偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、第6章：多元函數(shù)微分學(xué) 內(nèi)容提要6.2 偏導(dǎo)數(shù)和全微分 6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 6.2.2 6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 1.偏增量與全增量同理,可定義關(guān)于自變量 的偏增量 如果當(dāng)自變量 和自變量 在點(diǎn) 都有改變量時(shí),則函數(shù)相應(yīng)的改變量 稱為函數(shù)的全增量. 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義,讓 保持不變,那么 就是一元函數(shù),當(dāng)自變量 在 點(diǎn)取改變量 時(shí),則相應(yīng)的就有函數(shù)的改變量 ,稱其為二元函數(shù) 在 點(diǎn)關(guān)于自變量 的偏增量,記作 即:6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 2.偏導(dǎo)數(shù)的定義定義6.5 設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義,如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù) 在點(diǎn) 關(guān)于自變量 的偏導(dǎo)數(shù),記作或 或 或 同理,如果極

2、限 存在，則稱該極限值為函數(shù) 在點(diǎn) 關(guān)于自變量 的偏導(dǎo)數(shù),記作 或 或 或6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 2.偏導(dǎo)數(shù)的定義和 如果函數(shù) 在平面區(qū)域 內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn) 處對(duì) (或?qū)?)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,稱函數(shù) 在 內(nèi)任意一點(diǎn) 處對(duì) (或?qū)?)的偏導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱函數(shù) 在D內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù),記作 6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 3.偏導(dǎo)數(shù)的求法 由偏導(dǎo)數(shù)的定義易見，函數(shù)z =f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處的偏導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x0,y0)處沿x軸或y軸方向的變化率。 要求二元函數(shù)對(duì)某個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù),只需將其余變量看作常量，按一元函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出其一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即為其偏導(dǎo)數(shù).6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 例1 設(shè)求解：6

3、.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 例2 設(shè) 求復(fù)習(xí)兩個(gè)求導(dǎo)公式：解：6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 例3 設(shè)求復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四則法則：解：6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 例4 設(shè)求解：6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 4.高階偏導(dǎo)數(shù) 一般,二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 還都是二元函數(shù),如果它們對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)都還存在,則稱其為原來二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),分別記作或或 類似地,還可以定義三階、四階以及更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).說明:在上述記號(hào)中 表示兩次均是對(duì) 求導(dǎo)數(shù),而記號(hào) 表示先對(duì) 求偏導(dǎo),然后再對(duì) 求偏導(dǎo).其它記號(hào)意思同理.6.2.1 偏導(dǎo)數(shù) 4.高階偏導(dǎo)數(shù) 對(duì)于二元函數(shù) 來說,如果二階混合偏導(dǎo)數(shù) ,在點(diǎn) 均連續(xù),則必有 習(xí)慣上稱 為二階混合

4、偏導(dǎo)數(shù).例5 設(shè) 求解： 因?yàn)?, 所以6.2.2 全微分 1.全微分的概念定義6.6 對(duì)于二元函數(shù) 來說,如果其在點(diǎn) 的全增量 可以表示為: 的形式。其中 是x, y的函數(shù)，與 和 無關(guān)， 是比 較高階的無窮小量。則稱二元函數(shù) 在 處可微,此時(shí)稱 為函數(shù) 在點(diǎn) 處的全微分,記作 , 即6.2.2 全微分1.全微分的概念注1: 該定義很容易即可推廣到n元函數(shù)上去.注2: 在一元函數(shù)中,大家知道可微必可導(dǎo),可導(dǎo)也可微。但在二元函數(shù)中就不同了.即使二元函數(shù) 在點(diǎn) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 都存在,也不能保證二元函數(shù) 在點(diǎn) 處就一定可微.然而反之,若二元函數(shù) 在點(diǎn) 處可微,則該函數(shù)在點(diǎn)處必存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 注3:

5、若二元函數(shù) 在點(diǎn) 處存在兩個(gè)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 則該函數(shù)在 點(diǎn)處就一定可微,且此時(shí)有 即注4:類似于一元函數(shù),規(guī)定 ,于是有6.2.2 全微分1.全微分的概念注5: 上式給出了求全微分的公式.當(dāng)然該式成立的條件是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).而一般二元函數(shù)(除分段函數(shù)外)如果偏導(dǎo)數(shù)存在的話則均是連續(xù)的。所以,求全微分時(shí)只需求出偏導(dǎo)數(shù)后,將其代入上述公式即可.注6: 在一元函數(shù)中,可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)未必可導(dǎo).而在二元函數(shù)中即便兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在二元函數(shù)也未必連續(xù).但當(dāng)二元函數(shù) 在點(diǎn) 處可微時(shí),則 在 點(diǎn)處就必連續(xù).6.2.2 全微分1.全微分的概念演示說明:上述杯子中飲料的多少代表了該數(shù)學(xué)概念的強(qiáng)弱,條件越強(qiáng)則杯

6、子越大飲料越多,否則條件越弱則杯子越小飲料越少.條件強(qiáng)的可以推出弱的,反之不成立.偏導(dǎo)數(shù)全微分與連續(xù)性三者的關(guān)系演示圖說明:全微分存在時(shí)原來函數(shù)一定是連續(xù)的.還須注意:即使二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,該函數(shù)也未必連續(xù).顯然可見:全微分存在時(shí)其偏導(dǎo)數(shù)一定也存在.說明:二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)時(shí),則其全微分也必存在.6.2.2 全微分1.全微分的概念例6 設(shè)解： 因?yàn)樗?.2.2 全微分2.全微分的應(yīng)用因?yàn)樗杂幸祈?xiàng),得令 有 上式給出了利用全微分進(jìn)行近似計(jì)算的公式.6.2.2 全微分2.全微分的應(yīng)用例7 現(xiàn)有一塊長(zhǎng)方形的鋼板,其長(zhǎng)為2m,寬為1.5m,今對(duì)其進(jìn)行加工,使其長(zhǎng)度增加了8cm,而其寬度減少了10cm.試問其面積近似變化了多少?是增加啦還是減少啦?解 長(zhǎng)