòng)量守恒的條件；源于空間平移不變性。設(shè)體系對(duì)于平移具有不變性， 應(yīng)用到無(wú)窮小平移, ，則有 空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動(dòng)量守恒三維空間中繞某方向 （單位矢）的無(wú)窮小旋轉(zhuǎn)在此變換下，標(biāo)量波函數(shù)變化如下：即所以無(wú)窮小旋轉(zhuǎn) 的變換表示為 式中即角動(dòng)量算符此即角動(dòng)量守