2022年《高中競賽教程》教案第講子集

1、第 5 講 子集本講內(nèi)容有子集、子集的個數(shù)、集合的劃分及子集的應(yīng)用；設(shè) a 表示任意元素,A,B表示兩個集合；如aAaB,就AB,即集合 A是集合 B 的子集；規(guī)定空集是任何集合的子集；子集是由原集合中的部分元素構(gòu)成；對于由 n個元素組成的集合, 它的每一個子集中元素的構(gòu) 成,都是對這 n個元素進(jìn)行挑選的結(jié)果；由于對每一個元素的挑選都有兩種可能（選上或不選）,因此,對這 n個元素共有 2 n 種不同挑選結(jié)果,即由 n個元素組成的集合共有 2 n 個不同子集；其中,不同的非空子集有 2n 1 個,不同的真子集有 2 n個；A 類例題c,d例 1 求集合MxR|x2axa30 的子集的個數(shù)；分析欲

2、求集合 M 的子集的個數(shù),可先求出集合M 的元素的個數(shù)；解由x2axa30,得a24a12x2 x6 ；當(dāng)a2或a6時,0原方程的解 集為空集；當(dāng)a2或a6時,0原方程的 解集為單元素集；當(dāng)2a6時,0原方程有 兩個不等的實數(shù)解；所以,當(dāng)a2或a6時,集合 M,有 1 個子集；當(dāng)a2或a6時,集合Mx 0,有 2 個子集；當(dāng)2a6時,集合Mx 1x 2,有 4 個子集例 2 求滿意a,b Pa,b,c,d,e 的集合 P 的個數(shù)；分析此題要求的是集合a,b,c,d,e 中,必定含有元素a,b的子集的個數(shù),只要求出集合,e 的子集數(shù)；解由集合c,d,e 的子集數(shù)為238,得所求集合 P 的個數(shù)為

3、 8；例 3 已知集合A23, ,4 ,5 ,67,對XA,定義S X為 X 中全部元素之和；求全體S X的總和 S ；A 中含有分析要求出全體S X的總和 S ,只要求出每個元素顯現(xiàn)的次數(shù)；解由集合元素的互異性,得集合A 中某個元素在總合S 中顯現(xiàn)的次數(shù),就是集合該元素的子集數(shù)；所以,全體S X的總和S2345672 58640；情形再現(xiàn)1設(shè)集合Ax,y|y,x24x21,Bx,y|y2x1；求集合AB的子集的個數(shù)；a 1,4,a2,就 a 的值是 _ ；（1998 年第九屆 “ 希2如數(shù)集a,1 1,2望杯” 高一）3設(shè)非空集合A,123, ,4 ,5 ,6,7 ,且當(dāng)aA時,必有8aA,

4、問：這樣的 A 共有多少個？B 類例題例 4在某次競選中, 各個政黨共作出p 種不同的諾言 p0,任何兩個政黨都至少有一種公共諾言,但沒有兩黨作出完全相同的諾言；試證明,政黨的數(shù)目不多于2p1個；（1972年加拿大數(shù)學(xué)競賽）分析這是一道有實際背景的問題；第一應(yīng)挑選適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型刻畫這一問題；由題意, 將“ 諾言” 作為元素,運(yùn)用集合進(jìn)行分析和討論；證明將 p 種不同的諾言構(gòu)成集合A ,就每一個政黨所作的諾言構(gòu)成的集合是集合A 的子集；因而政黨數(shù)應(yīng)不大于集合A 的子集數(shù)；又任何兩個政黨都至少有一種公共諾言,所以任何兩個政黨所對應(yīng)的子集不行能是一對互補(bǔ)的子集；故政黨數(shù) 2 p 2 p 1；2 例

5、5 證明：任意一個有限集的全部子集可以這樣排列次序,使得任何兩個相鄰的子集僅相差 一個元素；（1972 年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克）分析 此題可采納構(gòu)造方法進(jìn)行證明,即對任意一個有限集的全部子集給出一個排列方法,滿足題設(shè)的要求；為此,可從特別情形入手進(jìn)行探究；如有限集元素的個數(shù) n 1 時,子集數(shù)為 2,可排列為 , a 1 ；當(dāng) n 2 時,子集數(shù)為 22,可排列為 , a 1 , a 1 , a 2 , a 2 ；當(dāng) n 3 時,子集數(shù)為 23,可排列為, a 1 , a 1 , a 2 , a 2 , a 2 , a 3 , a 1 , a 2 , a 3 , a 1 , a 3 , a 3 ;

6、每增加 1 個元素, 子集數(shù)增加 1 倍；將原先已排列好的全部子集分別增加一個新元素,得到又一列排列好的子集；再將排列好的子集倒序后,接排在原先已排好的子集列后面,得到符合條件的新的子集列；k證明設(shè)有限集的元素個數(shù)為n；當(dāng)n1時,子集數(shù)為 2,全部子集可排列為:,a 1；當(dāng)n2時,子集數(shù)為22,全部子集可排列為:,a 1 ,a 1,a 2,a 2；當(dāng)n3時,子集數(shù)為 23,全部子集可排列為: ,a 1,a 1,a2,a 2,a 2,a 3,a 1,a 2,a3 ,a 1,a 3,a 3 ;如n時,子集數(shù)為 2k,全部子集可排列為:A 1,A 2,A 2k,且任何兩個相鄰的子集僅相差一個元素；當(dāng)

7、nk1即增加一個元素a k1時,按下面的方法可得由k1個元素組成的有限集的全部子集的一個排列,A 1,A 2,A 2k,a k1A 2k,a k1A 2k1,ak1A 1；因 為A 1,A 2,A 2k共 2k 個 子 集 中任何 兩 個 相 鄰 的 子集 僅 相差 一 個 元 素 , 所以 ,a k1A 2k,a k11A 2k1,ak1A 1共 2k個子集中任何兩個相鄰的子集也僅相差一個元素；又A2k與akA 2k也相差一個元素,因此,上述由k1個元素組成的有限集的全部子集的一個排列是符合條件的排列；由此,我們得到對任意一個有限集的全部子集的符合條件的排列方法,即原命題得證；例 6 設(shè)Mn

8、|1n1995,nN,AM,且當(dāng)xA時,15xA；求| A|的最大值；（1995 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）分析由題意, x 與15x不能同屬于集合A ；根據(jù)集合 A 的這一本質(zhì)特點,構(gòu)造具有最多元素的集合 A ；解由1995133, 又 x與15x不 能同 屬于 集 合A, 得15A 1n| 134n1995,nNA；N已不行能與集合A 同為集合 A 1由1338, 得集合A 2n|9n133,n15的子集；故| A|19951251870；A 3是 滿 足 條 件 的 集 合 , 且設(shè)A 3n|1n8,nN, 經(jīng) 檢 驗 ,A 1|A 1A 3|1870；所以,| A 的最大值為 1870 ；情

9、形再現(xiàn) 4在一次 IMO 競賽中, k 個領(lǐng)隊共使用 n 種不同語言；假如任何兩個領(lǐng)隊至少使用一種共同語 言,但沒有任何兩個領(lǐng)隊使用的語言完全相同；求證：時,k,2n1B,；視為不同的對,就這樣5 已知ABa 1,a2,a 3,當(dāng)ABAB與A 的A,B對的個數(shù)有 _個；（1993 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）6設(shè)集合 A 是整數(shù)集 Z 的子集,其中的元素有正整數(shù),也有負(fù)整數(shù), 且如a ,bA（答應(yīng)ab）,就abA,求證：如a ,bA,就abA；C 類例題例 7 對 ,1 2 , , n 及其每一個非空子集,定義一個唯獨(dú)確定的“ 交替和”：對每一個子集根據(jù)遞減的次序重新排列,然后從最大的數(shù)開頭交替的減或

10、加后繼的數(shù)（例如, ,1 2 , 4 , 6 , 9 的“ 交替和” 是 9 6 4 2 1 6 ; 5 的“ 交替和” 是 5）；對 n 7,求全部這些“ 交替和” 的總和；（第 1 屆美國數(shù)學(xué)邀請賽）分析 求全部這些“ 交替和” 的總和的關(guān)鍵,在于每一個數(shù)字在“ 交替和” 中顯現(xiàn)的次數(shù)及符號；解 對集合 1 , 2 , , n 的全部子集分為兩類：含元素 n的子集共有 2n 1 個,不含元素 n的子集也有 2n 1 個；將含元素 n的子集 n , a 1 , a 2 , , a k 與不含元素 n的子集 a 1 , a 2 , , a k 相對應(yīng), 得這兩個子集的“ 交替和” 恒為 n；所

11、以,全部這些“ 交替和”的總和為 2 n 1 n；當(dāng) n 7 時,“ 交替和” 的總和為 7 2 6 448；例 8 已知集合 S 中有 10 個元素,每個元素都是兩位數(shù)；求證：肯定可以從 S 中取出兩個無公共元素的子集,使 兩個子集的元素和相等；1972 年 14 屆 IMO 分析此題要求的是從集合S的子集中,找到兩個元素和相等的子集；這兩個子集即使有公共元素,只要同時除去公共元素就可以滿意題意；證明 由集 合 S 中每個元素都是兩位數(shù),故它們的總和不超過 1000 ；而集合 S共有210 1024 個子集；由抽屜原理,得集合 S 的子集中至少有兩個子集的和相等；如這兩個子集有公共元素,只要

12、同時從這兩個子集中同時除去公共元素,得到兩個無公共元素的子集,且使兩個子集的元素和相等；即命題得證；情形再現(xiàn)7設(shè)集合Mn|1n10,nN；現(xiàn)對 M 的任意一個非空子集X,令aX表示X 中最大數(shù)與最小數(shù)之和,那么,全部這樣的aX的算術(shù)平均值為_ ；n1 個8由前2 n個正整數(shù)組成的集合MN|1m2 n,nN,從中任取m元 素 組 成 M 的 子 集 A , 求 證 ： 集 合 A 中 必 有 兩 個 數(shù)a i,aj,使 得a iajA, 或 者aj2a i；習(xí)題 5 1 如 2 |, a 1 | 2 ,3, a 2 2 a 1,試確定 a 的值；2 已知集合 A n | 1 n 10 , n N

13、 ,B ,1 2 , 3 , 4 5, ,如 C 是 A 的子集,且B C,就子集 C 有多少個？3如 A n N | 1 n 2 m 1 , m N ,且 a A 時,必有 2 m a A,求證：這樣的子集共有 2m 1 個；4已知集合 X n | 1 n k , k , n N ,對 A X , 將 A 中全部元素的和記為 S A ,將 X 分為互不相交的兩個子集 A, B 且 A B X,如 S A 2 S B ,求 k 的所有值；5矩形城市的道路特別規(guī)章,恰好東西向、南北向的道路分別有m ,n條；一位婦女住在城市的西南角,工作在東北角；她每天步行去工作；假如每個交叉路口不得經(jīng)過兩次,證

14、明她所能選取的路線數(shù)目fm,n不大于2mn；,nN（第 9 屆加拿大數(shù)學(xué)競賽）6已知集合n|1n10,求滿意至少含有兩個元素且任意兩個元素的差的絕對值大于 1 的子集的個數(shù)；（1996 年上海愛朋思杯賽）7 設(shè)集合Ax|1x100,xN且對任意的x,yA,必有2xy,就子集 A 所含元素個數(shù)的最大值為_. ,a k是 S 的子集, 且具1991 年河南省集訓(xùn)題8已知集合SnN|1n1997.Aa 1,a2,有下述性質(zhì)： “ A 中任意兩個不同元素的和不能被117 整除；” 試確定 k 的最大值并證明你的結(jié)論；（1997 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）答案情形再現(xiàn)1解y yx24x1x26x2；0a0或a

15、1；經(jīng)檢驗, a 的值2x12由368280,得|AB|2所以,集合AB的子集的個數(shù)為4；aa2a4或a解 由題意,是 0 或 4；3解由題意, 1 與 7,2 與 6,3 與 5 中每一對數(shù)必需在同一個集合A內(nèi)；因此,所求集合 A 的個數(shù)等同于以1 與 7,2 與 6,3 與 5 及 4 為元素的集合的非空子集的個數(shù)；4所以,這樣的 A 共有24115（個）；,P中不互補(bǔ)的非空子集；略證設(shè) n 種不同語言構(gòu)成集合P,就任何一個領(lǐng)隊對應(yīng)于集合5所以,k2n2n1；a 2,a 3；當(dāng) A時,2解由集合A,B都是AB的子集,AB且ABa 1B有 1種取法；當(dāng) A為一元集時, B有 2種取法；當(dāng) A

16、為二元集時, B有 4種取法；當(dāng) A 為三元集時, B 有 7 種取法；故不同的A,B對有13234726（個）；6證明設(shè)集合 A 中,最小的正整數(shù)為x ,最大的負(fù)整數(shù)為y ；由xA,yA,就xyA；又yxyx,就xy不行能是非零整數(shù) （否就 , 與x ,y分 別 是 集 合 A 中 最 小 的 正 整 數(shù) 和 最 大 的 負(fù) 整 數(shù) 矛 盾 ）, 即x y 0 y x；由題意,易得 x A nx A n N *；綜上,x A A a | a nx , n Z ；如 a , b A,就 a mx , b nx , a b m n x A；即原命題得證；7略解 集合 M 中元素 k ,以最大數(shù)顯

17、現(xiàn)的次數(shù)等于集合 n N | 1 n k 1 的非空子集數(shù) 2k 1,以最小數(shù)顯現(xiàn)的次數(shù)等于集合 n N | k 1 n 10 的非空子集數(shù) 2 10 k；所以,所求的平均值為2 10 11 1 2 0 2 9 2 2 2 8 10 2 9 2 0 2 10 11 1 10 2 0 2 2 9 11；8略證 設(shè)子集 A a 1 , a 2 , , a n 1 ,且 a 1 a 2 a n 1 2 n；作差,得b ia n1a i,i,1 2 ,a 1,n,且b 1b 22n, b nan12 n；于是1b 1,b 2,b n,a 2,a n1由抽屜原理,必有b iajij2a ia n11a

18、iaaja iajan1A；或b ia ia nj；即原命題得證；習(xí)題 5 1略解|a1|3a2或aa4;a3；|a1a22 a11或經(jīng)檢驗, a 的值為4或 2；2解 1 由集合 A 的子集中除去不含集合B中元素的子集, 得子集C共有2 1025992（個）；3456解 2子集 C 的元素 是由集合6 ,78,9, 10 的任意一個子集中的元素,與集合 B 的任意一個非空子集中的元素組成；所求的子集C 共有252 51992（個）；證明由題意, 1 與2m1,2 與2m2,中每一對數(shù)必需在同一個集合A 內(nèi)；因此,所求集合 A 的個數(shù)等同于以1 與2m1,2 與2m2,及 m為元素的集合的非空子集的個數(shù)；所以,這樣的A 共有2m1（個）；略解由題意,SB1S X1kk1；36因而,k 或k1是 3 的倍數(shù)；如k3 m,集合 A 取集合 X 中形如3 m 或3 m2的元素構(gòu)成,集合B取集合 X中形如3m1的元素構(gòu)成,就集合A,B滿意題設(shè)要求；如k3m1,集合 A 取集合 X 中形如3 m 或3 m1的元素構(gòu)成,集合 B 取集合 X中形如3m2的元素構(gòu)成,就集合A,B滿意題設(shè)要求；所以,所求 k 的值為3 m 或3 m1mN；略證設(shè) mn條道路構(gòu)成