高中物理選擇性必修3第二課時(shí)非線性回歸模型及其應(yīng)用

1、第二課時(shí)非線性回歸模型及其應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會(huì)通過(guò)分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.通過(guò)學(xué)習(xí)回歸模型的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要運(yùn)用散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，從而確定未知參數(shù)，建立相應(yīng)的線性回歸方程問(wèn)題具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的線性回歸方程為eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6().預(yù)測(cè)值eq o(y,sup6()與

2、真實(shí)值y一樣嗎？預(yù)測(cè)值eq o(y,sup6()與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？提示不一定；越小越好1殘差的概念對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的eq o(y,sup6()稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析2刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說(shuō)明擬合效果越好(2)殘差平方和法殘差平

3、方和eq o(,sup10(n),sdo6(i1) (yieq o(y,sup6()i)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差(3)利用R2刻畫回歸效果決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力R21eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()i）2,o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差拓展深化微判斷1殘差平方和越接近0, 線性回歸模型的擬合效果越好()2在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)， 響應(yīng)變量

4、在x軸上，解釋變量在y軸上()提示在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)， 響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上3R2越小， 線性回歸模型的擬合效果越好()提示R2越大， 線性回歸模型的擬合效果越好微訓(xùn)練1在殘差分析中， 殘差圖的縱坐標(biāo)為_答案殘差2甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？解R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好，故甲同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好微思考在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意哪些問(wèn)題？提示(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總

5、體；(2)所建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性；(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差；(4)不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.題型一線性回歸分析【例1】已知某種商品的價(jià)格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y對(duì)x的回歸直線方程，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞解eq o(x,sup6()eq f(1,5)(1416182022)18，eq o(y,sup6()eq f(1,5)(1210753)7.4，eq o

6、(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)1421621822022221 660，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xi yi14121610187205223620，所以eq o(b,sup6()eq f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)eq f(6205187.4,1 6605182)1.15，eq o(a,sup6()7.41.151828.1，所以所求回歸直線方程是eq

7、 o(y,sup6()1.15x28.1.列出殘差表：yieq o(y,sup6()i00.30.40.10.2yieq o(y,sup6()4.62.60.42.44.4所以eq o(,sup6(5),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()i)20.3，eq o(,sup6(5),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()253.2，R21eq f(o(,sup10(5),sdo10(i1) （yio(y,sup6()i）2,o(,sup10(5),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)0.994，所以回歸模型的擬合效果較好規(guī)律方法(1)解答線性回歸問(wèn)題，應(yīng)

8、通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析(2)刻畫回歸效果的三種方法殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適殘差平方和法：殘差平方和eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()i)2越小，模型的擬合效果越好決定系數(shù)法：R21eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()i）2,o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)越接近1，表

9、明回歸的效果越好【訓(xùn)練1】某地區(qū)2011年到2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2011201220132014201520162017年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為解 （1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得eq o(t,sup6()eq f(1,7) (1234567)4，eq o(y,sup6()eq f(1,7

10、)(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，eq o(,sup6(7),sdo4(i1) (tieq o(t,sup6()2 9+4+1+0+1+4+9=28,eq o(,sup6(7),sdo4(i1) (tieq o(t,sup6() (yieq o(y,sup6()(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614，eq o(b,sup6()eq f(eq o(,sup10(7),sdo10(i1)(tieq o(t,sup6() (yieq o(y,sup6(),eq o(,sup10(7),sdo10(i1)(tieq o(t,sup6()2

11、)=eq f(14,28)0.5，eq o(a,sup6()eq o(y,sup6()eq o(b,sup6() eq o(t,sup6()4.30.542.3，所以所求回歸方程為eq o(y,sup6()0.5t2.3.(2)由(1)知eq o(b,sup6()0.50，故2011年到2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元將2020年的年份代號(hào)t10代入(1)中的回歸方程，得eq o(y,sup6()0.5102.37.3.故預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.3千元題型二殘差分析與相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用【例2】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相

12、關(guān)關(guān)系，今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對(duì)于基本苗數(shù)56.7預(yù)報(bào)有效穗；(3)計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；(4)求R2，并說(shuō)明(2)中求出的回歸模型的擬合程度解(1)散點(diǎn)圖如下(2)由(1)中散點(diǎn)圖看出，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系設(shè)回歸方程為eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()，又eq o(x,sup6()30.36，eq o(y

13、,sup6()43.5，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)5 101.56，eq avs4al(o(x,sup6() )eq avs4al(o(y,sup6() )1 320.66，eq o(x,sup6()2921.729 6，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi6 746.76.則eq o(b,sup6()eq f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)0.2

14、9，eq o(a,sup6()eq o(y,sup6()eq o(b,sup6() eq o(x,sup6()34.70.故所求的回歸直線方程為eq o(y,sup6()0.29x34.70.當(dāng)x56.7時(shí)，eq o(y,sup6()0.2956.734.7051.143.故估計(jì)成熟期有效穗為51.143.(3)由eq o(y,sup6()ieq o(b,sup6()xieq o(a,sup6()，可以算得eq o(e,sup6()iyieq o(y,sup6()i分別為eq o(e,sup6()10.35，eq o(e,sup6()20.718，eq o(e,sup6()30.5，eq o(

15、e,sup6()42.214，eq o(e,sup6()51.624，殘差平方和：eq o(,sup6(5),sdo4(i1) eq o(e,sup6()eq oal(2,i)8.43.(4) eq o(,sup6(5),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()250.18，故R21eq f(8.43,50.18)0.832.所以(2)中求出的回歸模型的效果較好.規(guī)律方法(1)利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)，然后通過(guò)殘差eq o(e,sup6()1，eq o(e,sup6()2，eq o(e,sup6()n

16、來(lái)判斷模型擬合的效果(2)若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高【訓(xùn)練2】為研究質(zhì)量x(單位：g)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：cm)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求回歸直線方程；(2)求出R2并說(shuō)明回歸模型擬合的程度；(3)進(jìn)行殘差分析解(1)散點(diǎn)圖如圖所示樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系由表中數(shù)據(jù)，得eq o(x,sup6()eq f(1,6)(51015202530)17.5，eq o(y,sup6()eq f(1

17、,6)(7.258.128.959.9010.911.8)9.487，eq o(,sup6(6),sdo4(i1)xeq oal(2,i) 2 275，eq o(,sup6(6),sdo4(i1)xiyi1 076.2.計(jì)算得eq o(b,sup6()0.183，eq o(a,sup6()6.285.故所求回歸直線方程為eq o(y,sup6()6.2850.183x.(2)列表如下：yieq o(y,sup6()i0.050.0050.080.0450.040.025yieq o(y,sup6()2.2371.3670.5370.4131.4132.313可得eq o(,sup6(6),sd

18、o4(i1) (yieq o(y,sup6()i)20.013 18, eq o(,sup6(6),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()214.678 3.所以R21eq f(0.013 18,14.678 3)0.999 1，回歸模型的擬合效果較好(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正錯(cuò)誤，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度不超過(guò)0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系題型三非線性回歸分析【例3

19、】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值eq o(x,sup6()eq o(y,sup6()eq o(w,sup6()eq o(,sup6(8),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2eq o(,sup6(8),sdo4(i1) (wieq o(w,sup6()2eq o(,sup6(8),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()(yieq o(y,sup6()eq o(,sup6(

20、8),sdo4(i1) (wieq o(w,sup6()(yieq o(y,sup6()46.65636.8289.81.61 469108.8表中wieq r(xi)，eq o(w,sup6()eq f(1,8)eq o(,sup6(8),sdo4(i1)wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycdeq r(x)哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

21、年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線eq o(v,sup6()eq o(,sup6()eq o(,sup6()u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq o(,sup6()eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （uio(u,sup6()）（vio(v,sup6()）,o(,sup10(n),sdo10(i1) （uio(u,sup6()）2)，eq o(a,sup6()eq o(v,sup6()eq o(,sup6()eq o(u,sup6().解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycdeq r(x)適宜作為年銷售

22、量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(2)令weq r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于eq o(d,sup6()eq f(o(,sup10(8),sdo10(i1) （wio(w,sup6()）（yio(y,sup6()）,o(,sup10(8),sdo10(i1) （wio(w,sup6()）2)eq f(108.8,1.6)68，eq o(c,sup6()eq o(y,sup6()eq o(d,sup6()eq o(w,sup6()563686.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq o(y,sup6()100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq o(y,sup6()100

23、.668eq r(x).(3)由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值eq o(y,sup6()100.668eq r(49)576.6(t)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值eq o(z,sup6()576.60.24966.32(千元)根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值eq o(z,sup6()0.2(100.668eq r(x)xx13.6eq r(x)20.12.所以當(dāng)eq r(x)eq f(13.6,2)6.8，即x46.24時(shí)，eq o(z,sup6()取得最大值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大規(guī)律方法求非線性回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)?/p>

24、擬合函數(shù)(3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程(4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算決定系數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程【訓(xùn)練3】下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x40時(shí)y的值解(1)作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線yc1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)(2)對(duì)yc

25、1ec2x兩邊取對(duì)數(shù)，得ln yln c1c2x，令zln y，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線zbxa(aln c1，bc2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回歸直線方程為eq o(z,sup6()0.272x3.849，eq o(y,sup6()e0.272x3.849.殘差yi711212466115325eq o(y,sup6()i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325eq o(e,s

26、up6()i0.5570.1011.8758.9509.2313.38134.675(3)當(dāng)x40時(shí)，eq o(y,sup6()e0.272403.8491 131. 一、素養(yǎng)落地1通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)2當(dāng)根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖并不是分布在一條直線附近時(shí)，就不能直接求其回歸直線方程了，這時(shí)可根據(jù)得到的散點(diǎn)圖，選擇一種擬合得最好的函數(shù)，常見的函數(shù)有冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，然后進(jìn)行變量置換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題二、素養(yǎng)訓(xùn)練1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是()A角度和它的余弦值B正方形的邊長(zhǎng)和面積C正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和D人的年齡和身高

27、解析函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系A(chǔ)，B，C三項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f()cos ，g(a)a2，h(n)(n2).D選項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選D.答案D2(多選題)關(guān)于殘差圖的描述正確的是()A殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報(bào)變量C殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小解析殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，R2的值越大，故描述錯(cuò)誤的是C.答案ABD3某產(chǎn)品在某零售攤位

28、的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回歸直線方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()中的eq o(b,sup6()5，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)零售價(jià)為14.5元時(shí)，每天的銷售量為()A51個(gè) B50個(gè)C54個(gè) D48個(gè)解析由題意知eq o(x,sup6()17.5，eq o(y,sup6()39，代入回歸直線方程得eq o(a,sup6()126.5，126.514.5554，故選C.答案C4在研究硝酸鈉的溶解度時(shí)，觀察它在不同溫度(x)的水中溶解度(y)的結(jié)果如下表：溫度x01

29、0205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回歸直線的斜率是_解析eq o(x,sup6()eq f(1,5)(010205070)30，eq o(y,sup6()eq f(1,5)(66.776.085.0112.3128.0)93.6，由公式eq o(b,sup6()eq f(o(,sup10(5),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,o(,sup10(5),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)可得eq o(b,sup6()0.880 9.答案0.880 95在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如

30、下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程解由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)eq o(y,sup6()eq f(k,x)，令teq f(1,x)，則eq o(y,sup6()kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：Itiyitiyiteq oal(2,i)1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.062 57.753694.2521.312 5所以eq o(t,sup6()1.55，eq

31、o(y,sup6()7.2.所以eq o(b,sup6()eq f(o(,sup10(5),sdo10(i1)tiyi5avs4al(o(t,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),o(,sup10(5),sdo10(i1)teq oal(2,i)5o(t,sup6()2)4.134 4，eq o(a,sup6()eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()eq o(t,sup6()0.8.所以eq o(y,sup6()4.134 4t0.8.所以y與x之間的回歸方程是eq o(y,sup6()eq f(4.134 4,x)0.8. 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知某地財(cái)政收入

32、x與支出y滿足回歸方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()ei(單位：億元)(i1，2，)，其中eq o(b,sup6()0.8，eq o(a,sup6()2，|ei|0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)()A10億元 B9億元 C10.5億元 D9.5億元解析eq o(y,sup6()0.8102ei10ei，|ei|0.5，9.5eq o(y,sup6()10.5.答案C2對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平

33、的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高答案A3在回歸分析中，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和()A越大 B越小C可能大也可能小 D以上均錯(cuò)解析因?yàn)镽21eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()i）2,o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)，所以當(dāng)R2越大時(shí)，eq o(,sup10(n),sdo10(i1) (yieq o(y,sup6()i)2越小，即殘差平方和越小答案B4若一函數(shù)模型為ysin22sin 1，為將y轉(zhuǎn)化為t的回歸直線方程，則需作變換t等于()Asin2 B(sin

34、 1)2C.eq blc(rc)(avs4alco1(sin f(1,2)eq sup12(2) D以上都不對(duì)解析因?yàn)閥是關(guān)于t的回歸直線方程，實(shí)際上即y是關(guān)于t的一次函數(shù)，又因?yàn)閥(sin 1)2，若令t(sin 1)2，則可得y與t的函數(shù)關(guān)系式為yt，此時(shí)變量y與變量t是線性相關(guān)關(guān)系答案B5甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和eq o(,sup10(n),sdo10(i1) (yieq o(y,sup6()i)2如下表：甲乙丙丁散點(diǎn)圖殘差平方和115106124103哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高()A甲 B乙 C丙

35、D丁解析根據(jù)線性相關(guān)的知識(shí)，散點(diǎn)圖中各樣本點(diǎn)條狀分布越均勻，同時(shí)保持殘差平方和越小(對(duì)于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2的表達(dá)式中eq o(,sup10(n),sdo10(i1) (yieq o(y,sup6()2為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，R2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗(yàn)結(jié)果知丁要好些答案D二、填空題6某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下表：x24568y3040605070已知y關(guān)于x的線性回歸方程為eq o(y,sup6()6.5x17.5，則當(dāng)廣告支出費(fèi)用為5萬(wàn)元時(shí)，殘差為_萬(wàn)元解析當(dāng)x5時(shí)，eq o(y,sup6()6.55

36、17.550，表格中對(duì)應(yīng)y60，于是殘差為605010(萬(wàn)元)答案107某商場(chǎng)為了了解某品牌羽絨服的月銷售量(單位：件)與月平均氣溫x(單位：)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x/171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()中的eq o(b,sup6()2.氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6 ，據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月該品牌羽絨服的銷售量的件數(shù)約為_解析由表格中數(shù)據(jù)可得eq o(x,sup6()eq f(171382,4)10，eq o(y,sup

37、6()eq f(24334055,4)38.又eq o(b,sup6()2，eq o(a,sup6()eq o(y,sup6()eq o(b,sup6() eq o(x,sup6()3821058，eq o(y,sup6()2x58.當(dāng)x6時(shí)，eq o(y,sup6()265846.答案468在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得決定系數(shù)R20.85，則表明氣溫解釋了_的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的_，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多解析由決定系數(shù)R2的意義可知，R20.85表明氣溫解釋了85%，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的15%.答案85%15%三、解答題9從某居民

38、區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq o(,sup10(10),sdo10(i1)xi80，eq o(,sup10(10),sdo10(i1)yi20，eq o(,sup10(10),sdo10(i1)xiyi184，eq o(,sup10(10),sdo10(i1)xeq oal(2,i)720.(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y關(guān)于月收入x的線性回歸方程eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()xeq o(a,sup6()；(2)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄解(1)由題意知n10，eq o(x,su

39、p6()eq f(1,n)eq o(,sup10(10),sdo10(i1)xieq f(1,10)808，eq o(y,sup6()eq f(1,n)eq o(,sup10(10),sdo10(i1)yieq f(1,10)202，所以eq o(b,sup6()eq f(o(,sup10(10),sdo10(i1)xiyinavs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),o(,sup10(10),sdo10(i1)xeq oal(2,i)no(x,sup6()2)eq f(1841082,7201082)eq f(24,80)0.3，eq o(a,sup6()eq o(y,sup6()eq o(b,sup6()eq o(x,sup6()20.380.4，故所求線性回歸方程為eq o(y,sup6()0.3x0.4.(2)將x7代入回歸方程，可以預(yù)測(cè)家庭的月儲(chǔ)蓄約為eq o(y,sup6()0.370.41.7(千元)10為了研究甲型H1N1中的某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個(gè)數(shù)y612254995190求y對(duì)x的回歸方程解作出散點(diǎn)圖如圖(1)所示由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線ycebx的周圍，則ln ybxln c.令zln