高考總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配北師版(老高考舊教材)-課后習(xí)題及答案-第4章 三角函數(shù)、解三角形課時規(guī)范練24 余弦定理、正弦定理及應(yīng)用舉例_第1頁
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文檔簡介

1、課時規(guī)范練24余弦定理、正弦定理及應(yīng)用舉例基礎(chǔ)鞏固組1.(2021四川成都二診)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=3b,sin A=35,則sin B的值為()A.15B.115C.13D.59答案:A解析:由正弦定理可知asinA=bsinB,即3b35=bsinB,所以sin B=15.2.(2021江西宜春模擬)在ABC中,BC=17,AC=3,cos A=13,則ABC的面積為()A.42B.2C.4D.92答案:A解析:因為BC=17,AC=3,cos A=13,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4

2、.又因為cos A=13,A(0,),所以sin A=223,所以SABC=12ABACsin A=1243223=42.3.(2021四川眉山三診)在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,若ABC的面積SABC=c2-a2-b24,則C=()A.3B.23C.34D.56答案:C解析:由SABC=12absin C,得c2-a2-b24=12absin C,整理得c2=a2+b2+2absin C,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,所以sin C=-cos C,即tan C=-1.又C(0,),所以C=34.4.(2021河南鄭州模擬)ABC中,角A,B,C的對邊分

3、別是a,b,c,A=30,a=3,若這個三角形有兩解,則b的取值范圍是()A.3b23B.3b23C.b23D.b23答案:B解析:當(dāng)ABC有兩解時,bsin Aab,即bsin 303b,解得3b23.5.(2021云南紅河三模)如圖所示,網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,ABC的三個頂點均在小正方形的頂點處,則ABC外接圓的面積為()A.1309B.659C.6518D.6536答案:C解析:由圖可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cos C=10+9-13610=1010,所以sin C=31010.設(shè)R為ABC外接圓的半徑,根據(jù)正弦定理知2R=csinC=1331010=1303,

4、所以R=1306,所以S=R2=13036=6518.6.(2021山西臨汾適應(yīng)性考試)說起延安革命紀(jì)念地景區(qū),可謂是家喻戶曉,它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、西北局革命舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山,它可是圣地延安的標(biāo)志,見證了中國革命的進程,在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖,寶塔山的坡度比為73(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比),在山坡A處測得CAD=15,從A處沿山坡往上前進66 m到達B處,在山坡B處測得CBD=30,則寶塔CD的高為()A.44 mB.42 mC.48 mD.46 m答案:A解析:由題可知CAD=15,CBD=30,則ACB=15,所以BC=

5、AB=66.設(shè)坡角為,則由題可得tan =73,則可求得cos =34.在BCD中,BDC=+90,由正弦定理,得CDsin30=BCsin(+90),即CD12=66cos=6634,解得CD=44,故寶塔CD的高為44 m.7.(2021江蘇徐州考前模擬)在平面四邊形ABCD中,AB=8,AC=14,cos BAC=57,內(nèi)角B與D互補,若AC平分BAD,則CD的長為.答案:10解析:在ABC中,由余弦定理,得BC=AB2+AC2-2ABACcosBAC=82+142-281457=10.由cosBAC=57可得sinBAC=267.由正弦定理,得sin B=ACBCsinBAC=1410

6、267=265,又內(nèi)角B與D互補,所以sin D=sin B=265.因為AC平分BAD,所以sinDAC=sinBAC=267,所以由正弦定理,得CD=ACsinDsinDAC=14265267=10.8.(2021浙江杭州二模)設(shè)a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.若a=1,c=7,則C=,ABC的面積S=.答案:3334解析:因為a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12,因為C為三角形內(nèi)角,所以C=3.由a2+b2-c2=ab

7、且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-2(舍去),所以ABC的面積S=12absin C=121332=334.9.(2021山東濰坊二模)在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).(1)求角C;(2)若c=210,D為BC中點,cos B=255,求AD的長度.解:(1)2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A),2b2=2bccos A(1-tan A).b=c(cos A-sin A),由正弦定理,得sin B=sin C(cos A-sin A),sin(A+C)=sin Ccos A-sin Csin A,

8、sin Acos C=-sin Csin A,sin A0,tan C=-1,又C(0,),解得C=34.(2)cos B=255,sin B=55.sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=1010,由正弦定理,得a=csinAsinC=22,BD=2,在ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,解得AD=26.10.(2021山東德州二模)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6cos22+A+cos A=5.(1)求A;(2)若a=2,求b2+c2的取值范圍.解:(1)由題意得6sin2A+cos A=5

9、,整理得6cos2A-cos A-1=0,解得cos A=12或cos A=-13.又A0,2,所以cos A=12,即A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-bc,即b2+c2=4+bc.由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=232=433,即b=433sin B,c=433sin C,而C=23-B,bc=163sin Bsin C=163sin Bsin23-B=833sin Bcos B+83sin2B=433sin 2B-43cos 2B+43=83sin2B-6+43.又0B2,023-B2,解得6B2,所以62B-60,所以tan

10、 A=3.又因為A(0,),所以A=3.方案二:選擇,cos2C+sin Bsin C=sin2B+cos2A得1-sin2C+sin Bsin C=sin2B+1-sin2A,即sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=12,因為A(0,),所以A=3.方案三:選擇,由2b=2acos C+c,結(jié)合正弦定理,得2sin B=2sin Acos C+sin C.因為A+B+C=,所以sin B=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sin Acos C+sin C,所以2cos Asin

11、 C=sin C.因為C(0,),所以sin C0,所以cos A=12.因為A(0,),所以A=3.(2)在ABC中,由正弦定理,得ACsinB=2R=2,所以sin B=22,所以B=4因為A=3,由三角形內(nèi)角和定理,B不可能為34.在ABC中,C=-34=512.因為AD是ABC的內(nèi)角平分線,所以CAD=6,所以ADC=-6512=512,所以AD=AC=2.創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2021廣東深圳二模)著名的費馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾德費馬(16011665)提出的平面幾何極值問題:“已知一個三角形,求作一點,使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”費馬問題中的所求點稱為費馬點,已知對于每

12、個給定的三角形,都存在唯一的費馬點,當(dāng)ABC的三個內(nèi)角均小于23時,則使得APB=BPC=CPA=23的點P即為費馬點.已知點P為ABC的費馬點,且ACBC,若|PA|+|PB|=|PC|,則實數(shù)的最小值為.答案:23+2解析:根據(jù)題意,點P為ABC的費馬點,ABC的三個內(nèi)角均小于23,所以APB=BPC=CPA=23.設(shè)PCB=,所以在BCP和ACP中,CBP=3-,ACP=2-,CAP=3-ACP=-6,且均為銳角,所以6,3.所以由正弦定理,得|BP|sin=|PC|sin(3-),|PA|sin(2-)=|PC|sin(-6),所以|BP|=sinsin(3-)|PC|,|PA|=si

13、n(2-)sin(-6)|PC|,因為|PA|+|PB|=|PC|,所以=sinsin(3-)+sin(2-)sin(-6)=32-sincossincos-34=34-(sincos-34)sincos-34=34sincos-34-1=32sin2-3-1,因為6,3,所以23,23,所以2sin 2-3(0,2-3,所以32sin2-3-123+2,+),故實數(shù)的最小值為23+2.16.(2021遼寧大連一模)如圖,AB是底部不可到達的一個建筑物,A為建筑物的最高點.某學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備了三種工具:測角儀(可測量仰角與俯角)、米尺(可測量長度)、量角器(可測量平面角度).(1)請你利用準(zhǔn)備好的工具(可不全使用),設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法,并給出測量報告;注:測量報告中包括你使用的工具,測量方法的文字說明與圖形說明,所使用的字母和符號均需要解釋說明,并給出你最后的計算公式.(2)該學(xué)習(xí)小組利用你的測量方案進行了實

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