人教版（B版2019課標(biāo)）高中數(shù)學(xué)選擇性必修二3.3二項(xiàng)式定理與楊輝三角 學(xué)案

1、 7/7二項(xiàng)式定理與楊輝三角【第一學(xué)時(shí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)。2借助二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理。2掌握二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式。（重點(diǎn)）3能解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探二項(xiàng)式定理及相關(guān)的概念二項(xiàng)式定理概念公式（ab）nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(2,n)an2b2Ceq oal(r,n)anrbrCeq oal(n,n)bn（nN+）稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)系數(shù)Ceq oal(r,n)（r0

2、，1，2，n）叫做展開式的二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式通項(xiàng)Ceq oal(r,n)anrbr是展開式中的第r1項(xiàng)，可記做Tr1Ceq oal(r,n)anrbr（其中0rn，rN，nN+）二項(xiàng)展開式Ceq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(2,n)an2b2Ceq oal(r,n)anrbrCeq oal(n,n)bn（nN+）二、初試身手1思考辨析（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）（1）（ab）n展開式中共有n項(xiàng)。（ ）（2）在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響。（ ）（3）Ceq oal(r,n)anrbr是（ab）n展開式中的第r項(xiàng)。（ ）（4）（ab）n與（ab）

3、n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同。（ ）2（x1）n的展開式共11項(xiàng)，則n等于（ ）A9B10C11D123（y2x）8展開式中的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ）ACeq oal(6,8)B、Ceq oal(5,8)（2）5CCeq oal(5,8)DCeq oal(6,8)（2）64（x2）6的展開式中x3的系數(shù)是_。三、合作探究類型1二項(xiàng)式定理的正用、逆用【例1】（1）用二項(xiàng)式定理展開eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(3,2x2)eq sup12(5)；（2）化簡(jiǎn)：Ceq oal(0,n)（x1）nCeq oal(1,n)（x1）n1Ceq oal(2,n)（x1）n2（1）rC

4、eq oal(r,n)（x1）nr（1）nCeq oal(n,n)。類型2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題【例2】（1）求二項(xiàng)式eq blc(rc)(avs4alco1(2r(x)f(1,x)eq sup12(6)的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)；（2）（教材P33習(xí)題33AT2改編）求eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(9)的展開式中x3的系數(shù)。類型3求展開式中的特定項(xiàng)【例3】已知在eq blc(rc)(avs4alco1(r(3,x)f(3,r(3,x)eq sup12(n)的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)。（1）求n；（2）求含x2項(xiàng)的系數(shù)；（3）求展開

5、式中所有的有理項(xiàng)?！緦W(xué)習(xí)小結(jié)】1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅指Ceq oal(0,n)，Ceq oal(1,n)，Ceq oal(k,n)，而后者指的是除字母以外的所有系數(shù)（包括符號(hào)）。2要牢記Ceq oal(k,n)ankbk是展開式的第k1項(xiàng)，而非第k項(xiàng)。3對(duì)于非二項(xiàng)式展開式的求解可借助二項(xiàng)式定理的原理求解?！揪珶挿答仭?在（xeq r(3)）10的展開式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A27Ceq oal(6,10)B27Ceq oal(4,10)C9Ceq oal(6,10)D9Ceq oal(4,10)2在eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(1,r(

6、3,x)eq sup16(8)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）A28B7 C7D283（1x）10的展開式中第7項(xiàng)為_。4化簡(jiǎn)：Ceq oal(0,n)2nCeq oal(1,n)2n1Ceq oal(k,n)2nkCeq oal(n,n)_。5設(shè)（xeq r(2)）n的展開式中第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的系數(shù)之比為12，求含x2的項(xiàng)?！镜诙W(xué)時(shí)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)。2借助楊輝三角的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)?！緦W(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。（重點(diǎn)）2了解楊輝三角，并結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)加以說明。（難點(diǎn)）3掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。（難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探1

7、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）Ceq oal(0,n)Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(n,n)2n；（2）Ceq oal(1,n)Ceq oal(3,n)Ceq oal(5,n)Ceq oal(0,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(k,n)2n12楊輝三角具有的性質(zhì)（1）每一行都是對(duì)稱的，且兩端的數(shù)都是1；（2）從第三行起，不在兩端的任意一個(gè)數(shù)，都等于上一行中與這個(gè)數(shù)相鄰的兩數(shù)之和。（3）利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知，二項(xiàng)式系數(shù)Ceq oal(0,n)，Ceq oal(1,n)，Ceq oal(2,n)，Ceq oal(n1,n)，Ceq oal(n,n)，是先

8、逐漸變大，再逐漸變小的，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。二、初試身手1思考辨析（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）（1）楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個(gè)等差數(shù)列。（ ）（2）二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的。（ ）（3）二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為Ceq oal(1,n)Ceq oal(2,n)Ceq oal(n,n)。（ ）2（12x）15的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和是（ ）A1B1C215D3153在（ab）10二項(xiàng)展開式中與第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是（ ）A第8項(xiàng)B第7項(xiàng)C第9項(xiàng)D第10項(xiàng)4（教材P32嘗試與發(fā)現(xiàn)改編）觀察圖中的數(shù)

9、所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是_。11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1三、合作探究類型1求展開式的系數(shù)和【例1】設(shè)（12x）2 021a0a1xa2x2a2 021x2 021（xR）。（1）求a0a1a2a2 021的值；（2）求a1a3a5a2 021的值；（3）求|a0|a1|a2|a2 021|的值。類型2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】已知f（x）（eq r(3,x2)3x2）n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。類型3與“楊輝三角”有關(guān)的問題【例3】如圖所示，在“楊輝三角”中

10、斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，。記其前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值。類型4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例4】（教材P33例5改編）（1）用二項(xiàng)式定理證明：11101能被100整除；（2）求9192被100除所得的余數(shù)。【學(xué)習(xí)小結(jié)】1二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出。2求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定。一般地對(duì)字母賦的值為0，1或1，但在解決具體問題時(shí)要靈活掌握。3對(duì)于二項(xiàng)式定理的應(yīng)用主要體現(xiàn)在估算、證明及整除上，注意近似計(jì)算可用（1x）n1nx，具體情況視精確度而定?！揪珶挿答仭?二項(xiàng)式（x1）n的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是64，則n等于（ ）A5B6C7D82已知eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(3,r(3,x)eq sup20(n)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于（ ）A4B5C6