2023版高三一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)習(xí)題（新高考人教版）：練案53　第八章　第八講　第一課時(shí)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、練案53第八講圓錐曲線的綜合問(wèn)題第一課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1(2022湖北武漢部分學(xué)校質(zhì)檢)過(guò)拋物線E：y22x焦點(diǎn)的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離為1，則|AB|(C)A2Beq f(5,2)C3D4解析設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，故|AB|x1x2p213，故選C.2已知直線ykx1與雙曲線x2eq f(y2,4)1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8eq r(2)，則實(shí)數(shù)k的值為(B)Aeq r(7)Beq r(3)或eq f(r(41),3)Ceq r(3)Deq f(r(41),3)解析由直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，得k2.將ykx1代入

2、x2eq f(y2,4)1，得(4k2)x22kx50，則4k24(4k2)50，k20)，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，且eq o(AB,sup6()4eq o(FB,sup6()，則直線l的傾斜角為(C)Aeq f(,6)Beq f(,4)Ceq f(,3)Deq f(2,3)解析如圖，過(guò)A，B作AA，BB垂直準(zhǔn)線xeq f(p,2)，垂足為A，B，過(guò)B作AA垂線，垂足為C，由拋物線定義知|BF|BB|，|AF|AA|，3|BF|AF|，2|BF|AC|，所以cosBACeq f(1,2)，BACeq f(,3)，所以直線l傾斜角為eq f(,3)，故選C

3、.6(2018課標(biāo)卷)已知雙曲線C：eq f(x2,3)y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|(B)Aeq f(3,2)B3C2eq r(3)D4解析由雙曲線C：eq f(x2,3)y21可知其漸近線方程為yeq f(r(3),3)x，MOx30，MON60，不妨設(shè)OMN90，則易知焦點(diǎn)F到漸近線的距離為b，即|MF|b1，又知|OF|c2，|OM|eq r(3)，則在RtOMN中，|MN|OM|tanMON3.故選B.7(2021河南天一大聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與圓C：x2(yeq

4、 r(3)23交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|eq r(6)，則MNF的面積為(B)Aeq f(r(2),8)Beq f(3,8)Ceq f(3r(2),8)Deq f(3r(2),4)解析作出圖形如下圖所示，由題意知|AM|2eq r(3).因?yàn)辄c(diǎn)N為圓C圓周上一點(diǎn)，所以ANM90，則在RtANM中，由|AM|2eq r(3)，|MN|eq r(6)，得|AN|eq r(|AM|2|MN|2)eq r(6)，AMN45，所以N(eq r(3)，eq r(3)代入y22px中，解得peq f(r(3),2)，故MNF的面積為eq f(1,2)eq f(r(3),4)eq r(3)eq f(3,8).

5、8(2022西南名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)直線l與雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，直線l與直線OM(O是坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率的乘積等于2，則此雙曲線C的離心率為(D)A2B3Ceq r(2)Deq r(3)解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AB的斜率為eq f(y2y1,x2x1)，直線OM的斜率為eq f(y1y2,x1x2)，即eq f(y1y2,x1x2)eq f(y2y1,x2x1)2.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在雙曲線C上，所以有eq f(xoal(2,1),a2)eq f(yoal(2,1),b2)1，eq f(xoal

6、(2,2),a2)eq f(yoal(2,2),b2)1，化簡(jiǎn)可得：eq f(b2,a2)eq f(y1y2,x1x2)eq f(y2y1,x2x1)，所以有eq f(b2,a2)2，離心率為eeq r(1f(b2,a2)eq r(3).故選D.二、多選題9過(guò)雙曲線x2eq f(y2,2)1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|4，則直線l的方程可能為(ACD)Axeq r(3)Bx2y10Cxeq r(2)yeq r(3)0Dxeq r(2)yeq r(3)0解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為xeq r(3)，由eq blcrc (avs4

7、alco1(xr(3)，,x2f(y2,2)1，)得y2，|AB|y1y2|4滿足題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，其方程為yk(xeq r(3)，由eq blcrc (avs4alco1(ykxr(3)，,x2f(y2,2)1，)得(2k2)x22eq r(3)k2x3k2 20.當(dāng)2k20時(shí)，不符合題意，當(dāng)2k20時(shí)，x1x2eq f(2r(3)k2,k22)，x1x2eq f(3k22,k22)，|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(1k2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3)k2,k22)2f(12k28,k22)eq r(1k2)eq r

8、(f(16k21,k222)eq f(4k21,|k22|)4.解得keq f(r(2),2)，故l的方程為yeq f(r(2),2)(xeq r(3)或yeq f(r(2),2)(xeq r(3)，即xeq r(2)yeq r(3)0或xeq r(2)yeq r(3)0，故選ACD.10(2021遼寧模擬)已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)且a2、b2、c2成等差數(shù)列，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，eq o(AF,sup6()3eq o(FB,sup6()，則直線l的斜率可能取值為(AB)Aeq r(11)Beq

9、 r(11)Ceq r(3)Deq r(3)解析因?yàn)閍2、b2、c2成等差數(shù)列，所以a2c22b22(c2a2)，所以ceq r(3)a.設(shè)左焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)Bm，則AF3m，F(xiàn)1B2am，F(xiàn)1A2a3m.令F1FA，則cos eq f(4c29m22a3m2,22c3m)eq f(4c2m22am2,22cm)，即2c22a23am0，將ceq r(3)a代入解得meq f(4,3)a，從而解得cos eq f(r(3),6)，故tan eq r(11)，而是直線l的傾斜角或傾斜角的補(bǔ)角，所以直線l的斜率的值為eq r(11)或eq r(11).11已知M(1，3)，過(guò)拋物線C：y24x焦點(diǎn)F

10、的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(BCD)A過(guò)M與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條B|PM|與P到拋物線C的準(zhǔn)線距離之和的最小值為3C若|AF|，|OM|，|BF|成等比數(shù)列，則|AB|10D拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線互相垂直解析設(shè)過(guò)M的直線方程為：xm(y3)1，又拋物線C的方程為：y24x，聯(lián)立方程可得：eq blcrc (avs4alco1(xmy31,y24x)化簡(jiǎn)得：y24my12m40(4m)24(12m4)16(m23m1)0時(shí)，解得meq f(3r(5),2)，即有兩解又y3時(shí)，xeq f(9,4)，所以直線y3與拋物線

11、y24x有一個(gè)交點(diǎn)過(guò)M與拋物線C相交且有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；F(1,0)，|PM|與P到拋物線C的準(zhǔn)線距離之和等于|PM|PF|，又|PM|PF|MF|3，選項(xiàng)B正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線BA的方程為xny1，代入拋物線的方程可得y24ny40，所以y1y24，x1x2eq f(yoal(2,1)yoal(2,2),16)1，因?yàn)閨AF|BF|(x11)(x21)x1x2x1x21x1x22|OM|210，所以|AB|AF|BF|x1x2210，選項(xiàng)C正確；不妨設(shè)y200)的準(zhǔn)線為l，l與雙曲線eq f(x2,4)y21的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若|

12、AB|4，則aeq f(1,4).解析由拋物線yax2(a0)，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為yeq f(1,4a)，由雙曲線eq f(x2,4)y21，則漸近線為yeq f(1,2)x，因?yàn)閨AB|4，由雙曲線的對(duì)稱性可知yeq f(1,4a)與yeq f(1,2)x的交點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,4a)，把交點(diǎn)代入yeq f(1,2)x可得eq f(1,4a)eq f(2,2)，所以aeq f(1,4).13(2022湖南長(zhǎng)沙調(diào)研)過(guò)點(diǎn)(0,3)的直線l與拋物線y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程為yeq f(1,3)x3或y3或x0.解析當(dāng)直線l的斜率k存在且k0

13、時(shí)，由相切知直線l的方程為yeq f(1,3)x3；當(dāng)k0時(shí)，直線l的方程為y3，此時(shí)直線l平行于拋物線的對(duì)稱軸，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,4)，3)；當(dāng)k不存在時(shí)，直線l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)(0,0)，此時(shí)直線l的方程為x0.綜上，過(guò)點(diǎn)(0,3)且與拋物線y24x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為yeq f(1,3)x3或y3或x0.四、解答題14(2021黑龍江哈爾濱模擬)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)C上一點(diǎn)P(1，t)(t0)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與C交于M，N兩點(diǎn)，(1)證明：直線MN的斜率是1；(2)若8|MF|，|MN|，

14、|NF|成等比數(shù)列，求直線MN的方程解析(1)P在拋物線y24x上，t2，P(1,2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由題可知，kMPkNP0，eq f(y12,x11)eq f(y22,x21)0，eq f(y12,f(yoal(2,1),4)1)eq f(y22,f(yoal(2,2),4)1)0，eq f(4,y12)eq f(4,y22)0，y1y24，kMNeq f(y1y2,x1x2)eq f(4,y1y2)1.(2)由(1)問(wèn)可設(shè)：l：yxm，則|MN|eq r(2)eq blc|rc|(avs4alco1(x1x2)，|MF|x11，|NF|x21，|MN|28|MF|N

15、F|，(eq r(2)eq blc|rc|(avs4alco1(x1x2)28(x11)(x21)，即(x1x2)28x1x24(x1x2)40(*)，將直線l與拋物線C聯(lián)立，eq blcrc (avs4alco1(yxm,y24x)可得：x2(2m4)xm20，所以eq blcrc (avs4alco1(16m160,x1x22m4,x1x2m2)，代入(*)式，可得m1滿足0，l：yx1.15(2021江西南昌摸底)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，其離心率為eq f(r(3),2)，以F1為圓心以1為半徑的圓與以F2為圓心以

16、3為半徑的圓相交，兩圓交點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)橢圓上頂點(diǎn)A斜率為k的直線l與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為B，若ABF2的面積為eq f(5,4)eq r(3)，求直線l的方程解析(1)由兩圓交點(diǎn)在橢圓上，2a134，得a2，由離心率為eq f(r(3),2)，eq f(a2b2,a2)eq f(3,4)，得b1，所以橢圓C的方程為eq f(x2,4)y21.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，所以直線l的方程為ykx1，代入橢圓方程得：eq f(x2,4)(kx1)21，即(4k21)x8kx0，因?yàn)閤A0，所以xBeq f(8k,4k21)，yBeq f(14k2,4k21)，又因

17、為直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,k)，0)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(eq r(3)，0)，所以eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(r(3)f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(14k2,4k21)eq f(5r(3),4)，解得keq f(r(3),2)或keq f(5r(3),6)，所以，直線l的方程為yeq f(r(3),2)x1或yeq f(5r(3),6)x1.B組能力提升1(2020天津)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，3)，右焦點(diǎn)為F，且|OA|OF

18、|，其中O為原點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C滿足3eq o(OC,sup6()eq o(OF,sup6()，點(diǎn)B在橢圓上(B異于橢圓的頂點(diǎn))，直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程解析(1)由已知可得b3.記半焦距為c，由|OF|OA|可得cb3.又由a2b2c2，可得a218.所以，橢圓的方程為eq f(x2,18)eq f(y2,9)1.(2)因?yàn)橹本€AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以ABCP.依題意，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的方程為ykx3.由方程組eq blcrc (avs4alco1(ykx3，,f(x2,18)f(y2,

19、9)1，)消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或xeq f(12k,2k21).依題意，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(12k,2k21)，f(6k23,2k21).因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(6k,2k21)，f(3,2k21).由3eq o(OC,sup6()eq o(OF,sup6()，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)，故直線CP的斜率為eq f(f(3,2k21)0,f(6k,2k21)1)eq f(3,2k26k1).又因?yàn)锳BCP，所以keq f(3,2k26k1)1

20、，整理得2k23k10，解得keq f(1,2)或k1.所以，直線AB的方程為yeq f(1,2)x3或yx3.2(2022福建廈門質(zhì)檢)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的焦距為2eq r(2)，且過(guò)點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(r(2)，f(r(3),3).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)C的右焦點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，C上一點(diǎn)M滿足eq o(OA,sup6()eq f(4,3)eq o(OM,sup6()eq o(OB,sup6()，求|OM|.解析(1)設(shè)焦距為2c，則ceq r(2)，設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則|PF2|eq f