高中物理選擇性必修38.1.2樣本相關系數

1、8.1.2樣本相關系數課標要求素養(yǎng)要求1.結合實例，會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.2.了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.通過學習樣本相關系數，提升數學抽象及數據分析素養(yǎng).新知探究散點圖可以說明變量間有無線性相關關系，但無法量化兩個變量之間的相關程度的大小，更不能精確地說明成對樣本數據之間關系的密切程度，那么我們如何才能尋找到這樣一個合適的量來對樣本數據的相關程度進行定量分析呢？問題若樣本系數r0.97，則成對樣本數據的相關程度如何？提示r0.97，表明成對樣本數據正線性相關程度很強1相關系數r的計算注意：相關系數是研究變量之間線性相關程度的量假設兩個隨機變量的數據分別為(x

2、1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，對數據作進一步的“標準化處理”處理，用sxeq r(f(1,n)o(,sup10 (n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)，syeq r(f(1,n)o(,sup10 (n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)分別除xieq o(x,sup6()和yieq o(y,sup6() (i1，2，n，eq o(x,sup6()和eq o(y,sup6()分別為x1，x2，xn和y1，y2，yn的均值)，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1o(x,sup6(),sx)，f(y1o(y,sup6(),sy)

3、，eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2o(x,sup6(),sx)，f(y2o(y,sup6(),sy)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(xno(x,sup6(),sx)，f(yno(y,sup6(),sy)，為簡單起見，把上述“標準化”處理后的成對數據分別記為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則變量x和變量y的樣本相關系數r的計算公式如下：req f(1,n)(x1y1x2y2xnyn)eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xi

4、o(x,sup6()）2)r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2).2相關系數r的性質 (1)當r0時，稱成對樣本數據正相關；當r0表明兩個變量負相關Br1表明兩個變量正相關Cr只能大于零D.eq blc|rc|(avs4alco1(r)越接近于0，兩個變量相關關系越弱解析因r0表明兩個變量正相關，故A錯誤；又因 r1，1，故B，C錯誤；兩個變量之間的相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強， r的絕對值越接近于0，表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關，故D正確答案D2(多選題)下面的各圖中，散點圖與相關系數r符合的是 ()解析因為相關系

5、數r的絕對值越接近1，線性相關程度越高，且r0時正相關，r0時負相關，故觀察各選項，易知B不符合，A，C，D均符合故選ACD.答案ACD微思考當r1或1時，兩個變量的相關性如何？提示當r1時，兩個變量完全正相關；當r1時，兩個變量完全負相關.題型一線性相關性的檢驗【例1】現隨機抽取了某中學高一10名在校學生，他們入學時的數學成績x(分)與入學后第一次考試的數學成績y(分)如下：學生號12345678910 x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10名學生的兩次數學成績是否具有線性相關關系？解eq o(x,sup6()eq

6、f(1,10)(12010899108)107.8，eq o(y,sup6()eq f(1,10)(84645771)68，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)xeq oal(2,i)120210829921082116 584，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)yeq oal(2,i)84264257271247 384，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)xiyi120841086499571087173 796.所以相關系數為req f(73 79610107.868,r(（116 58410107.82）（47 38410682）)0.750 6.由此可

7、看出這10名學生的兩次數學成績具有線性相關關系規(guī)律方法利用相關系數r判斷線性相關關系，需要應用公式計算出r的值，由于數據較大，需要借助計算器【訓練1】假設關于某種設備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)90，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)yeq oal(2,i)140.78，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi112.3.(1)求eq o(x,sup6()，eq o(y,sup6()；(2)對x，y進行線性相關性檢驗解(1)

8、eq o(x,sup6()eq f(23456,5)4.eq o(y,sup6()eq f(2.23.85.56.57.0,5)5.(2) eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi5eq avs4al(o(x,sup6() )eq avs4al(o(y,sup6() )112.354512.3，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)5eq o(x,sup6()29054210，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)yeq oal(2,i)5eq o(y,sup6()2140.7812515.78，所以req f(12.3,r(1015.78)0.

9、979.所以x與y之間具有很強的線性相關關系題型二判斷線性相關的強弱【例2】維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標“縮醛化度”y來衡量，這個指標越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產中常用甲醛濃度x(克/升)去控制這一指標，為此必須找出它們之間的關系，現安排一批實驗，獲得如下數據甲醛濃度x18202224262830縮醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求樣本相關系數r并判斷它們的相關程度解列表如下ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi11826.86324721.459 6483.482202

10、8.35400803.722 556732228.75484826.562 5632.542428.87576833.476 9692.8852629.75676885.062 5773.562830.0078490084073030.36900921.729 6910.80168202.944 1445892.013 64 900.16eq o(x,sup6()eq f(168,7)24，eq o(y,sup6()eq f(202.94,7)，req f(o(,sup10(7),sdo10(i1)xiyi7avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(

11、,sup10(7),sdo10(i1)xeq oal(2,i)7o(x,sup6()2)r(o(,sup10(7),sdo10(i1)yeq oal(2,i)7o(y,sup6()2)eq f(4 900.16724f(202.94,7),r(4 1447242)r(5 892.013 67blc(rc)(avs4alco1(f(202.94,7)sup12(2)0.96.由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強的正線性相關關系規(guī)律方法當相關系數|r|越接近1時，兩個變量的相關關系越強，當相關系數|r|越接近0時，兩個變量的相關關系越弱【訓練2】以下是收集到的新房屋的銷售價格y(萬元)和房屋的大

12、小x(m2)的數據房屋大小x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數據的散點圖；(2)求相關系數r，并作出評價解(1)圖略(2)列表如下：ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi111524.813 225615.042 852211021.612 100466.562 37638018.46 400338.561 472413529.218 225852.643 94251052211 0254842 31054511660 9752 756.812 952eq o(x,sup6()eq f(545,5)10

13、9，eq o(y,sup6()eq f(116,5)23.2，req f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)r(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(12 952510923.2,r(60 97551092)r(2 756.8523.22)eq f(308,r(1 570)r(65.6)0.96，由此可知，新房屋的銷售價格和房屋的大小之間有很

14、強的正線性相關關系.一、素養(yǎng)落地1通過本節(jié)課的學習，進一步提升數學抽象及數據分析素養(yǎng)2判斷變量之間的線性相關關系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關關系，此時就可利用線性相關系數來判斷3|r|越接近1，它們的散點圖越接近一條直線，兩個變量之間的相關關系越強二、素養(yǎng)訓練1兩個變量之間的相關程度越低，則其線性相關系數的數值()A越小 B越接近1C越接近0 D越接近1解析由相關系數的性質知選C.答案C2給定y與x的一組樣本數據，求得相關系數r0.690，則()Ay與x線性不相關 By與x正線性相關Cy與x負線

15、性相關 D以上都不對解析因為r0.6900，則x增大時，y也相應增大；若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關程度越強；若r1或r1，則x與y的關系完全對應(有函數關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上其中正確的有()A B C D解析根據相關系數的定義，變量之間的相關關系可利用相關系數r進行判斷：當r為正數時，表示變量x，y正相關；當r為負數時，表示兩個變量x，y負相關；|r|越接近于1，相關程度越強；|r|越接近于0，相關程度越弱故可知正確答案D3甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量進行線性相關試驗，并分別求得相關系數r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學的試驗

16、結果能體現出A，B兩變量有更強的線性相關性的是()A甲 B乙 C丙 D丁解析由相關系數的意義可知，相關系數的絕對值越接近于1，相關性越強，結合題意可知，丁的線性相關性最強，故選D.答案D4對于相關系數r，下列結論正確的個數為()r1，0.75時，兩變量負相關很強r0.75，1時，兩變量正相關很強r(0.75，0.3或0.3，0.75)時，兩變量相關性一般r0.1時，兩變量相關性很弱A1 B2 C3 D4解析由相關系數的性質可知4個結論都正確答案D5對四對變量y和x進行線性相關檢驗，已知n是觀測值組數，r是相關系數，且已知：n7，r0.953 3；n15，r0.301 2；n17，r0.499

17、1；n13，r0.995 0.則變量y和x線性相關程度最高的兩組是()A B C D解析相關系數r的絕對值越接近于1，變量x，y的線性相關程度越高答案B二、填空題6已知某個樣本點中的變量x，y線性相關，相關系數r0，平移坐標系，則在以(eq o(x,sup6()，eq o(y,sup6()為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數的點都落在第_象限解析因為r0，所以大多數的點都落在第一、三象限答案一、三7若已知eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()2是eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2的4倍，eq o(,sup6

18、(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()(yieq o(y,sup6()是eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2的1.5倍，則相關系數r的值為_解析由req f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)，得req f(3,4).答案eq f(3,4)8部門所屬的10個工業(yè)企業(yè)生產性固定資產價值x與工業(yè)增加值y資料如下

19、表(單位：百萬元)：固定資產價值33566789910工業(yè)增加值15172528303637424045根據上表資料計算的相關系數為_解析eq o(x,sup6()eq f(33566789910,10)6.6.eq o(y,sup6()eq f(15172528303637424045,10)31.5.req f(o(,sup10(10),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(10),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2o(,sup10(10),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)0.991 8.答案

20、0.991 8三、解答題95個學生的數學和物理成績如表：學生學科ABCDE數學8075706560物理7066686462試用散點圖和相關系數r判斷它們是否有線性相關關系，若有，是正相關還是負相關？解散點圖法：涉及兩個變量：數學成績與物理成績，可以以數學成績?yōu)樽宰兞?，考察因變量物理成績的變化趨勢以x軸表示數學成績，y軸表示物理成績，可得相應的散點圖由散點圖可見，兩者之間具有線性相關關系且是正相關(相關系數r法)列表：ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi180706 4004 9005 600275665 6254 3564 950370684 9004 6244

21、760465644 2254 0964 160560623 6003 8443 72035033024 75021 82023 190req f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(blc(rc)(avs4alco1(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)blc(rc)(avs4alco1(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(23 19023 100,r(25040)0.90.兩

22、變量具有相關關系且正相關10某火鍋店為了了解營業(yè)額y(百元)與氣溫x()之間的關系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天當天營業(yè)額與當天氣溫的對比表氣溫/2618131041營業(yè)額/百元202434385064畫出散點圖并判斷營業(yè)額與氣溫之間是否具有線性相關關系解畫出散點圖如圖所示eq o(x,sup6()eq f(1,6)(2618131041)11.7，eq o(y,sup6()eq f(1,6)(202434385064)38.3，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)xiyi26201824133410384501641 910，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)xeq oa

23、l(2,i)26218213210242(1)21 286，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)yeq oal(2,i)20224234238250264210 172，由req f(o(,sup10(6),sdo10(i1)xiyi6avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(6),sdo10(i1)xeq oal(2,i)no(x,sup6()2)r(o(,sup10(6),sdo10(i1)yeq oal(2,i)6o(y,sup6()2)，可得r0.98.由于|r|的值較接近1，所以x與y具有很強的線性相關關系能力提升

24、11為考察兩個變量x，y的相關性，搜集數據如下表，則兩個變量的線性相關程度()x510152025y103105110111114A.很強 B很弱 C無相關 D不確定解析eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xi75，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)y543，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)1 375，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi8 285，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)59 051，eq o(x,sup6()15，eq o(y,sup6()108.6，req

25、 f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)r(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(8 285515108.6,r(1 3755152)r(59 0515108.62)0.982 6，故相關程度很強答案A12下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對應年份20122018.由折線圖看出，y與t有線性相關關系