偏微分方程課件

1、浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法17.1 偏微分方程的一般介紹 Partial Differential Equations(PDEs) 自變量數(shù) 至少2個(gè) 階數(shù) 方程中導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù) 性態(tài) 以一階方程為例浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法27.1浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法37.1 類型 一階栓區(qū)型方程流動(dòng)方程Advection Equation(AE) 二階線性方程浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法47.1 求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)特征線法 Method of Characteristics (MOC)線上求解法 Method of Lines (MOL)有

2、限元素法 Method of Finite Elements (MFE)加權(quán)殘差法 Method of Weighled Residuals (MWR) 問題 收斂性 Convergence 當(dāng)采取的步驟趨于無限時(shí)，數(shù)值結(jié)果是否趨于理論值？ 穩(wěn)定性 Stability 在某一步引入的誤差，經(jīng)多步數(shù)值計(jì)算后，會(huì)擴(kuò)大或抑制？浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法57.2 一階雙曲型方程的差分求解法或稱流動(dòng)方程 Advective Advection Equation (AE) v為流速因子該方程的介折解求具體解時(shí)需要提供2個(gè)輔助條件浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法67.2 assuming the forcing fu

3、nction is a Rump The solution of is shown below.圖 7.1 Propagation of the Wave Front浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法7 7.2.1 最簡(jiǎn)單的差分化格式構(gòu)想圖 7.2浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法87.2.1 以上方法稱為 時(shí)間鑲嵌空間中心 的差分表達(dá) Forward Time Centered Space FTCS represetation 實(shí)際上這個(gè)方法不能用：不穩(wěn)定的方法 Unstable Method 考慮數(shù)據(jù)誤差 r 由于原方程為線性，故誤差的傳播關(guān)系 是與原方程完全相同的差分方程 差分方程獨(dú)立解的一般形式 Inde

4、pendent Solutions of Difference Equations浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法97.2.1 應(yīng)為補(bǔ)充解和特殊解之和 補(bǔ)充解系由下式求出補(bǔ)充解系由兩個(gè)獨(dú)立解組成浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法107.2.1 差分方程的解 可用算符運(yùn)算方法 Operator Calculus 導(dǎo)出 差分算符 Difference Operator它和微分算符一樣，是一種線性算符用于線性二階差分方程和微分方程類似，它的補(bǔ)充解可由下式得到浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法117.2.1故補(bǔ)充系由兩個(gè)獨(dú)立解組成 （Independent Solutions）兩個(gè)獨(dú)立解為差分方程的一個(gè)獨(dú)立解（Eigenmode

5、）浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法127.2.1 差分方程獨(dú)立解的一般形式用于本題的情況將獨(dú)立解代入差分表達(dá)式得到浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法137.2.2 差分格式的改進(jìn)Courant Condition圖 7.3圖 7.4浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法147.2.2Courant 條件的物理意義波形傳遞系沿x=vt線t節(jié)點(diǎn)的選取 當(dāng)節(jié)點(diǎn)取在線上： 當(dāng)節(jié)點(diǎn)取在線外： 當(dāng)節(jié)點(diǎn)取在線內(nèi)： Lax差分格式也寫成以下形式可以看成為以下偏微分方程的FTCS差分式dissipative term 耗散項(xiàng)Numerical Viscosity 數(shù)值黏度圖 7.5浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法157.3 一階雙曲型方程的特征線求解

6、法Method of Characteristics (MOC) 這是原方程的轉(zhuǎn)換方程，它們的解相同。 為原方程的特征線方程在特征線上，滿足 的為解。浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法167.3.1 Method of Characteristics (MOC)圖 7.6浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法17 7.3.1 Method of Characteristics (MOC)圖 7.7浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法187.3.1浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法197.4 一階雙曲型方程的線上求解法Method of Lines (MOL) 有限差分法：偏微分方程完全離散成為 一組差分方程 用線性代數(shù)方程組求解 線上求解

7、法：偏微分方程部分離散成為 一組常微分方程 用常微分方程積分方法求解浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法20線上求解法 Method of Lines (MOL)線間距積分步長7.4圖 7.8浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法217.5 二階橢圓型方程的差分求解法稱為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程，通式為 Dirichlet 問題 Neumann 問題浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法22u(xm,y)=f2(y)u(x0,y)=f1(y)Laplace 方程的 Dirichlet 邊界條件和 Neumann 邊界條件和 Poisson 方程邊界條件也需4個(gè)，有3類給定方法 Dirichlet 邊 界 條 件 Neumann 邊 界 條 件

8、 混合 邊 界 條 件7.5圖 7.9浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法23 7.5.1 Laplace算符的差分表達(dá)用于Laplace算符浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法247.5.1圖 7.10浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法25例：Laplace 方程的Dirichlet 邊界問題7.5.1圖 7.11浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法26為了提高精度需要加密網(wǎng)絡(luò)7.5.1圖 7.12浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法27Laplace 方程 Dirichlet邊界問題的差分求解 消去法 直接迭代 Liebmann 方法 相繼松弛 S.O.R. 方法 交替方向A.D.I.方法7.5.1浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法28 7.6 二階橢圓型

9、方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE)以Laplace 方程的Dirichlet 問題為例根據(jù)變分原則VariationalPrinciples等價(jià)性定理以上方程的解將使以下泛函為最小。圖 7.13浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法297.6將D進(jìn)行剖分，常用的是三角剖分法對(duì)任何一個(gè)元素用二原線性函數(shù)近似在三個(gè)頂點(diǎn)上可得到其中浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法307.6Ui=Wi Uk=WkUj=Wj 圖 7.14浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法317.6所以其中既然頂點(diǎn)坐標(biāo)均為規(guī)定，所以并有浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法327.6使泛函最小的問題，即對(duì)近似為對(duì)求極值，或因此得到：可

10、解得n為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)數(shù)邊界上的W為給定浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法337.6對(duì)于更為一般性的情況需要極小化的泛函將是也可剖分為有限個(gè)元素后求解圖 7.15浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法34 7.8 二階拋物型方程的差分求解法動(dòng)態(tài)擴(kuò)散方程對(duì)于一維空間用差商代替微商，可以有各種選擇，例如所以有需要另有更方便的方法浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法357.8顯式方法得到或者：則有：圖 7.16浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法367.8示例：取得到的數(shù)值解與以下解析解比較飽和蒸汽C2H5OH空氣圖 7.17浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法37Number of time stepsAnalytical SolutionsNumerical SolutionsAnalytical versus Numerical SolutionsDiffusion Dynamics r0.257.8圖 7.18浙江大學(xué)實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法38Number of time