“有理數(shù)加法”的教法初探

1、本課內(nèi)容的背景： “有理數(shù)加法”的教學(xué)，在性質(zhì)上屬于概念教學(xué)，歷來是難點(diǎn)課例，教師難教，學(xué)生難學(xué)。比較省事的辦法是：列舉簡(jiǎn)單事例，盡快出現(xiàn)法則，然后用較多的時(shí)間去練習(xí)法則、背法則。本節(jié)課在設(shè)計(jì)時(shí)要體現(xiàn)“概念形成的過程”，盡量讓學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)性學(xué)習(xí)，采用了讓學(xué)生觀察、實(shí)踐、探索、發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，自主學(xué)習(xí)。 教學(xué)設(shè)計(jì)思路和理念： 一、提出問題： 大家小學(xué)學(xué)習(xí)過小數(shù)、分?jǐn)?shù)、自然數(shù)的加法運(yùn)算，現(xiàn)在看來這些運(yùn)算都是在非負(fù)數(shù)的范圍內(nèi)進(jìn)行的。負(fù)數(shù)引入之后，數(shù)擴(kuò)大到了有理數(shù)的范圍，能否對(duì)任意的有理數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算？這種運(yùn)算的法則又是怎樣的呢？這就是本節(jié)課要研究的內(nèi)容。這一過程旨在由學(xué)生舊知引入新

2、知，很自然的激起學(xué)生探究的欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。 二、課題的引入 首先在引入問題上，我們費(fèi)了一番腦筋。 一開始，我們想從吸引學(xué)生的興趣出發(fā)，引導(dǎo)大家舉一些足球賽場(chǎng)上的得分，失分的例子。一位老師在和足球迷的丈夫討論后提到，最好不要討論某個(gè)足球隊(duì)在整個(gè)賽事上的得分情況，因?yàn)閯僖粓?chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，輸一場(chǎng)積0分，積分方法比較復(fù)雜，不利于學(xué)生列式子，總結(jié)法則。后來我們又想不如引導(dǎo)學(xué)生們討論一場(chǎng)足球賽中的凈勝球情況，比如我方進(jìn)了3個(gè)球，對(duì)方進(jìn)了2個(gè)球，那我們的凈勝球就是1球，再如我方進(jìn)了二2個(gè)球，對(duì)方進(jìn)了4個(gè)球，那么我們的凈勝球就是-2球，但是考慮到這樣的話，課堂討論時(shí)，可能學(xué)生會(huì)花好多時(shí)間去

3、列舉一些其本質(zhì)是一類的例子，比如我方進(jìn)3球，對(duì)方進(jìn)2球，我方進(jìn)4球，對(duì)方進(jìn)3球，或者有可能不能完全舉出我們心里想要他們舉出的那六個(gè)算式，這樣可能討論的效率不高，而且從數(shù)學(xué)的思維角度上來看，這種無序的討論，對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)可能作用不是太大；我們又不愿意一開始就在黑板上把所有的可能都列齊了，讓學(xué)生僅僅充當(dāng)譯題的的角色，所以最后呢，足球的引入還是被我們否定了。 我們決定用書上的引入，但做了一點(diǎn)小小的變化。 給出實(shí)際問題： 一位同學(xué)在一條東西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在的位置位于出發(fā)點(diǎn)的那個(gè)方向，與原來的位置相距多少米？ 三、探索規(guī)律 分組討論，由小組的代表說出本組成員的想法

4、，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生所回答的答案中包括了全部可能的答案，這時(shí)我趁勢(shì)提問回答出答案的同學(xué)是如何想出來的，并把他們的回答一一寫在黑板上，用1、2、3、來區(qū)分出不同的分類情況。 先向東走20m，再向東走30m； 先向東走20m，再向西走30m； 先向西走20m，再向東走30m； 先向西走20m，再向西走30m 還有同學(xué)補(bǔ)充說這個(gè)同學(xué)沒說全，還有好多種呢，比如先向東走30米，在向西走20米，馬上同學(xué)就反駁說，不對(duì)，剛剛題目都說啦，先走的是20米，后走的是30米，馬上那名同學(xué)恍然大悟說，哦，我搞錯(cuò)啦，你已經(jīng)說全了！（我們認(rèn)為這樣的更有方向性的討論，可贏得寶貴的課堂時(shí)間，提高討論效率，又不是那么刻板，學(xué)生容易想到

5、，有利于培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想）再次提出問題：你能把剛才四種可能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？（能）在寫之前咱們還有什么事沒做呢？因?yàn)楸竟?jié)課是在前面學(xué)習(xí)了有理數(shù)的意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生已經(jīng)很牢固地掌握了正數(shù)、負(fù)數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，所以馬上就有學(xué)生回答為了表示相反意義的量，所以要用到正負(fù)數(shù)，得規(guī)定正方向，比如向東的方向?yàn)檎?。我又引?dǎo)說，光有正方向就夠了嗎？又有一個(gè)同學(xué)補(bǔ)充說還要規(guī)定一下出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)，這樣就可以把朝哪個(gè)方向走表示成有理數(shù)了。（是一個(gè)建模的過程） 提問：求兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，應(yīng)該用那種運(yùn)算？學(xué)生們?cè)谛W(xué)就知道要用加法，找同學(xué)在黑板上列出算式，根據(jù)實(shí)際意義寫出算式的結(jié)果，分別等到四個(gè)等

6、式： （+20）+（+30）=+50 （+20）+（-30）=-10 （-20）+（+30）=+10 （-20）+（-30）=-50 指出：這幾個(gè)同學(xué)所列的式子就是兩個(gè)有理數(shù)相加求和的問題，當(dāng)然它們的答案是從實(shí)際生活意義出發(fā)考慮得到的，但是我們不能碰到任何一個(gè)有理數(shù)加法算式都從生活中的實(shí)例來推答案呀，（同學(xué)們笑）所以找到有理數(shù)的加法規(guī)律看來很必要。 列出算式根據(jù)實(shí)際意思寫出這個(gè)問題的結(jié)果，分別得到四個(gè)等式，觀察上述四個(gè)算式，學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，最先有同學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就是同號(hào)相加符號(hào)的取法，又有其他組的同學(xué)補(bǔ)充，或者是提出不同意見，有個(gè)同學(xué)說異號(hào)相加時(shí)，取大數(shù)的符號(hào)，馬上就有人反駁說，是絕對(duì)

7、值較大數(shù)的符號(hào)，還有同學(xué)上來提出一個(gè)說法，我認(rèn)為加法法則可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式概括，-b+a=a-b，同學(xué)們都一頭霧水，我就趁勢(shì)提問說那假如這兒的a是1，b是3呢？不夠減了，這種減法我們都不會(huì)，你是不是超前學(xué)了一點(diǎn)？可我們連加法還沒弄明白呢，你都上來減法啦！同學(xué)們發(fā)出善意的笑聲。（我所帶的班，算是資源中學(xué)中等成績(jī)的一個(gè)班，有一些可能在假期就事先預(yù)習(xí)了有關(guān)內(nèi)容，他知道一些東西，但又不很確切，剛開學(xué)的一段時(shí)間，經(jīng)常有同學(xué)會(huì)用后面的知識(shí)點(diǎn)來解決前面的東西，我曾給他們舉過這樣的例子，有三個(gè)人之間在傳一句話，甲說已告訴我的，乙說丙告訴我的，丙說甲告訴我的，這三人說得對(duì)不對(duì)呢？無從考證，因?yàn)樗麄內(nèi)嗽谘h(huán)，

8、一般來說幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，你要搞清楚我們是先研究什么的，后研究什么的，避免陷入循環(huán)論證的圈子里，扳了一段時(shí)間，現(xiàn)在這種現(xiàn)象已經(jīng)少多了。） 最后學(xué)生總結(jié)出 1、 同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加； 2、 異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值， 指導(dǎo)學(xué)生看書上的黑體字，比較一下書上的表達(dá)方式與我們自己的表達(dá)方式有什么區(qū)別？同學(xué)很快發(fā)現(xiàn)我們總結(jié)時(shí)沒有提到互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和為零，也沒有提到任何一個(gè)有理數(shù)與零的和仍是該數(shù)？還有同學(xué)說書上第二條前面還說絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩個(gè)數(shù)，我們卻沒有限定。 提出問題：那書上說的3、4兩條對(duì)不對(duì)吧？ 同學(xué)們紛紛回答說： “對(duì)！”

9、追問為什么，他們說“比如第一次向東走20米，第二次不動(dòng)，那結(jié)果還是出發(fā)點(diǎn)以東20米，或者第一地向東走20米，第二次向西走20米，那結(jié)果就是回到出發(fā)點(diǎn)了?！碧釂枺耗鞘遣皇俏覀兛偨Y(jié)時(shí)漏了這兩種情況了呢？是不是我們說的不對(duì)呢？ 同學(xué)們繼續(xù)分組討論。 一會(huì)兒，全班基本上分了兩個(gè)派別。有代表發(fā)言說，我認(rèn)為我們總結(jié)得不夠全面，少了兩條，細(xì)節(jié)的表達(dá)上也沒有注意，以后要注意改進(jìn)！別的組迫不及待的舉手說：“我認(rèn)為我們總結(jié)的比書上好，因?yàn)闀系?、4條已經(jīng)包含在我們剛剛的兩句話當(dāng)中了！”怎么講？“比如任何數(shù)加上0，我們前幾節(jié)學(xué)過可以把0表示為+0，或-0，那么（+20）+0可以看成（+20）+（+0），根據(jù)第一條

10、就可以知道答案就是+20，是它本身?；蛘撸?20）+0看成（+20）+（-0），根據(jù)異號(hào)加法法則答案也是+20，就不必列出來了！”馬上又有學(xué)生反駁說：“那互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0怎么用第一、二條解釋？”另一組代表發(fā)言說： “比如（+20）+（-20）它們兩絕對(duì)值相等，那我就不妨任意取正號(hào)或是負(fù)號(hào)，反正用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值后都是0，+0或-0都代表0.”同學(xué)還是不滿意：“說那明明說要取絕對(duì)值較大的那個(gè)數(shù)的符號(hào)嘛，你可不能任意規(guī)定取誰的符號(hào)！”這個(gè)時(shí)候又有同學(xué)說，那我們就先看絕對(duì)值吧，反正絕對(duì)值相等，一減為0了，隨便取那個(gè)數(shù)的符號(hào)吧，反正+0，-0都是0. 這么一解釋全班同學(xué)基本達(dá)成了一致

11、的意見，我又提問，那既然我們的和書上的法則實(shí)際上是一樣的，那你更喜歡哪一種表達(dá)方式呢？學(xué)生有的發(fā)言說：“我喜歡我們自己的表達(dá)，因?yàn)橥ふ模幌髸险f的那么多字，還不好背呢！ “也有同學(xué)說我也喜歡我們自己的表達(dá)，但書上也有它的好處，把特殊情況列出來，可能更不容易出錯(cuò)吧。我也乘機(jī)大了一個(gè)不一定很恰當(dāng)?shù)谋扔?，就像中?guó)有31個(gè)省，那還不是把幾個(gè)省列為直轄市，它們有一定的特殊性，可能當(dāng)列出來更好管理吧，同學(xué)們發(fā)出一陣笑聲。表揚(yáng)說，同學(xué)們真有能力，我本人也更喜歡你們的表達(dá)一些，不過說上給我們的提醒，大家也要小心哦?。ê⒆觽兌己芘d奮，感覺自己比書上總結(jié)得還好，自我價(jià)值得到一定的體現(xiàn)，獲得了成就感。） 事實(shí)

12、上，對(duì)于后面這段關(guān)于表達(dá)方式差異的討論，是我們精心設(shè)計(jì)的，一方面在引入問題上，書上是把5、6兩種情況單列出來的，比如不動(dòng)，或是想向東20米，又向西20米，我們總感覺出來的有點(diǎn)突兀，跟主干問題沒有太大的聯(lián)系，通過學(xué)生對(duì)法則中3，4兩種特殊情況的討論，巧妙地避免了由老師說出這兩種特殊情況，從他們嘴里說出來，印象會(huì)更深，而且討論的過程，本身就是熟悉和理解法則的過程，肯定他們的說法的正確性，對(duì)他們今后的探索更是一種激勵(lì)。 最后教師點(diǎn)一下規(guī)則，強(qiáng)調(diào)注意兩個(gè)方面：一是和的符號(hào)，二是和的絕對(duì)值與原加數(shù)絕對(duì)值之間的關(guān)系。 四、鞏固練習(xí) 例1（3）（+12）+（+20） （4）（+4.3）+（-3.4） 加深學(xué)

13、生對(duì)加法法則的熟悉和應(yīng)用，叫同學(xué)上黑板板演，同學(xué)們一起訂正，提醒大家書寫時(shí)的格式，如加數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)要用括號(hào)闊起來，要不就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非負(fù)數(shù)前連著有兩個(gè)符號(hào)了。 之后提問：你覺得再做有理數(shù)加法時(shí)，應(yīng)該注意些什么？ 同學(xué)們就反映說，首先要確定符號(hào)，然后就是小學(xué)的加減法了。 例2用算式表示：溫度由-4度上升7度達(dá)到多少度？ 讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)知識(shí)的目的為生活服務(wù)。 處理課后練習(xí) 最后請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勀阌X得這節(jié)課，你學(xué)到了什么？你覺得有哪些知識(shí)點(diǎn)你覺得是比較重要的。五、小節(jié) 總的來看，教學(xué)采用“問題情景建立模型解釋、應(yīng)用于拓展”的模式展開，注重引導(dǎo)學(xué)生參與探索、歸納有理數(shù)加法法則的過程，主動(dòng)獲取知識(shí)。這樣，學(xué)生

14、在這節(jié)課上不僅學(xué)懂了法則，而且能感知到研究數(shù)學(xué)問題的一些基本方法。這種方案減少了應(yīng)用法則進(jìn)行計(jì)算的練習(xí)，所以學(xué)生掌握法則的熟練程度可能稍差，這是教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意的問題。但是，在后續(xù)的教學(xué)中學(xué)生將千萬次應(yīng)用“有理數(shù)加法法則”進(jìn)行計(jì)算，故這種缺陷是可以得到彌補(bǔ)的。 課后反思 在我們剛拿到新教材這本書時(shí)，感覺到很多課都需要讓學(xué)生討論，擔(dān)心不好駕馭課堂，比如紀(jì)律，或者開展不起來。事實(shí)上，通過事先合理的安排分組，精心設(shè)計(jì)討論問題，完全可以使討論在一種有序的方式下進(jìn)行，學(xué)生們的思維也非?；钴S，往往不是開展起來，而是出現(xiàn)百家爭(zhēng)鳴的情況，經(jīng)過一段時(shí)間的討論訓(xùn)練，基本上能做到能放能手的程度。應(yīng)盡量避免漫無目的的，

15、不體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的討論，要爭(zhēng)取寶貴的課堂時(shí)間。 教材對(duì)老師提出了更高的要求，首先備課時(shí)要找的資料多了，甚至有很多跨學(xué)科的識(shí)點(diǎn)，我們也要不時(shí)地向其他人請(qǐng)教，課堂上要求老師較高的應(yīng)變能力，及時(shí)處理學(xué)生在討論中出現(xiàn)的問題，對(duì)學(xué)生的閃光點(diǎn)給予肯定，對(duì)教師的素質(zhì)也是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。 在進(jìn)修時(shí)，我們片上的老師又給我們提了很多寶貴的意見： 育興學(xué)校的楊老師提出，對(duì)于學(xué)生程度稍差一些的班級(jí)，讓學(xué)生討論向東向西走與終點(diǎn)問題時(shí)，可在黑板上用不同顏色和長(zhǎng)度的紙條，更直觀的給他們以運(yùn)動(dòng)的形象，或者干脆讓學(xué)生動(dòng)起來，親自走一走。 101中學(xué)的付老師提出本課在理論上的一個(gè)疑問：0是沒有符號(hào)的，+0或-0表示它的本身和相反數(shù)，那么學(xué)生討論中認(rèn)為3、4兩條可以歸納為1、2條的說法是否真的正確？這也是我們?cè)趥湔n時(shí)苦惱的一個(gè)問題。后來經(jīng)過討論，我們只好有點(diǎn)牽強(qiáng)的認(rèn)為，我們把同號(hào)和異號(hào)這個(gè)概念的外延擴(kuò)大，既然1、2條說的是同號(hào)和異號(hào)，也沒有特指是正號(hào)、負(fù)號(hào)，不妨認(rèn)為+20中的+也表示20本身，-20中的也表示其相反數(shù)，這樣與+0和-0意義一致，勉強(qiáng)也能說得過去。這是我們?cè)谑纵唫湔n活動(dòng)中忽略了的問題，作為一個(gè)青年教師，如何在今后的教學(xué)過程中，對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解得更到