2015年《高校自主招生考試》數(shù)學(xué)真題分類解析之5、概率

1、2015年高校旨主招生考試數(shù)學(xué)真題分類解析專題之5、概率一、選擇題。（2009年華中科技大學(xué)）從0,1,2,.,9這十個(gè)數(shù)碼中不放回地隨機(jī)取n（2n0,v0,w0,u+2v+w=1)且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機(jī)的兩個(gè).求子一代的三種基因型式的比例;子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎?并說(shuō)明理由.(2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以錯(cuò)誤！未找到引用源。表示未出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率.求錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。;探究數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的遞推公式,并給出證明討論數(shù)列錯(cuò)

2、誤！未找到引用源。的單調(diào)性及其極限,并闡述該極限的概率意義.(2012年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)系統(tǒng)內(nèi)有2k-l(kUN*)個(gè)元件，每個(gè)元件正常工作的概率為p(0vpv1),各個(gè)元件獨(dú)立工作若系統(tǒng)有超過(guò)一半的元件正常工作，則系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.求該系統(tǒng)正常工作的概率錯(cuò)誤！未找到引用源。;試討論錯(cuò)誤！未找到引用源。的單調(diào)性，并討論增加兩個(gè)元件后，能否提高系統(tǒng)的可靠性.【解析其通項(xiàng)為P計(jì)鮎-：-川用芒宀=垃7一-工壬=圧圣為非霧常數(shù).故選A.2.0【解析】因?yàn)橄瘸槿〉娜瞬恢欠癯榈姜?jiǎng)票:所以每個(gè)人能否抽到獎(jiǎng)票的機(jī)會(huì)均等擁二選C.A【解析】分裂情況如下所示:第一次分裂后(a

3、-z逢霊S忙事件觀吋心第一次分裂r-2w:第一次不能分裂；2:第一次不能分裂；記為事件E，則P；Bj=7-書霊S忖事存存=記為事件D.則P:DJ=7.當(dāng)事件AriQAD:BCBriD中任何一個(gè)發(fā)生時(shí):沒有細(xì)胞存活:記兩次分裂后沒有細(xì)胞存活為事件E則P(E)=P(AnC)-P(AriD)-PiBriC)-P(3nD)=ix_-_XL_x_-LX：2222222：因此兩次分裂后還有細(xì)胞存活的概率為1-P(E)=錯(cuò)誤！未找到引用源。.D【解析】首先,一個(gè)正整數(shù)的3次方的個(gè)位數(shù)是1,則這個(gè)正整數(shù)的個(gè)位數(shù)也必須是1.其次可試得1100中只有71符合要求,而且末兩位是71的均符合要求故選D.錯(cuò)誤！未找到引

4、用源。.【解析】錯(cuò)誤！未找到引用源。2錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤！未找到引用源。=57x錯(cuò)誤!未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。+7x7x錯(cuò)誤！未找到引用源。，P=錯(cuò)誤！未找到引用源。.(1)錯(cuò)誤！未找到引用源。.(2)6【解析】(1)任意選取2人的選法為錯(cuò)誤！未找到引用源。,其中2人都不是來(lái)自教育界的選法為錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此所求概率為p=錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。.(2)設(shè)男候選人為x(x18)人,則女候選人為36-x人,選出兩人都是男性的概率為p1=錯(cuò)誤！未找到引用源。，選出兩人都是女性的概率為p2=錯(cuò)誤!未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤！未找到引用源。

5、=錯(cuò)誤！未找到引用源o,.x236x+35x9=0,.*.x=21(x18),男女相差6人.7.(1)錯(cuò)誤！未找到引用源。(2)P(Xn+1=a+k)=Pk錯(cuò)誤！未找到引用源。+pk錯(cuò)誤！未找到引用源。(k1).第n次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為EXn，由于白球和黑球的總個(gè)數(shù)為a+b,則將第n+1次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類:第n+1次取出來(lái)的是白球，這種情況發(fā)生的概率是錯(cuò)誤！未找到引用源。，此時(shí)白球的個(gè)數(shù)為EXn；第n+1次取出來(lái)的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是錯(cuò)誤！未找到引用源。，此時(shí)白球的個(gè)數(shù)是EXn+1,【解析】n=l時(shí):袋中的白球的個(gè)數(shù)可能為孔即取出的是白球)概率為丄也可能為已-11即取出的是

6、黑球概率為上:故EX=a-b當(dāng)血1時(shí):第n-1次取出來(lái)有a-Fk個(gè)白球的可能性有兩種：第山尖袋中有已-k個(gè)白球:顯然每次取球后:球的總數(shù)保持不變:即已故此時(shí)黑球有b-k個(gè):第n-1次取出來(lái)的也是白球:這種情況發(fā)生的概率為pt三一=.-b第山欠袋中有a-k-1個(gè)白球:第n-l次取出來(lái)的是黑球:由于球的總數(shù)為m-b：故此時(shí)黑球的個(gè)數(shù)為b-k-l;這種情況發(fā)生的擬率為PlL-s-Jl).:,-b故?(Xq-：=a-k)=pt-pt-：-L-s-L(k1).=.-b=.-b(第詳欠白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為丘短：由于白球和黑球的總個(gè)數(shù)為曠b貝I將第n-l次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類:第n+1次取出來(lái)的是白球

7、，這種情況發(fā)生的概率是錯(cuò)誤！未找到引用源。，此時(shí)白球的個(gè)數(shù)為EXn；第n+1次取出來(lái)的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是錯(cuò)誤！未找到引用源。，此時(shí)白球的個(gè)數(shù)是EXn+1,故EXn+1=錯(cuò)誤！未找到引用源。EXn+錯(cuò)誤！未找到引用源。(EXn+l)=錯(cuò)誤！未找到引用源。+(1錯(cuò)誤！未找到引用源。)(EXn+1)=錯(cuò)誤！未找到引用源。+EXn錯(cuò)誤！未找到引用源。+1錯(cuò)誤！未找到引用源。=(1錯(cuò)誤！未找到引用源。)EXn+1.(1錯(cuò)誤！未找到引用源。(2)錯(cuò)誤！未找到引用源。(3)錯(cuò)誤！未找到引用源?！窘馕觥?1)P1=錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。；(2)P2=錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未

8、找到引用源。；P3=錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。.(1)錯(cuò)誤！未找到引用源。(2)錯(cuò)誤！未找到引用源。.【解析】當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有9x10=90個(gè)符合題意的三位數(shù);當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，有9x10=90個(gè)符合題意的三位數(shù)，故M含因子5的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。.(2)當(dāng)M中含有數(shù)字0,且0是重復(fù)數(shù)碼時(shí)，有9個(gè)符合題意的三位數(shù)；當(dāng)M中含有數(shù)字0,且0不是重復(fù)數(shù)碼時(shí)，有9x錯(cuò)誤！未找到引用源。=18個(gè)符合題意的三位數(shù)；當(dāng)M中不含數(shù)字0時(shí)，有9x8x3=216個(gè)符合題意的三位數(shù)，故M中恰有兩位數(shù)碼相同的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。.10.12個(gè)

9、人同時(shí)猜對(duì)的概率一定不大于單獨(dú)一個(gè)人猜對(duì)的概率，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.【解析】首先將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，將紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色分別用數(shù)字0、1、2、3代表.策略是每個(gè)人將其余11人的帽子的顏色所對(duì)應(yīng)的數(shù)字求和，記為S,S除以4的余數(shù)設(shè)為d,(4-d)對(duì)應(yīng)的顏色即為他所猜的顏色.例如，若12個(gè)人都戴黃帽子，每個(gè)人看到其余11個(gè)人的帽子顏色對(duì)應(yīng)數(shù)字和均為11，11除以4余3，4-3=1對(duì)應(yīng)黃色，全都猜對(duì).這樣的策略使得同時(shí)猜對(duì)頭上帽子顏色的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)且僅當(dāng)12個(gè)人的帽子顏色所對(duì)應(yīng)數(shù)字之和為4的倍數(shù)時(shí)，12個(gè)人能夠同時(shí)猜對(duì).不然，12個(gè)人會(huì)同時(shí)猜錯(cuò).這12個(gè)人或者同時(shí)猜對(duì)，或者同時(shí)猜

10、錯(cuò)，同時(shí)猜對(duì)的概率與一個(gè)人隨機(jī)猜測(cè)正確的概率相等,為錯(cuò)誤！未找到引用源。.而多個(gè)人猜測(cè)時(shí),由于不能由他人的帽子顏色推斷出有關(guān)自己帽子顏色的信息,因此12個(gè)人同時(shí)猜對(duì)的概率一定不大于單獨(dú)一個(gè)人猜對(duì)的概率,即錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此上述方案是最優(yōu)的.ll.(l)AA,Aa,aa的比例為p2:2pq:q2.相同可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例為a2：2a卩：卩2,其中a=p2+pq,B=pq+q2.由p+q=1，可得a=p,P=q.故子二代的三種基因型式AA,Aa,aa的比例為p2：2pq:q2，與子一代的三種基因型式的比例相同.【解析】(1)參與交配的兩個(gè)親本(一個(gè)稱為父本，一個(gè)稱為母

11、本)的基因型式的情況，及相應(yīng)情況發(fā)生的概率和相應(yīng)情況下子一代的基因型式為AA.Aa.aa的概率如下表：父本、母本的基因型式相應(yīng)情況出現(xiàn)的槪率子一代皋因犁式為AA的槪率子一代皋因型式為Aa的概率子一代皋因型式為aa的楓率父AA母AAU2100父AA母憑2uv0父AA母aaUW010父&母AA2uv10父Aa母Aa11一父沁母aa01父愛母AAuw010父aa母Aa0父陽(yáng)母aa001子一代的基因型式為AA的概率為p1=u2x1+2uvx錯(cuò)誤！未找到引用源。+2uvx錯(cuò)誤！未找到引用源。+4v2x錯(cuò)誤！未找到引用源。=(u+v)2.由對(duì)稱性知子一代的基因型式為aa的概率為p3=(v+w)2.子一代的

12、基因型式為Aa的概率為p2=2uvx錯(cuò)誤！未找到引用源。+uwxl+2uvx錯(cuò)誤！未找到引用源。+4v2x錯(cuò)誤！未找到引用源。+2vwx錯(cuò)誤！未找到引用源。+uwx1+2vwx錯(cuò)誤！未找到引用源。=2(uv+uw+v2+vw)=2(u+v)(v+w).若記p=u+v,q=v+w，則p0,q0,p+q=1,子一代的三種基因型式AA,Aa,aa的比例為p2：2pq:q2.由(1)可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例為a2：2a卩：卩2,其中a=F:-pq：IBq-rq2.由p-q=1：可得口=p：|3=q.故子二代的三種基因型式AA丹陶的比例為p：2pq：疋與子一代的三種基因型式的比例相同.

13、12.(1)蘭(2)如果第n次出現(xiàn)反面:那么前!1次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-1次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的:所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的擬率是葉.，1)如果第n次出現(xiàn)正面:第n-1次出現(xiàn)反面:那么前n；尖不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的:所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是二gJ如果第n次出現(xiàn)正面:第n-1次出現(xiàn)正面:第n-2次出現(xiàn)反面:那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-S次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的:所以.這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是尹pz綜上4=仝應(yīng)_仝險(xiǎn)丈曲4,24Sp-=p-=lp:=-.從而P1-:=1-xP(,n5)7242錯(cuò)誤！未找到引用源。

14、x有pn=pn-1錯(cuò)誤！未找到引用源。pn-4(n5).(3)n4時(shí),pn單調(diào)遞減又p1=p2p3p4,-n2時(shí)，數(shù)列pn單調(diào)遞減，且有下界0.pn的極限存在記為a,對(duì)pn=pn-1錯(cuò)誤！未找到引用源。pn-4兩邊同時(shí)取極限可得a=a錯(cuò)誤！未找到引用源。a,a=0,故錯(cuò)誤！未找到引用源。pn=0.其概率意義:當(dāng)投擲的次數(shù)足夠多時(shí),不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率非常小.【解析】顯然p=p2=l,p3=l錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。；又投擲四次出現(xiàn)連續(xù)三次正面的情況只有:正正正正或正正正反或反正正正，故p4=1錯(cuò)誤！未找到引用源。=錯(cuò)誤！未找到引用源。.(2)共分三種情況:1)如果第n次出

15、現(xiàn)反面,那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-1次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是錯(cuò)誤！未找到引用源。2)如果第n次出現(xiàn)正面，第n-1次出現(xiàn)反面,那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-2次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是錯(cuò)誤！未找到引用源。叫-23如果第n次出現(xiàn)正面:第n-1次出現(xiàn)正面:第n-2次出現(xiàn)反面:那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前n-S次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的:所以.這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是綜上4=二伽-：-阻-：-比-或陀4、242p-=p-=l;p:=-242_J:有p?=pr.-:_p；-.-n5).2

16、二E3左4時(shí)搔pt單調(diào)遞減又p:=p:p；p.n2時(shí):數(shù)列阻單調(diào)遞減:且有下界0-的極限存在記為1對(duì)W=Pi_兩邊同時(shí)取極限可得a=a_二日衛(wèi)司：故.“pr=0.遼:其概率意義:當(dāng)投擲的次數(shù)足夠多時(shí):不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率非常小一:pV-p)2-.1=k2)當(dāng)P*時(shí)増加兩個(gè)元件不改變系統(tǒng)的可室性;當(dāng)口中工二時(shí)JV.衛(wèi)二函數(shù)玉單調(diào)遞減:增加兩個(gè)元件時(shí)，系統(tǒng)可靠性降低;當(dāng)p錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí),Pk+1Pk，函數(shù)Pk單調(diào)遞增,增加兩個(gè)元件時(shí),系統(tǒng)可靠性提高.【解析】當(dāng)系統(tǒng)有2k-l(kUN*)個(gè)元件時(shí)，恰有k個(gè)元件正常工作的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。pk(1-p)k-恰有k+1個(gè)元件正常工作的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源?；?1(1-卩片2,.,恰有2k-1個(gè)元件正常工作的概率為錯(cuò)誤！未找到引用源。p2k-1(1-p)0,Pk=錯(cuò)誤！未找到引用源?；?1-p)k*錯(cuò)誤！未找到引用源。pk+i(1-p)k-2+.+錯(cuò)誤！未找到引用源。p2k-1(1-p)0=2k-LnV1pFAITI.CL-.當(dāng)有2k-l個(gè)元件時(shí):若前2k-l個(gè)元件中有k-1個(gè)正常工作:則它的概率Ck-pl-p：厶eC此時(shí)后兩個(gè)元件必須都正常工作:它的楓率為匚土一若前比-1個(gè)元件中有k個(gè)x.K-正常工作:則它的楓率為匚Q