2023版高三一輪數學復習習題（新高考人教版）：練案27　第四章　第六講　解三角形

1、練案27第六講解三角形A組基礎鞏固一、選擇題1在ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC(C)Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)解析因為在ABC中，設ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cos BACeq f(b2c2a2,2bc)eq f(92549,30)eq f(1,2)，因為BAC為ABC的內角，所以BACeq f(2,3).故選C.2在ABC中，ceq r(3)，A75，B45，則ABC的外接圓的面積為(B)Aeq f(,4)BC2D4解析在ABC中，ceq r(3)，A75，B45，故C180AB60.設ABC的外接圓半徑為R，

2、則由正弦定理可得2Req f(c,sin C)eq f(r(3),f(r(3),2)，解得R1，故ABC的外接圓的面積SR2.故選B.3(2022安徽合肥模擬)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面積為eq f(r(3),2)，則BC的長為(B)Aeq f(r(3),2)Beq r(3)C2eq r(3)D2解析因為Seq f(1,2)ABACsin Aeq f(1,2)2eq f(r(3),2)ACeq f(r(3),2)，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos A221222cos 603.所以BCeq r(3).4在ABC中，若eq f(bcos C,ccos B)eq f

3、(1cos 2C,1cos 2B)，則ABC的形狀是(D)A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析由已知eq f(1cos 2C,1cos 2B)eq f(2cos2C,2cos2B)eq f(cos2C,cos2B)eq f(bcos C,ccos B)，所以eq f(cos C,cos B)eq f(b,c)或eq f(cos C,cos B)0，即C90或eq f(cos C,cos B)eq f(b,c).當C90時，ABC為直角三角形當eq f(cos C,cos B)eq f(b,c)時，由正弦定理，得eq f(b,c)eq f(sin B,sin C)

4、，所以eq f(cos C,cos B)eq f(sin B,sin C)，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.因為B，C均為ABC的內角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.5一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為(B)A8eq r(6)Beq f(17r(6),2)Ceq f(17r(3),2)D17eq r(6)解析如圖，由題意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，eq f(MN,sin 1

5、20)eq f(PM,sin 45)，MN68eq f(f(r(3),2),f(r(2),2)34eq r(6)海里又由M到N所用的時間為14104(h)，此船的航行速度veq f(34r(6),4)eq f(17r(6),2)海里/時6(2021河北武邑中學調研)黑板上有一道有解的解三角形的習題，一位同學不小心把其中一部分擦去了，現在只能看到：在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a2，解得beq r(6)，根據以上信息，你認為下面哪個選項可以作為這個習題的其余已知條件(B)AA30，B45BC75，A45CB60，c3Dc1，cos Ceq f(1,3)解析由C75，A45可

6、知B60，又eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，beq f(asin B,sin A)eq f(2sin 60,sin 45)eq f(r(3),f(r(2),2)eq r(6)，符合題意，故選B.二、多選題7在ABC中，a4，b8，A30，則此三角形的邊角情況可能是(ACD)AB90BC120Cc4eq r(3)DC60解析eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，sin Beq f(bsin A,a)1，B90，C60，根據eq f(c,sin C)eq f(a,sin A)得Ceq f(asin C,sin A)eq f(4f(r(3),2),f(1,2)4

7、eq r(3).故選A、C、D.8(2021山東德州期中)下列關于正弦定理的敘述中正確的是(ACD)A在ABC中，a：b：csin A：sin B：sin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，則ABC在ABC中，若sin Asin B，則AB；若AB，則sin Asin BD在ABC中，eq f(a,sin A)eq f(bc,sin Bsin C)解析對于A，在ABC中，由正弦定理可得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以a：b：csin A：sin B：sin C，故A正確；對于B，若sin 2Asin 2B，則2A2B或2A2B，可得AB或ABeq f(,2)

8、，故B錯誤；對于C，若sin Asin B，根據正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，得ab，再根據大邊對大角若AB，則ab，由正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，得sin Asin B，故C正確；對于D，由eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，再根據比例式的性質可知D正確故選A、C、D.三、填空題9(2022佛山模擬)在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點之間的距離為eq r(6)千米解析ACB180756045，由正弦定理得eq f(AC,sin 60)eq f(AB,sin 45)eq f(2

9、,sin 45)，ACeq r(6)千米10(2021福州市適應性考試)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos Bbcos A2ac，則aeq f(1,2).解析由題設及正弦定理得sin Acos Bsin Bcos A2asin C，所以sin(AB)2asin C又ABC，所以sin C2asin C，又sin C0，所以aeq f(1,2).11已知ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足eq f(sin Asin Cac,b)sin Asin B，則Ceq f(,3).解析在ABC中，eq f(sin Asin Cac,b)sin Asin B，eq

10、f(acac,b)ab.a2b2c2ab，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2).Ceq f(,3).12我國南宋著名數學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜求積”公式為Seq r(f(1,4)blcrc(avs4alco1(a2c2blc(rc)(avs4alco1(f(a2c2b2,2)2)，若a2sin C5sin A，(ac)216b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為 2 .解析a2sin C5sin A，a2c5a，即ac5，因為(ac)216b2，所以a2c2b2

11、162ac6，從而ABC的面積為2，故答案為2.四、解答題13(2021新高考八省聯(lián)考)在四邊形ABCD中，ABCD，ADBDCD1.(1)若ABeq f(3,2)，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.解析(1)在ABD中，cosABDeq f(f(1,2)AB,BD)eq f(3,4).ABCD，BDCABD.在BCD中，BC2BD2DC22BDDCcosBDC1212211eq f(3,4)eq f(1,2)，BCeq f(r(2),2).(2)設BCx，則AB2x，cosABDeq f(f(1,2)AB,BD)x.在BCD中，BC2BD2DC22BDCDcosBDC，x2112x

12、，x22x20，解得xeq r(3)1.cosBDCcosABDxeq r(3)1.14(2021新高考，19)記ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2ac，點D在邊AC上，BDsinABCasin C.(1)證明：BDb；(2)若AD2DC，求cosABC.解題指導(1)利用正弦定理將題干中的邊角關系轉化為邊之間的關系是解題突破口(2)在不同的三角形中利用余弦定理探究邊長間的關系是解決本題第二問的關鍵解析(1)證明：在ABC中，由BDsinABCasin C及正弦定理可得BDbac，又b2ac，所以BDbb2，故BDb.(2)由AD2DC得ADeq f(2,3)b，DCeq

13、f(b,3)，在ABD中，cos Aeq f(AD2AB2BD2,2ADAB)eq f(f(4,9)b2c2b2,2f(2,3)bc)eq f(c2f(5,9)b2,f(4,3)bc)，在ABC中，cos Aeq f(AC2AB2BC2,2ACAB)eq f(b2c2a2,2bc).故eq f(c2f(5,9)b2,f(4,3)bc)eq f(b2c2a2,2bc)，化簡得3c211b26a20，又b2ac，所以3c211ac6a20，即(c3a)(3c2a)0，所以c3a或ceq f(2,3)a.當c3a時，b2ac3a2，所以beq r(3)a，此時ab0，所以sin Beq f(4r(5

14、),9)，所以tan B4eq r(5)，故選C.解法二：作BDAC于D，由cos Ceq f(2,3)，BC3，知CD2，即D為邊AC的中點，所以三角形ABC是等腰三角形，且BDeq r(5)，于是tan eq f(B,2)eq f(2,r(5)，故tan Beq f(2f(2,r(5),1f(4,5)4eq r(5)，故選C.3(2021湖南四校摸底調研)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq f(sin A,sin Bsin C)eq f(b,ac)1，則C(B)Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)解析由正弦定理及eq f(sin A

15、,sin Bsin C)eq f(b,ac)1，得eq f(a,bc)eq f(b,ac)1，整理可得a2b2c2ab，由余弦定理得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)，又C(0，)，所以Ceq f(,3).故選B.4如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為eq f(r(21),14).解析由ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 8

16、00BC20eq r(7).由正弦定理，得eq f(AB,sin ACB)eq f(BC,sin BAC)sin ACBeq f(AB,BC)sin BACeq f(r(21),7).由BAC120，知ACB為銳角，則cos ACBeq f(2r(7),7).由ACB30，得cos cos(ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30eq f(r(21),14).5(2020新高考)在aceq r(3)，csin A3，ceq r(3)b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由問題：是否存在ABC，它的內角A，

17、B，C的對邊分別為a，b，c，且sin Aeq r(3)sin B，Ceq f(,6)， ？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分解析方案一：選條件.由Ceq f(,6)和余弦定理得eq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3),2).由sin Aeq r(3)sin B及正弦定理得aeq r(3)b.于是eq f(3b2b2c2,2r(3)b2)eq f(r(3),2)，由此可得bc.由aceq r(3)，解得aeq r(3)，bc1.因此，選條件時問題中的三角形存在，此時c1.方案二：選條件.由Ceq f(,6)和余弦定理得eq f(a2b2c2,2ab)eq f(r(3),2).由sin Aeq r(3)sin B及正弦定理得aeq r(3)b.于是eq f(3b2b2