高中數(shù)學(xué)解題方法談：巧妙“折”“展”空間幾何體

1、巧妙“折”“展”空間幾何體在研究空間幾何體問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要進(jìn)行一些圖形變換，折疊（旋轉(zhuǎn)）和展開(kāi)就是兩種常見(jiàn)的圖形變換形式.一、折疊（旋轉(zhuǎn)） 把平面圖形按照一定的規(guī)則進(jìn)行折疊（旋轉(zhuǎn)），得到空間幾何體，進(jìn)而研究其性質(zhì)，是一種常見(jiàn)的題型.解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要分清折疊（旋轉(zhuǎn)）前后的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變與不變.例1 將邊長(zhǎng)為的正方體沿對(duì)角線(xiàn)折起，使得，則三棱錐的體積為 解析：先作圖如下： 對(duì)照平面圖形（圖1）和立體圖形（圖2）反復(fù)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，折疊前的線(xiàn)段DO和BO，它們?cè)谡郫B后的長(zhǎng)度未變，仍為.由勾股定理不難算出DOB=90.折疊前與AC垂直的線(xiàn)段BD雖被折成兩段，但與AC的垂直關(guān)系并沒(méi)有改變，即D

2、OAC.因此易知DO即為三棱錐的高，從而易求出三棱錐的體積三、展開(kāi)將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題基本、常用的方法.在求空間圖形表面兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，常運(yùn)用“展開(kāi)”變換，化曲（折）為直，從而把“折線(xiàn)拉成直線(xiàn)，曲面展成平面”，使問(wèn)題得以巧妙解決.例2（2005年高考江西卷）如圖3，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從到兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為_(kāi).解析：由于本題所給的是一個(gè)棱柱，將其表面展開(kāi)的方法有多種，因此應(yīng)采取分類(lèi)討論的方法將每一種情形分別求出，再進(jìn)行比較得出結(jié)論.將三棱柱側(cè)面、底面展開(kāi)有以下三種情形：在圖4中，；在圖5中，作垂直于，垂足為，則；在圖6中，過(guò)作的平行線(xiàn)

3、，過(guò)作的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)通過(guò)比較知，點(diǎn)沿平面過(guò)棱到點(diǎn)的路徑最短故兩點(diǎn)間的最短路徑的長(zhǎng)度為例3 已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，各側(cè)棱長(zhǎng)均為，如圖7，過(guò)作與側(cè)棱相交的截面，求這個(gè)截面三角形周長(zhǎng)的最小值.解析：沿側(cè)棱將三棱錐展開(kāi)，得到側(cè)面展開(kāi)圖（如圖8），則求截面三角形周長(zhǎng)的最小值就是求兩點(diǎn)的最短連線(xiàn)長(zhǎng)，顯然直線(xiàn)段最短.設(shè)側(cè)棱將三棱錐展開(kāi)，得到側(cè)面展開(kāi)圖（如圖8），則求截面三角形周長(zhǎng)的最小值就是求兩點(diǎn)的最短連線(xiàn)長(zhǎng)，顯然直線(xiàn)段最短設(shè)交于，在圖8中，為等腰三角形，由題設(shè)可知，為等腰三角形又可得，故所求三角形周長(zhǎng)的最小值為解題感悟：立體幾何的研究對(duì)象是空間幾何體，它是平面圖形的延伸和拓展.在研究空間幾何體問(wèn)題時(shí)，展開(kāi)是一種常見(jiàn)的圖形變換形式，是“降維”思想的生動(dòng)體現(xiàn).當(dāng)我們把一個(gè)立體圖形展成一個(gè)平面圖形的時(shí)候