穩(wěn)定性定義和穩(wěn)定性條件

1、關(guān)于穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件第一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1.1 范數(shù)的概念 1. 向量的范數(shù) 定義：n維向量空間 的范數(shù)定義為: (4.1) 2. 矩陣的范數(shù) 定義：mxn矩陣A的范數(shù)定義為: (4.2)第二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 (4.3) 4.1.2 平衡狀態(tài) 系統(tǒng)沒有輸入作用時，處于自由運動狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)某狀態(tài)，并且維持在此狀態(tài)而不再發(fā)生變化的，這樣的狀態(tài)稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 根據(jù)平衡狀態(tài)的定義可知,連續(xù)系統(tǒng) 的平衡狀態(tài) 是滿足平衡方程 即 的系統(tǒng)狀態(tài)。離散系統(tǒng) 的平衡狀態(tài)，是對所有的k，都滿足平衡方程 的系統(tǒng)狀態(tài)。第三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作

2、于2022年6月 首先討論線性系統(tǒng) 的平衡狀態(tài)。由于平衡狀態(tài)為 ，因此，當(dāng)A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài) ；當(dāng)A為奇異矩陣時，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)。 對于非線性系統(tǒng)，可能有一個平衡狀態(tài)，也可能有多個平衡狀態(tài)。這些平衡狀態(tài)都可以由平衡方程解得。下面舉例說明。第四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 例4.1 求下列非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 解 由平衡狀態(tài)定義，平衡狀態(tài) 應(yīng)滿足: 得非線性系統(tǒng)有三個平衡狀態(tài)： , , .第五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1.3 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 1.穩(wěn)定 定義:如果對于任意給定的每個實數(shù) ,都對應(yīng)存在著另一實數(shù) ,使得從滿足不等式

3、的任意初態(tài) 出發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng),在所有的時間內(nèi)都滿足 則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的.若 與 的選取無關(guān),則稱平衡狀態(tài) 是一致穩(wěn)定的.第六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2.漸近穩(wěn)定 定義：若平衡狀態(tài) 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，并且當(dāng) 時， ,即 ，則稱平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 3. 大范圍（漸近）穩(wěn)定 定義：如果對任意大的 ，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍（漸進(jìn)）穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)總是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。 第七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 4. 不穩(wěn)定 定義：如果對于某一實數(shù) ，不論 取多小，由 內(nèi)出發(fā)的軌跡，至少有一條軌跡越出 ，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定.

4、上述定義對于離散系統(tǒng)也是適用的，只是將連續(xù)時間t理解為離散時間k。 注意:穩(wěn)定性討論的是系統(tǒng)沒有輸入（包括參考輸入和擾動）作用或者輸入作用消失以后的自由運動狀態(tài)。所以，通常通過分析系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，或者脈沖響應(yīng)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件 1. SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 設(shè)描述SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為: (4.4) 則系統(tǒng)的特征方程為: (4.5)第九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)特征方程(4.5)有k個實根 ，r對共軛復(fù)根 ，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為: (4.6) 從上式可以看出：

5、1）若 ， 均為負(fù)實部，則有 ，因此，當(dāng)所有特征根的實部都為負(fù)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 2）若 ， 中有一個或者幾個為正，則有 ，因此，當(dāng)特征根中有一個或者幾個為正實部時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；第十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3）若 中有一個或者幾個為零,而其它 ， 均為負(fù)，則有 為常數(shù)。若 中有一個或者幾個為零，而其它 、 均為負(fù)，則y(t)的穩(wěn)態(tài)分量則為正弦函數(shù)。因此，當(dāng)特征根中有一個或者幾個為零，而其它極點均為負(fù)實部時，系統(tǒng)是一種臨界情況，稱為臨界穩(wěn)定的。臨界穩(wěn)定在李氏穩(wěn)定性意義下是穩(wěn)定的，但在工程上是不允許系統(tǒng)工作在臨界穩(wěn)定狀態(tài)的，所以，臨界穩(wěn)定在工程上是不穩(wěn)定的。 結(jié)論：線性定常連

6、續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的全部特征根或閉環(huán)極點都具有負(fù)實部，或者說都位于復(fù)平面左半部。 第十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 2. MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 描述MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： （4.7） 設(shè)A有相異特征值 ，則存在非奇異線性變換 ，使 為對角矩陣，即: 非奇異線性變換后的狀態(tài)方程的零輸入解為:第十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 由于 ， ，所以，原狀態(tài)方程的零輸入解為: (4.8) 可見 (4.9) 將上式展開, 的每個元素都是 的線性組合，所以可寫成矩陣多項式:第十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 所以 (4.

7、10) 從上式可見，當(dāng)A的所有特征值位于復(fù)平面左半平面，即 ， ，則對任意x(0)，有 ，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。只要有一個特征值的實部大于零，對于 ， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)有特征值的實部等于零，而其它特征值的實部小于零，則隨著時間的增加，x(t)趨于常值或者為正弦波，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，或者稱為臨界穩(wěn)定的。第十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)A具有重特征值時,x(t)含有 諸項，穩(wěn)定性結(jié)論同上。 結(jié)論：MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的全部特征值具有負(fù)實部，或者說都位于復(fù)平面左半部。第十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1.5 線性定常離散系

8、統(tǒng)的穩(wěn)定性 1. SISO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 ，則系統(tǒng)輸出的Z變換為 ： (4.11) 現(xiàn)在討論系統(tǒng)在單位脈沖序列離散信(R(z)=1)作用下的輸出響應(yīng)序列。第十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 （1） 有個互異的單極點 ， 。 Y(z)可以展成: 相應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為: (4.12) 如果所有的極點在單位圓內(nèi),即 ， ，則 ，所以，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。第十七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果其中有一個極點在單位圓上，設(shè) ，而其余極點均在單位圓內(nèi)，則 ，所以，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，又稱臨界穩(wěn)定。 如果有一個或一個以上的

9、極點在單位圓外,則 ，所以，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第十八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 （2） 有一對共軛復(fù)數(shù)極點 對應(yīng)這一對復(fù)數(shù)極點的脈沖響應(yīng)序列是: 由于特征方程是實系數(shù)， 所以， 必定是共軛的。 設(shè) 第十九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 代入上式得: (4.13) 由此可見，該對復(fù)數(shù)極點若在單位圓內(nèi)（ ），系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；若在單位圓外（ ），系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在單位圓上（ ），系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。第二十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 （3） 含有重極點 不失一般性，設(shè)含有兩重極點 ，則Y(z)可展開為: 對應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為: (4.14)第二十一張，PPT共

10、二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 顯然，若重極點在單位圓內(nèi)，即 ，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；重極點在單位圓外, 即 ，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；重極點在單位圓上,即 ，由式（4.14）可得: 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 結(jié)論：線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點都位于平面的單位圓內(nèi)。 第二十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 2. MIMO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為: (4.15) 做非奇異線性變換 ,式(4.15)變換為: (4.16)第二十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 （1）A有n個互異的特征值 ， 總可以找到一個非奇異陣P，使矩陣 化為對角型，即 于是 (4.17) 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義，方程(4.17)的解為 (4.18)第二十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 變換回原來的變量，有 (4.19) 由式(4.19)看出：當(dāng) 時， 的充分必要條件是 ， 。（2）特征值是特征方程的重根 不失一般性，設(shè)為兩重根。經(jīng)非奇異線性變換可以化為下面的約當(dāng)型： (4.20)第二十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 狀態(tài)方程(4.20)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為: