2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過關(guān)檢測(13)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、課時(shí)過關(guān)檢測(十三) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1一個(gè)港口的某一觀測點(diǎn)的水位在退潮的過程中，水面高度y(單位：cm)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為yh(t)eq f(100,2t1)，當(dāng)t3時(shí)，水面下降的速度為()Aeq f(200,49) cm/sBeq f(200,49) cm/sCeq f(100,49) cm/sDeq f(100,49) cm/s解析：B由題意得，h(t)eq f(1002t1,2t12)eq f(200,2t12)，所以h(3)eq f(200,2312)eq f(200,49)，故當(dāng)t3時(shí)，水面下降的速度為eq f(200,49) cm/s，故選B2設(shè)某商品的需

2、求函數(shù)為Q1005P，其中Q，P分別表示需求量和價(jià)格，如果商品需求彈性eq f(EQ,EP)大于1，其中eq f(EQ,EP)eq f(Q,Q)P，Q是Q的導(dǎo)數(shù)，則商品價(jià)格P的取值范圍是()A(0,10)B(10,20)C(20,30)D(20，)解析：B根據(jù)題意得eq f(EQ,EP)eq f(Q,Q)Peq f(5P,1005P)eq f(P,20P)，由eq f(EQ,EP)1得eq f(P,20P)10，即eq f(2P20,20P)0，解得10Pf(2)Bf(3)f(3)Df(3)f(2)f(3)0，故A錯(cuò)誤，B正確設(shè)A(2，f(2)，B(3，f(3)，則f(3)f(2)eq f(f

3、3f2,32)kAB，由題圖知f(3)kABf(2)，即f(3)f(3)f(2)f(2)，故C、D正確6(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”下列選項(xiàng)中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()Af(x)x2Bf(x)exCf(x)ln xDf(x)tan x解析：AC若f(x)x2，則f(x)2x，令x22x，得x0或x2，方程顯然有解，故A符合要求；若f(x)ex，則f(x)ex，令exex，此方程無解，故B不符合要求；若f(x)ln x，則f(x)eq f(1,x)，令ln xeq f(1,x)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)yln

4、x與yeq f(1,x)的圖象(圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程f(x)f(x)存在實(shí)數(shù)解，故C符合要求；若f(x)tan x，則f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin x,cos x)eq f(1,cos2x)，令tan xeq f(1,cos2x)，化簡得sin xcos x1，變形可得sin 2x2，無解，故D不符合要求故選A、C7已知點(diǎn)P在曲線yx3x上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是_解析：yx3x，y3x211，tan 1，0，過P點(diǎn)的切線的傾斜角的取值范圍是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(a

5、vs4alco1(f(3,4)，)答案：eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)8(2022南平二模)請寫出與曲線f(x)x31在點(diǎn)(0,1)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)(非常數(shù)函數(shù))的解析式為g(x)_解析：f(x)3x2，f(0)0，曲線f(x)x31在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y1，所有在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y1的函數(shù)都是正確答案答案：x21(答案不唯一)9(1)求曲線f(x)x33x22x過原點(diǎn)的切線方程；(2)已知f(x)在R上可導(dǎo)，F(xiàn)(x)f(x31)f(1x3)，求F(1)的值解：(1)f(x)3x26x2設(shè)

6、切線的斜率為k可知原點(diǎn)在曲線上當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，kf(0)2，所以所求曲線的切線方程為y2x當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)(x00)，則有y0 xeq oal(3,0)3xeq oal(2,0)2x0，keq f(y0,x0)xeq oal(2,0)3x02，()又因?yàn)閗f(x0)3xeq oal(2,0)6x02()由()()得x0eq f(3,2)，keq f(y0,x0)eq f(1,4)所以所求曲線的切線方程為yeq f(1,4)x綜上，所求曲線的切線方程為y2x或yeq f(1,4)x(2)由題知F(x)3x2f(x31)3x2f(1x3)，則F(1)3f(0)3f(0)0B

7、級綜合應(yīng)用10已知P是曲線ysin x(x0，)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x2y60上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)|PQ|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()Aeq f(,4)Beq f(,2)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)解析：C如圖所示，若使|PQ|取得最小值，則曲線ysin x(x0，)在點(diǎn)P處的切線與直線x2y60平行，對函數(shù)ysin x求導(dǎo)得ycos x，令yeq f(1,2)，可得cos xeq f(1,2)，0 x，解得xeq f(2,3)故選C11(多選)丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)f(x)在(a

8、，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，f(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若在(a，b)上f(x)0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a，b)上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上是凸函數(shù)的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析：ABC對于A，由f(x)sin xcos x，得f(x)cos xsin x，則f(x)sin xcos x(sin xcos x)，因?yàn)閤eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以f(x)sin xcos x(sin xcos x)0，所以此函數(shù)是

9、凸函數(shù)；對于B，由f(x)ln x2x，得f(x)eq f(1,x)2，則f(x)eq f(1,x2)，因?yàn)閤eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以f(x)eq f(1,x2)0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對于C，由f(x)x32x1，得f(x)3x22，則f(x)6x，因?yàn)閤eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以f(x)6x0，所以此函數(shù)不是凸函數(shù)，故選A、B、C12我國魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一借用“以直代曲”的近

10、似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算設(shè)f(x)ln(1x)，則曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_，用此結(jié)論計(jì)算ln 2 022ln 2 021_解析：函數(shù)f(x)ln(1x)，則f(x)eq f(1,1x)，f(0)1，f(0)0，切線方程為yxln 2 022ln 2 021lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2 021)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 021)，根據(jù)以直代曲，xeq f(1,2 021)非常接近切點(diǎn)x0可以將xeq f(1,2 021)代入切線近似代替feq blc(rc)(av

11、s4alco1(f(1,2 021)，即feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2 021)eq f(1,2 021)答案：yxeq f(1,2 021)13已知函數(shù)f(x)eq f(1,3)x32x23x(xR)的圖象為曲線C(1)求在曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解：(1)由題意得f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即曲線C上任意一點(diǎn)處的切線斜率的取值范圍是1，)(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k(k0)，則由題意并結(jié)合(1)中結(jié)論可知eq blcrc (avs4alco

12、1(k1，,f(1,k)1，)解得1k0或k1，則1x24x30或x24x31，解得x(，2eq r(2)(1,3)2eq r(2)，)C級遷移創(chuàng)新14已知函數(shù)f(x)eq f(1,4)x2cos x的圖象在點(diǎn)(t，f(t)處的切線的斜率為k，則函數(shù)kg(t)的大致圖象是()解析：A對f(x)求導(dǎo)，得f(x)eq f(1,2)xsin x，則kf(t)g(t)eq f(1,2)tsin t由f(t)f(t)，可知f(t)為奇函數(shù)，即kg(t)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B、D；又當(dāng)teq f(,2)時(shí)，geq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(,4)sin eq f

13、(,2)eq f(,4)10，排除C故選A15(2022鄭州名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直線m：ykx9，且f(1)0(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是曲線yg(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因?yàn)閒(1)0，所以3a66a0，所以a2(2)存在由已知得，直線m恒過定點(diǎn)(0,9)，若直線m是曲線yg(x)的切線，則設(shè)切點(diǎn)為(x0,3xeq oal(2,0)6x012)因?yàn)間(x0)6x06，所以切線方程為y(3xeq oal(2,0)6x012)(6x06)(xx0)，將(0,9)代入切線方程，解得x01當(dāng)x01時(shí)，切線方程為y9；當(dāng)x01時(shí)，切線方程為y12x9由(1)知f(x)2x33x212