蘇教版高中數(shù)學選擇性必修一第5章5.3.2《極大值與極小值》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來5.3.2極大值與極小值學習目標1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件導語同學們，前面我們通過對函數(shù)的求導，摸清了函數(shù)的單調(diào)性，從而也發(fā)現(xiàn)了函數(shù)圖象的變化趨勢，正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，大家可以展開想象一下，在群山之中，各個山峰的頂端雖然不一定是群山之中的最高處，但卻是其附近的最高點，同樣，各個谷底雖然不一定是山谷的最低

2、處，但卻是其附近的最低點這就是我們今天要研究的函數(shù)的極值一、函數(shù)極值概念的理解問題1如圖是某處群山的截面圖，你能指出山峰、山谷嗎？提示在x1，x3，x5處是山峰，在x2，x4處是山谷問題2你能描述一下在各個山峰、山谷附近的特點嗎？提示以山峰xx1處為例來研究，在xx1處，它附近的函數(shù)值都比它小，且在xx1處的左側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞增的，且有f(x)0，在xx1處的右側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞減的，且有f(x)0，當x(x1，x1)時，都有f(x)f(x1)，則稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個極大值；當x(x2，x2)時，都有f(x)f(x2)，則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的一個極小值函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函

3、數(shù)的極值注意點：(1)把函數(shù)取得極大值時的x的值稱為極大值點，把函數(shù)取得極小值時的x的值稱為極小值點，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點，故極值點不是點；(2)極值是函數(shù)的局部性質(zhì)；(3)函數(shù)的極值不唯一；(4)極大值與極小值兩者的大小不確定；(5)極值點出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，端點不能是極值點；(6)若f(x0)0，則x0不一定是極值點，即f(x0)0是f(x)在xx0處取到極值的必要不充分條件，函數(shù)yf(x)的變號零點，才是函數(shù)的極值點例1函數(shù)yf(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：函數(shù)yf(x)在區(qū)間(3,5)上是增函數(shù)；函數(shù)yf(x)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(1

4、,2)，3)上是減函數(shù)；函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,2)上是增函數(shù)；當xeq f(1,2)時，函數(shù)yf(x)有極大值；當x2時，函數(shù)yf(x)有極大值則上述判斷中正確的序號是_答案解析對于，當x(3,4)時，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，所以錯誤；對于，當xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)時，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，當x(2,3)時，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，所以正確；對于，當x(2,2)時，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，故當xeq f(1,2)時，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)不是極大值，所以錯誤；對于，由知當x2時，函數(shù)yf(x

5、)取得極大值，所以正確反思感悟解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)的還是導函數(shù)的，對于導函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上為正，哪個區(qū)間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨撝?，則在該點處取得極大值；若是由負值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值跟蹤訓練1已知函數(shù)yf(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(a，b)內(nèi)的極小值點的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案A解析由圖象，設f(x)與x軸負半軸的兩個交點的橫坐標分別為c，d，其中cd，知在(，c)，(d，b)上f(x)0，所以此時函數(shù)f(x

6、)在(，c)，(d，b)上是增函數(shù)，在(c，d)上，f(x)0，此時f(x)在(c，d)上是減函數(shù)，所以xc時，函數(shù)取得極大值，xd時，函數(shù)取得極小值則函數(shù)yf(x)的極小值點的個數(shù)為1.二、求函數(shù)的極值(點)例2(1)關(guān)于函數(shù)f(x)eq f(x3,x1)的極值點，下列判斷正確的是()Af(x)只有1個極值點，且該極值點為極小值點Bf(x)有2個極值點，且xeq f(3,2)為極值點Cf(x)只有1個極值點，且該極值點為極大值點Df(x)有2個極值點，且xeq f(3,2)為極大值點答案A解析f(x)eq f(x22x3,x12)，當xeq f(3,2)時f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當eq

7、 f(3,2)x1時f(x)0，f(x)為增函數(shù)故函數(shù)只有一個極值點，且xeq f(3,2)是極小值點(2)求函數(shù)f(x)x33x29x5的極值解函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)3x26x9，令f(x)0，即3x26x90，解得x11，x23.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值當x1時，函數(shù)yf(x)有極大值，且f(1)10；當x3時，函數(shù)yf(x)有極小值，且f(3)22.反思感悟函數(shù)極值和極值點的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)

8、間，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況跟蹤訓練2(1)“a2”是“函數(shù)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xa)ex在eq blc(rc)(avs4alco1(0，)上有極值”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案A解析f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xa)ex，則f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xa1)ex，令f(x)0，可得xa1.當xa1時，f(x)a1時，f(x)0.函數(shù)yf(x)在xa1處取得極小值若函數(shù)yf(x)在eq blc(rc)

9、(avs4alco1(0，)上有極值，則a10，a1.因此“a2”是“函數(shù)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(xa)ex在eq blc(rc)(avs4alco1(0，)上有極值”的充分不必要條件(2)求函數(shù)f(x)x3x的極值解函數(shù)f(x)的定義域為R.令f(x)0，得3x210，解得xeq f(r(3),3)或xeq f(r(3),3).當x變化時，f(x)和f(x)變化情況如下表：xeq blc(rc (avs4alco1(，)eq blc rc)(avs4alco1(f(r(3),3)eq f(r(3),3)eq blc(rc (avs4alco1(f(r(3),3)，)

10、eq blc rc)(avs4alco1(f(r(3),3)eq f(r(3),3)eq blc(rc (avs4alco1(f(r(3),3)，)eq blc rc)(avs4alco1()f(x)00f(x)eq f(2r(3),9)eq f(2r(3),9)f(x)在xeq f(r(3),3)處取得極大值eq f(2r(3),9)，在xeq f(r(3),3)處取得極小值eq f(2r(3),9).三、由極值求參數(shù)的值或范圍例3(1)已知函數(shù)f(x)x3ax2bx27在x1處有極大值，在x3處有極小值，則a_，b_.答案39解析f(x)3x22axb.由題意知，1,3是3x22axb0的

11、兩個根，a3，b9.(2)已知函數(shù)f(x)eq f(1,3)x3eq f(1,2)(m3)x2(m6)x(xR，m為常數(shù))，在區(qū)間(1，)內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍解f(x)x2(m3)xm6.因為函數(shù)f(x)在(1，)內(nèi)有兩個極值點，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，如圖所示所以eq blcrc (avs4alco1(m324m60，,f11m3m60，,f(m3,2)1，)解得m3.故實數(shù)m的取值范圍是(3，)反思感悟已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對于已知可導函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數(shù)值為0，極值點兩側(cè)的導

12、數(shù)值異號注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件(2)對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)的值非負或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立跟蹤訓練3若函數(shù)f(x)eq f(1,3)x34x4的圖象與直線ya恰有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(28,3)解析f(x)eq f(1,3)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00

13、f(x)極大值極小值當x2時，函數(shù)取得極大值f(2)eq f(28,3)；當x2時，函數(shù)取得極小值f(2)eq f(4,3).且f(x)在(，2)上是增函數(shù)，在(2,2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值的情況，它的圖象大致如圖所示，結(jié)合圖象知eq f(4,3)a0；x(2,4)時，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函數(shù)，在(2,4)上是減函數(shù)，x2是f(x)在1,5上的極大值點，x4是極小值點2(多選)已知函數(shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，則該函數(shù)的一個增區(qū)間是()A(，2) B(3，)C(2，) D(，3)答案AB解析f(x)6x22ax3

14、6，且在x2處有極值，f(2)0，即244a360，解得a15，f(x)6x230 x366(x2)(x3)，由f(x)0得x2或x3.3設函數(shù)f(x)xex，則()Ax1為f(x)的極大值點Bx1為f(x)的極小值點Cx1為f(x)的極大值點Dx1為f(x)的極小值點答案D解析令f(x)exxex(1x)ex0，得x1.當x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0.故x1為f(x)的極小值點4已知曲線f(x)x3ax2bx1在點(1，f(1)處的切線斜率為3，且xeq f(2,3)是yf(x)的極值點，則a_， b_.答案24解析f(x)3x22axb，由題意知eq blcrc (avs4al

15、co1(f13，,fblc(rc)(avs4alco1(f(2,3)0，)即eq blcrc (avs4alco1(32ab3，,f(4,3)f(4,3)ab0，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b4.)經(jīng)驗證知符合題意課時對點練1下列函數(shù)中存在極值的是()Ayeq f(1,x) ByxexCy2 Dyx3答案B解析對于yxex，y1ex，令y0，得x0.在區(qū)間(，0)上，y0；在區(qū)間(0，)上，y0.故當x0時，函數(shù)yxex取得極大值2設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和

16、極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)答案D解析由題圖可知，當x0；當2x1時，f(x)0；當1x2時，f(x)2時，f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值3函數(shù)f(x)(x1)ex的極小值點為()A(0，1) B(0,0) C1 D0答案D解析由題意得f(x)ex(x1)exxex，故f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上是增函數(shù)，故當x0時，f(x)的極小值為f(0)1，故極小值點為0.4已知a是函數(shù)f(x)x312x的極小值點，則a等于

17、()A4 B2 C4 D2答案D解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，則x12，x22.當x(，2)，(2，)時，f(x)0，則f(x)是增函數(shù)；當x(2,2)時，f(x)0，則f(x)是減函數(shù)，f(x)的極小值點為a2.5函數(shù)f(x)x3ax2bxa2a在x1處有極值為7，則a等于()A3或3 B3或9 C3 D3答案C解析f(x)3x22axb，eq blcrc (avs4alco1(f11aba2a7，,f132ab0，)解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b9)或eq blcrc (avs4alco1(a3，,b3，)當a3，b9時，f(x)3x26

18、x93(x1)(x3)，當3x1時，f(x)1時，f(x)0，x1是極小值點；當a3，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，x1不是極值點a3.6(多選)已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實數(shù)a的值可以是()A4 B3 C6 D8答案AD解析由題意知f(x)3x22ax(a6)0有兩個不相等的根，所以4a212(a6)0，解得a6或a3.7已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，方程f(x)0有兩個不相等的實根，36a236(a2

19、)0，即a2a20，解得a2或a1.8已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)eq f(1,3)x3bx2cxbc，如果函數(shù)f(x)在x1處取得極值eq f(4,3)，則b_，c_.答案13解析f(x)x22bxc，由eq blcrc (avs4alco1(f112bc0，,f1f(1,3)bcbcf(4,3)，)解得eq blcrc (avs4alco1(b1，,c1)或eq blcrc (avs4alco1(b1，,c3.)若b1，c1，則f(x)x22x1(x1)20，此時f(x)沒有極值；若b1，c3，則f(x)x22x3(x3)(x1)，當3x0，當x1時，f(x)0)由題意知，曲線在x1處的切線斜

20、率為0，即f(1)0，從而aeq f(1,2)eq f(3,2)0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xeq f(1,2x)eq f(3,2)x1(x0)，f(x)eq f(1,x)eq f(1,2x2)eq f(3,2)eq f(3x22x1,2x2)eq f(3x1x1,2x2).令f(x)0，解得x11，x2eq f(1,3)(舍去)當x(0,1)時，f(x)0，故f(x)在(1，)上是增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值，極小值為f(1)3，無極大值10設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點？解(

21、1)f(x)3x22x1.令f(x)0，得xeq f(1,3)或x1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xeq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)的極大值是feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq f(5,27)a，極小值是f(1)a1.(2)函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)0，x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)0，曲線yf(x)與x軸至少有一個交點由(1)知f(x)

22、極大值feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq f(5,27)a，f(x)極小值f(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個交點，f(x)極大值0，即eq f(5,27)a0，a1，當aeq blc(rc)(avs4alco1(，f(5,27)(1，)時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點11設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()答案C解析因為f(x)在x2處取得極小值，所以當x2時，f(x)為減函數(shù)，即f(x)0；當x2時，f(x)為增函數(shù)，即f(x)0.所以當x2時，yxf(x)0；當x2時，yxf(x)0；當2x0時，yxf(x)0；當x0時，yxf(x)0；當x0時，yxf(x)0.結(jié)合選項中的圖象知選C.12若函數(shù)f(x)exaxb在R上有小于0的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,0) B(0,1)C(，1) D(1，)答案B解析由題意知f(x)exa.當a0時，f(x)0恒成立，則f(x)在R上為增函數(shù)，不符合題意；當a0時，令f(x)0，解得xln a，當x(，ln a)時，f(x)0.可知xl