蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)11 電荷和電場(chǎng)

1、梯度、散度、旋度等于0各有含義是什么？復(fù)習(xí)：1Universal Law of Electromagnetic Phenomenon第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律2主要內(nèi)容：1.電荷和電場(chǎng)2.電流和電場(chǎng)3.麥克斯韋方程組4.介質(zhì)的電磁性質(zhì)5.電磁場(chǎng)邊值關(guān)系6.電磁場(chǎng)的能量和能流3第一節(jié) 電荷和電場(chǎng)一、庫侖定律庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。是描寫真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷 Q 和 Q 之間相互作用力的定律。其中 Q 受到的作用力為:(1.1)（Coulombs law )zxyoq式中表示q 到q的徑矢。4庫侖定律只是從現(xiàn)象上給出兩電荷之間作用力的大小和方向。有如下兩種物理解釋:注意:1. 兩電荷之

2、間的作用力是超距作用，即一個(gè)電荷把2. 相互作用是通過電場(chǎng)來傳遞的，而不是直接的超結(jié)論：a.靜電時(shí)，兩種描述是等價(jià)的。b.在運(yùn)動(dòng)電荷時(shí)，特別是在電荷發(fā)生迅變時(shí)，實(shí)踐作用力直接施加于另一電荷上；距作用。證明通過場(chǎng)來傳遞相互作用的觀點(diǎn)是正確的。5二、電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度1.電場(chǎng)：電荷周圍的空間存在著一種特殊的物質(zhì)，稱為電場(chǎng)。兩個(gè)電荷之間的相互作用力本質(zhì)上是電荷激發(fā)的電場(chǎng)對(duì)另一個(gè)電荷施加作用力。2.電場(chǎng)強(qiáng)度：我們用一個(gè)單位試驗(yàn)電荷在場(chǎng)中所受的力來定義電荷在點(diǎn) x 上的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 。(1.2)由庫侖定律，一個(gè)靜止電荷Q所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為(1.3)Electric Field and its intensi

3、ty63. 電場(chǎng)具有疊加性。即多個(gè)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)等于每個(gè)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)的矢量和。a.電荷不連續(xù)分布時(shí)，總電場(chǎng)強(qiáng)度是:(1.4)b.電荷連續(xù)分布在某一區(qū)域內(nèi)時(shí)，(1.5)P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為7三、高斯定理和電場(chǎng)的散度1.高斯定理（Gauss theorem)高斯定理是討論閉合曲面上電場(chǎng)強(qiáng)度E的通量。在點(diǎn)電荷場(chǎng)中，設(shè) S 表示包圍著點(diǎn)電荷 Q 的一個(gè)閉合面，dS 為S上的定向面元，以外法線方向?yàn)檎?。SQr8所以：(1.6)如果點(diǎn)電荷 Q 在 S 面外，則需要說明的是，當(dāng)封閉曲面S內(nèi)的總電荷Q=0時(shí)，但不能由此得出S面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)穿入的情況。從物理上說, 因?yàn)镋是由封閉面S內(nèi)、外所有電荷激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的矢

4、量和。的結(jié)論。從數(shù)學(xué)上說，是總通量為零，有可能是場(chǎng)線既有穿出又有9討論：a.當(dāng)區(qū)域內(nèi)有多個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)(1.6)b.當(dāng)區(qū)域內(nèi)電荷連續(xù)分布時(shí)(1.7)注意積分區(qū)域 S 和V 的對(duì)應(yīng)關(guān)系。結(jié)論：閉合面的E通量與V 外的電荷分布無關(guān)。這就是高斯定理的積分形式。102.電場(chǎng)的散度將高斯公式:代入（1.7）式得：(1.8)這就是高斯定理的微分形式。它是電場(chǎng)的一個(gè)微分方程。上式指出：電荷是電場(chǎng)的源，電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出而終止于負(fù)電荷。在沒有電荷的地方，電場(chǎng)線是連續(xù)的。（divergence of electrostatic field)當(dāng)積分區(qū)域無限縮小，直至只包圍一點(diǎn)時(shí)，上式等價(jià)于：所以11式（1.8）還反映

5、了電荷對(duì)電場(chǎng)作用的局域性質(zhì)：空間某點(diǎn)鄰域上場(chǎng)的散度只和該點(diǎn)上的電荷密度有關(guān)，而和其他地點(diǎn)的電荷分布無關(guān)。電荷只直接激發(fā)其鄰近的場(chǎng)，而遠(yuǎn)處的場(chǎng)則是通過場(chǎng)本身的內(nèi)部作用傳遞出去的。四、靜電場(chǎng)的旋度要確定一個(gè)矢量場(chǎng)，還需要給出其旋度。 計(jì)算一個(gè)點(diǎn)電荷Q所激發(fā)的電場(chǎng)E對(duì)任一閉合回路L的環(huán)量，由庫侖定理得12設(shè)dl與r的夾角為，上式最終為右邊被積函數(shù)是一個(gè)全微分。沿L回路積分為零。所以：(1.9)13即：則由面積元的任意性得(1.10)這就證明了靜電場(chǎng)的無旋性。實(shí)踐證明，無旋性只在靜電場(chǎng)的情況下成立。小結(jié)：（1.8）和(1.10)給出了靜電場(chǎng)的散度和旋度，它們表示電荷激發(fā)電場(chǎng)以及電場(chǎng)內(nèi)部聯(lián)系的規(guī)律性，是靜電場(chǎng)的基本規(guī)律。它們反映的物理圖像是：電荷是電場(chǎng)的源，電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出而終止于負(fù)電荷，在自由空間中電場(chǎng)線連續(xù)通過；在靜電情形下電場(chǎng)沒有旋渦狀結(jié)構(gòu)。14例：電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的解：作半徑為r的球(與電荷球體同心)。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)ra時(shí)，球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得因而，寫成矢量式得(1.11)電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的散度。15若ra時(shí)E應(yīng)取(1.11)式，在這個(gè)區(qū)域 r0，由直接計(jì)算可得16因而，當(dāng)ra時(shí)E 應(yīng)