均值不等式及其應(yīng)用-等式與不等式課件

1、2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用等式與不等式一二三知識(shí)點(diǎn)一、重要不等式1.填空:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.一二三3.做一做已知a,bR,且a2+b2=4,則ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但無最小值C.有最小值2,但無最大值D.有最大值2,有最小值0解析:這里沒有限制a,b的正負(fù),則由a2+b2=4,a2+b22|ab|,得|ab|2,所以-2ab2,可知ab的最大值為2,最小值為-2.答案:A一二三知識(shí)點(diǎn)二、均值不等式1.填空一二三2.均值不等式與不等式a2+b22ab的關(guān)系如何?請(qǐng)對(duì)此進(jìn)行討論.提示:(1)在a2+b22ab中,a

2、,bR;在a+b 中,a,b0.(2)兩者都帶有等號(hào),等號(hào)成立的條件從形式上看是一樣的,但實(shí)質(zhì)不同(范圍不同).(3)證明的方法都是作差比較法.(4)都可以用來求最值.答案:B 一二三知識(shí)點(diǎn)三、重要結(jié)論1.思考填空:已知x,y都為正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取得最大值_.(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值_.2.應(yīng)用上述兩個(gè)結(jié)論時(shí),要注意哪些事項(xiàng)?提示:應(yīng)用上述性質(zhì)時(shí)注意三點(diǎn):(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.一二三3.做一做:已知x,y0,且x+4y=1,則xy的最

3、大值為.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)利用均值不等式求范圍或最值 探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.利用均值不等式求范圍或最值時(shí)要注意:(1)x,y一定要都是正數(shù).(2)求積xy最大值時(shí),應(yīng)看和x+y是否為定值;求和x+y最小值時(shí),應(yīng)看積xy是否為定值.(3)等號(hào)是否能夠成立.2.有時(shí)需結(jié)合題目條件進(jìn)行添項(xiàng)、湊項(xiàng)以及“1”的代換等,目的是為了使和或積為常數(shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)解:x0, 探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)利用均值不等式比較大小 分析:這是一個(gè)有趣的不等式鏈,取特殊值可判斷其大小關(guān)系.

4、借助不等式和重要不等式變形可尋求判斷和證明的方法.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用均值不等式比較大小的關(guān)注點(diǎn)利用均值不等式比較大小,其實(shí)質(zhì)也是不等式的證明問題,但要注意對(duì)所求對(duì)象進(jìn)行適用條件的驗(yàn)證及等號(hào)成立條件的探求.必要時(shí),也要與之前講述的作差法或作商法綜合進(jìn)行大小比較,對(duì)于結(jié)論可首先取特殊值得到,再作論證即可.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)利用均值不等式證明不等式 反思感悟1.多次使用均值不等式時(shí),要注意等號(hào)能否成立;2.累加法是不等式證明中的一種常用方法,證明不等式時(shí)注意使用;3.對(duì)不能直接使用均值不等式的證明可重新組

5、合,形成均值不等式模型,再使用.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究 探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例4 某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400 m的操場(chǎng),操場(chǎng)的兩邊是半圓形,中間是矩形(如圖所示).學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域,為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大,應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形?解:設(shè)半圓的直徑為d m,矩形的另一邊長(zhǎng)為x m,中間的矩形區(qū)域面積為S m2.由題知S=dx,且d+2x=400,探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.在實(shí)際問題中,與最值有關(guān)的應(yīng)用題是一種

6、常見題型,高考試題中時(shí)有出現(xiàn).解決此類問題的基本思路是,先建立目標(biāo)函數(shù),然后再求該目標(biāo)函數(shù)的最值.由于均值不等式求最值具有方便快捷的特點(diǎn),應(yīng)作為求最值的首選方法.2.在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí),要注意“一正、二定、三相等”的原則,特別是“三相等”必須驗(yàn)證.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)答案:10 探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)一題多變利用基本不等式求最值 分析:變形所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式,使用符合基本不等式的結(jié)構(gòu)特征.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)探

7、究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛 利用基本不等式求條件最值的常用方法(1)“1”的代換:利用已知的條件或?qū)⒁阎獥l件變形得到含“1”的式子,將“1”代入后再利用基本不等式求最值.(3)函數(shù)法:若利用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到,則無法利用基本不等式求最值,則可將要求的式子看成一個(gè)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.易錯(cuò)警示利用基本不等式求函數(shù)最值,一定要判斷等號(hào)何時(shí)成立.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)1.函數(shù)f(x)=2x+ (x0)有()A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案:B2.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+3y-2=0上,則代數(shù)式3x+27y的最小值是,此時(shí)x=,

8、y=.探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)答案:a3 探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)4.已知a,b,c都是正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,求證:(1-a)(1-b)(1-c)8abc.證明:a+b+c=1, (1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).又a,b,c都是正實(shí)數(shù),探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)1.閱讀交流平臺(tái)的內(nèi)容，說說交流的內(nèi)容。（1.本組課文中讓你印象深刻的人和事，2.綜合性學(xué)習(xí)開展的活動(dòng)、活動(dòng)中遇到的困難、問題和解決辦法，活動(dòng)的收獲。3.同學(xué)互評(píng)活動(dòng)中的表現(xiàn)。）學(xué)完這組課文后，許多同學(xué)都被中華兒女的愛國(guó)情深深地打動(dòng)，莎士比亞曾說：“一千個(gè)讀者眼中有一千個(gè)哈姆雷特?！蹦敲?，本組課文哪個(gè)人或哪件事讓你銘記在心呢？說的時(shí)候注意說出印象深刻的理由。請(qǐng)同學(xué)們先在組內(nèi)交流。2.小組內(nèi)交流本組課文中讓你印象深刻的人和事。選出交流的好的同學(xué)參加全班交流。3.小組代表在全班交流在綜合性活動(dòng)中，有不少同學(xué)在查閱資料或調(diào)查訪問的過程中遇到了不少麻煩，可他們發(fā)揮自己的聰明才智，克服了一個(gè)個(gè)困難，你想了解他們解決問題的錦囊妙