高中物理選擇性必修38.1.2樣本相關(guān)系數(shù)

1、8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.通過學(xué)習(xí)樣本相關(guān)系數(shù)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究散點(diǎn)圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，但無法量化兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度的大小，更不能精確地說明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個(gè)合適的量來對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？問題若樣本系數(shù)r0.97，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度如何？提示r0.97，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正線性相關(guān)程度很強(qiáng)1相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x

2、1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化處理”處理，用sxeq r(f(1,n)o(,sup10 (n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)，syeq r(f(1,n)o(,sup10 (n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)分別除xieq o(x,sup6()和yieq o(y,sup6() (i1，2，n，eq o(x,sup6()和eq o(y,sup6()分別為x1，x2，xn和y1，y2，yn的均值)，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1o(x,sup6(),sx)，f(y1o(y,sup6(),sy)

3、，eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2o(x,sup6(),sx)，f(y2o(y,sup6(),sy)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(xno(x,sup6(),sx)，f(yno(y,sup6(),sy)，為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：req f(1,n)(x1y1x2y2xnyn)eq f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xi

4、o(x,sup6()）2)r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2).2相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì) (1)當(dāng)r0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r0表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)Br1表明兩個(gè)變量正相關(guān)Cr只能大于零D.eq blc|rc|(avs4alco1(r)越接近于0，兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系越弱解析因r0表明兩個(gè)變量正相關(guān)，故A錯(cuò)誤；又因 r1，1，故B，C錯(cuò)誤；兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)， r的絕對(duì)值越接近于0，表示兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)，故D正確答案D2(多選題)下面的各圖中，散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)r符合的是 ()解析因?yàn)橄嚓P(guān)系

5、數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，線性相關(guān)程度越高，且r0時(shí)正相關(guān)，r0時(shí)負(fù)相關(guān)，故觀察各選項(xiàng)，易知B不符合，A，C，D均符合故選ACD.答案ACD微思考當(dāng)r1或1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)性如何？提示當(dāng)r1時(shí)，兩個(gè)變量完全正相關(guān)；當(dāng)r1時(shí)，兩個(gè)變量完全負(fù)相關(guān).題型一線性相關(guān)性的檢驗(yàn)【例1】現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績x(分)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績y(分)如下：學(xué)生號(hào)12345678910 x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績是否具有線性相關(guān)關(guān)系？解eq o(x,sup6()eq

6、f(1,10)(12010899108)107.8，eq o(y,sup6()eq f(1,10)(84645771)68，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)xeq oal(2,i)120210829921082116 584，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)yeq oal(2,i)84264257271247 384，eq o(,sup6(10),sdo4(i1)xiyi120841086499571087173 796.所以相關(guān)系數(shù)為req f(73 79610107.868,r(（116 58410107.82）（47 38410682）)0.750 6.由此可

7、看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系規(guī)律方法利用相關(guān)系數(shù)r判斷線性相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計(jì)算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，需要借助計(jì)算器【訓(xùn)練1】假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)90，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)yeq oal(2,i)140.78，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi112.3.(1)求eq o(x,sup6()，eq o(y,sup6()；(2)對(duì)x，y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)解(1)

8、eq o(x,sup6()eq f(23456,5)4.eq o(y,sup6()eq f(2.23.85.56.57.0,5)5.(2) eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xiyi5eq avs4al(o(x,sup6() )eq avs4al(o(y,sup6() )112.354512.3，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)xeq oal(2,i)5eq o(x,sup6()29054210，eq o(,sup6(5),sdo4(i1)yeq oal(2,i)5eq o(y,sup6()2140.7812515.78，所以req f(12.3,r(1015.78)0.

9、979.所以x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系題型二判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱【例2】維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量，這個(gè)指標(biāo)越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x(克/升)去控制這一指標(biāo)，為此必須找出它們之間的關(guān)系，現(xiàn)安排一批實(shí)驗(yàn)，獲得如下數(shù)據(jù)甲醛濃度x18202224262830縮醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度解列表如下ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi11826.86324721.459 6483.482202

10、8.35400803.722 556732228.75484826.562 5632.542428.87576833.476 9692.8852629.75676885.062 5773.562830.0078490084073030.36900921.729 6910.80168202.944 1445892.013 64 900.16eq o(x,sup6()eq f(168,7)24，eq o(y,sup6()eq f(202.94,7)，req f(o(,sup10(7),sdo10(i1)xiyi7avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(

11、,sup10(7),sdo10(i1)xeq oal(2,i)7o(x,sup6()2)r(o(,sup10(7),sdo10(i1)yeq oal(2,i)7o(y,sup6()2)eq f(4 900.16724f(202.94,7),r(4 1447242)r(5 892.013 67blc(rc)(avs4alco1(f(202.94,7)sup12(2)0.96.由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系規(guī)律方法當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱【訓(xùn)練2】以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y(萬元)和房屋的大

12、小x(m2)的數(shù)據(jù)房屋大小x/m211511080135105銷售價(jià)格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求相關(guān)系數(shù)r，并作出評(píng)價(jià)解(1)圖略(2)列表如下：ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi111524.813 225615.042 852211021.612 100466.562 37638018.46 400338.561 472413529.218 225852.643 94251052211 0254842 31054511660 9752 756.812 952eq o(x,sup6()eq f(545,5)10

13、9，eq o(y,sup6()eq f(116,5)23.2，req f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)r(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(12 952510923.2,r(60 97551092)r(2 756.8523.22)eq f(308,r(1 570)r(65.6)0.96，由此可知，新房屋的銷售價(jià)格和房屋的大小之間有很

14、強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系.一、素養(yǎng)落地1通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)2判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般用散點(diǎn)圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時(shí)很難判斷這些點(diǎn)是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)就可利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷3|r|越接近1，它們的散點(diǎn)圖越接近一條直線，兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)二、素養(yǎng)訓(xùn)練1兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度越低，則其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值()A越小 B越接近1C越接近0 D越接近1解析由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知選C.答案C2給定y與x的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r0.690，則()Ay與x線性不相關(guān) By與x正線性相關(guān)Cy與x負(fù)線

15、性相關(guān) D以上都不對(duì)解析因?yàn)閞0.6900，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；若r1或r1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上其中正確的有()A B C D解析根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷：當(dāng)r為正數(shù)時(shí)，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時(shí)，表示兩個(gè)變量x，y負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱故可知正確答案D3甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn)，并分別求得相關(guān)系數(shù)r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學(xué)的試驗(yàn)

16、結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是()A甲 B乙 C丙 D丁解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，結(jié)合題意可知，丁的線性相關(guān)性最強(qiáng)，故選D.答案D4對(duì)于相關(guān)系數(shù)r，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()r1，0.75時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)r0.75，1時(shí)，兩變量正相關(guān)很強(qiáng)r(0.75，0.3或0.3，0.75)時(shí)，兩變量相關(guān)性一般r0.1時(shí)，兩變量相關(guān)性很弱A1 B2 C3 D4解析由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知4個(gè)結(jié)論都正確答案D5對(duì)四對(duì)變量y和x進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，已知n是觀測值組數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，且已知：n7，r0.953 3；n15，r0.301 2；n17，r0.499

17、1；n13，r0.995 0.則變量y和x線性相關(guān)程度最高的兩組是()A B C D解析相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，變量x，y的線性相關(guān)程度越高答案B二、填空題6已知某個(gè)樣本點(diǎn)中的變量x，y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r0，平移坐標(biāo)系，則在以(eq o(x,sup6()，eq o(y,sup6()為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都落在第_象限解析因?yàn)閞0，所以大多數(shù)的點(diǎn)都落在第一、三象限答案一、三7若已知eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (yieq o(y,sup6()2是eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2的4倍，eq o(,sup6

18、(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()(yieq o(y,sup6()是eq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xieq o(x,sup6()2的1.5倍，則相關(guān)系數(shù)r的值為_解析由req f(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2)r(o(,sup10(n),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)，得req f(3,4).答案eq f(3,4)8部門所屬的10個(gè)工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值x與工業(yè)增加值y資料如下

19、表(單位：百萬元)：固定資產(chǎn)價(jià)值33566789910工業(yè)增加值15172528303637424045根據(jù)上表資料計(jì)算的相關(guān)系數(shù)為_解析eq o(x,sup6()eq f(33566789910,10)6.6.eq o(y,sup6()eq f(15172528303637424045,10)31.5.req f(o(,sup10(10),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）（yio(y,sup6()）,r(o(,sup10(10),sdo10(i1) （xio(x,sup6()）2o(,sup10(10),sdo10(i1) （yio(y,sup6()）2)0.991 8.答案

20、0.991 8三、解答題95個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462試用散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)r判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系，若有，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？解散點(diǎn)圖法：涉及兩個(gè)變量：數(shù)學(xué)成績與物理成績，可以以數(shù)學(xué)成績?yōu)樽宰兞?，考察因變量物理成績的變化趨勢以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖可見，兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系且是正相關(guān)(相關(guān)系數(shù)r法)列表：ixiyixeq oal(2,i)yeq oal(2,i)xiyi180706 4004 9005 600275665 6254 3564 950370684 9004 6244

21、760465644 2254 0964 160560623 6003 8443 72035033024 75021 82023 190req f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(blc(rc)(avs4alco1(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)blc(rc)(avs4alco1(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(23 19023 100,r(25040)0.90.兩

22、變量具有相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)10某火鍋店為了了解營業(yè)額y(百元)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天當(dāng)天營業(yè)額與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表氣溫/2618131041營業(yè)額/百元202434385064畫出散點(diǎn)圖并判斷營業(yè)額與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系解畫出散點(diǎn)圖如圖所示eq o(x,sup6()eq f(1,6)(2618131041)11.7，eq o(y,sup6()eq f(1,6)(202434385064)38.3，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)xiyi26201824133410384501641 910，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)xeq oa

23、l(2,i)26218213210242(1)21 286，eq o(,sup10(6),sdo10(i1)yeq oal(2,i)20224234238250264210 172，由req f(o(,sup10(6),sdo10(i1)xiyi6avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(6),sdo10(i1)xeq oal(2,i)no(x,sup6()2)r(o(,sup10(6),sdo10(i1)yeq oal(2,i)6o(y,sup6()2)，可得r0.98.由于|r|的值較接近1，所以x與y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系能力提升

24、11為考察兩個(gè)變量x，y的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如下表，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度()x510152025y103105110111114A.很強(qiáng) B很弱 C無相關(guān) D不確定解析eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xi75，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)y543，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)1 375，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi8 285，eq o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)59 051，eq o(x,sup6()15，eq o(y,sup6()108.6，req

25、 f(o(,sup10(5),sdo10(i1)xiyi5avs4al(o(x,sup6() )avs4al(o(y,sup6() ),r(o(,sup10(5),sdo10(i1)xeq oal(2,i)5o(x,sup6()2)r(o(,sup10(5),sdo10(i1)yeq oal(2,i)5o(y,sup6()2)eq f(8 285515108.6,r(1 3755152)r(59 0515108.62)0.982 6，故相關(guān)程度很強(qiáng)答案A12下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份20122018.由折線圖看出，y與t有線性相關(guān)關(guān)系