多自由度體系的微振動(dòng)

1、6 多自由度體系的微振動(dòng)內(nèi)容： 振動(dòng)概述 兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng) n個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng) 簡正坐標(biāo)和簡正振動(dòng) 重點(diǎn)： 兩個(gè)自由度的自由振動(dòng) 簡正坐標(biāo) 難點(diǎn)： 多自由度的自由振動(dòng)難點(diǎn)： 多自由度的自由振動(dòng)1 振動(dòng)現(xiàn)象在宏觀的工程技術(shù)中和微觀領(lǐng)域（如固體物理中的晶格、光學(xué)中的分子振動(dòng)光譜等）中普遍存在。本章討論多自由度體系微振動(dòng)的一般處理方法和微振動(dòng)在物理上的應(yīng)用。 6.1 振動(dòng)概述 （1）振動(dòng)的分類 按體系的能量變化情況可把振動(dòng)分為自由振動(dòng)（機(jī)械能守恒）、阻尼振動(dòng)（機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化為熱能）和強(qiáng)迫振動(dòng)（不斷從外界獲得能量）三類，其運(yùn)動(dòng)微分方程是同一種類型的。 按體系的自由度劃分，振動(dòng)分為單自

2、由度振動(dòng)、有限多自由度振動(dòng)和無限自由度振動(dòng)三類。 按微分方程的類型，振動(dòng)分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩類。 （2）線性振動(dòng)概念 凡力學(xué)體系在平衡位置附近作微振動(dòng)（振幅很?。?，只考慮一級（最低級）近似時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這種振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。2 （3）力學(xué)體系平衡位置的性質(zhì) 平衡位置的三種情況：如圖6.1所示3 （a）穩(wěn)定平衡 如果在某一位置，保守系的勢能有嚴(yán)格的極小值，則此位置是體系的穩(wěn)定平衡位置保守系平衡位置穩(wěn)定性拉格朗日定理，即 （自由度為1） （6.1）（6.2） （b）不穩(wěn)定平衡 勢能在平衡位置取極大值時(shí)為不穩(wěn)定平衡。 （c）隨遇平衡 勢能在平衡位置為常數(shù)時(shí)為隨遇平衡。4 6.

3、2 兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng) （1）拉格朗日方程 設(shè)體系的兩個(gè)廣義坐標(biāo)為、，則體系的拉格朗日方程為（6.1） 對于平衡位置附近的微振動(dòng)、體系的約束是穩(wěn)定的，動(dòng)能必為廣義速度的二次齊次式，即（6.2） 其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，且勢能僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù)5為了簡化和近似，廣義坐標(biāo)零點(diǎn)取平衡位置上，將和T中的在平衡位置用泰勒級數(shù)展開 （6.3） （6.4） （6.3）式中的（*）是 三次以上的項(xiàng)。如果保留到最低階的非零小量，（6.3）式可簡化為（6.5）式中，是常數(shù)。 思考：（6.3）式中為何可略去（*）項(xiàng)和取，？6 動(dòng)能T的表式中也只要保留到二級小量，故 只取零級近似即可。式中也都是常數(shù)。 將（6.

4、5）和（6.6）代入（6.1）得（6.7） 或（6.8）上式為兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng)微分方程，是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程組。7 （2）微分方程的解.頻率方程（久期方程） 用常規(guī)方法求解。設(shè)（6.7）式的解為 （6.9）將（6.9）式代入（6.7）得 （6.10）或 （6.11） 由（6.10）知： ，由此得 ，對應(yīng)于體系的平衡狀態(tài)，不是 所需要的解。要使（6.10）中的 有異于零的解，方程的系數(shù)行列式必須為 零，因 ，得， 8（6.12）為和（方程6.12）稱為頻率方程（或久期方程）?？梢宰C明它恒有兩個(gè)正的實(shí)根。設(shè) ，根據(jù)線性方程的原理，經(jīng)過計(jì)算得方程（6.7）的通解為 （6.13）

5、 式中四個(gè)常數(shù) 由初始條件 決定。 若兩個(gè)正根相等（正等根）： ，則通解為 （6.14） 9 例1 兩個(gè)相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解：自由度為2，取和為廣義坐標(biāo)，則 （1） 將（1）代入拉格朗日方程得 （2）令（2）式的特解為 （3）10將（3）代入（2）得（4）要使上式的有不恒為零的解，必須（5）由（5）得（6）11將（6）代入（4）中的任一式得振幅比值（7）（8）這里 為方程（4）的根，于是兩個(gè)特解即可確定，兩個(gè)特解的 線性疊加即得通解 常數(shù) 由初始條件決定。 12 例2 試求如圖6.3所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻率。 解：自由度為2，以位移為廣義坐標(biāo)，則 （1） 將

6、（1）代入拉格朗日方程得（2）（3）引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo) 分別將（2）和（3）相加減，得由此得和振動(dòng)模式的頻率分別為 和 13 6.3 n個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng) （1）拉格朗日方程 將體系的動(dòng)能和勢能在平衡位置展開成泰勒級數(shù)保留到二級小量，得（6.15） 代入拉格朗方程，得 （6.16） （2）振動(dòng)規(guī)律（拉格朗方程的通解） 令（6.16）的特解為（6.17） （6.17）代入（6.16）式： （6.18） 14要使上式有不為零的解的條件為（6.19） 上式是關(guān)于的n次多項(xiàng)式，有n個(gè)根且都是正的實(shí)根。 振幅比： 將代入（6.18）式，把看作已知的，然后已知對（n-1）個(gè) 求解，可得 （6.20）

7、 這些都是常數(shù)，共有n（n-1）個(gè)。 方程（6.16）的一個(gè)特解為（6.21） 15這些特解的線性疊加即為通解：（6.22） 個(gè)振幅 ,（6.20）式中提供了n（n-1）個(gè)已知的比方程（6.22）中共有個(gè)振幅中獨(dú)立的只有個(gè)，即再加上n個(gè)相角，共有2n個(gè)待定常數(shù)，可由初始條件決定。值，因此，16 6.4 簡振坐標(biāo)和簡正振動(dòng) 力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)可有多種選取方式，廣義坐標(biāo)選取得當(dāng)，拉格朗日方程很容易求解。 以雙單擺為例。 若選取為廣義坐標(biāo)：和 或 （6.23） 由此可得（6.24） 17代入拉格朗日方程，得（6.25） 顯然通解為（6.26）其中（6.27）18和廣義坐標(biāo)的平方和的形式 因此，在處理

8、線性振動(dòng)問題如果所選取的廣義坐標(biāo)能使T和V同時(shí)成為廣義速度 （6.28） 則代入拉格朗方程得 （6.29） 19其解即為 （6.30） 選取這種能使T和V同時(shí)表示為 和的平方和形式的廣義坐標(biāo)稱為簡正坐標(biāo)。 簡正坐標(biāo)描述了體系在振動(dòng)過程中只以一個(gè)頻率振動(dòng)，其余頻率的振動(dòng)沒有激發(fā)，這種以單一頻率的振動(dòng)模式稱為簡正振動(dòng)式本征振動(dòng)。體系的任一種振動(dòng)狀態(tài)，則是各種簡正振動(dòng)的線性疊加。20 6.5 解題指導(dǎo) （1）習(xí)題類型基本解法 本章習(xí)題的基本類型是已知體系所受的力及運(yùn)動(dòng)的某些條件，求體系振動(dòng) 頻率、周期和振動(dòng)方程（規(guī)律）。 基本解法：先應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，然后解方程。 （2）范例 弦的等分點(diǎn)上三個(gè)相同質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)（P.181例） 解：弦的伸長量為（1）21弦的彈性勢能和動(dòng)能為將T、V代入拉格朗日方程得設(shè)（2）式的特解為（3）