函數(shù)的連續(xù)與間斷課件

1、 第一章 第七節(jié) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)與間斷區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 間斷點(diǎn)的分類復(fù)習(xí)(通俗說法)函數(shù)f(x)當(dāng)x x0時的極限（ f(x)在x0 的某去心鄰域有定義） 0 0 當(dāng)0|xx0|時 |f(x)A| .= A 是指:2.1.(-定義)當(dāng)x無限趨近于x0 時 函數(shù)f(x) 的值無限趨近于常數(shù)A不存在的常見情形O x0 xO x0 xO x0 x兩個單側(cè)極限存在 但不相等至少一個單側(cè)極限無窮大至少一個單側(cè)極限為振蕩型 第一章 第七節(jié) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)與間斷區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 間斷點(diǎn)的分類O x0 24 x 1.引例 設(shè)某地昨天的氣溫：y=f(x) (0 x24

2、)在x0處：點(diǎn)(x0,f(x0)兩側(cè)“粘連”著其圖象“連綿不斷”，可一筆畫成新課 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念氣溫f(x)在x0處不可能出現(xiàn)如下情形：（在x0處無定義）O x0 xO x0 xO x0 x氣溫f(x)在x0處不可能出現(xiàn)如下情形：（在x0處無定義）O x0 xO x0 xO x0 x 不存在f(x0)A氣溫f(x)在x0處不可能出現(xiàn)如下情形：（在x0處無定義）O x0 xO x0 xO x0 x =A 這些情形給人“不連續(xù)”的印象 曲線的“連續(xù)性”在x0處遭到破壞 何謂“連續(xù)”呢？ 不存在氣溫f(x)在x0處不可能出現(xiàn)如下情形：（在x0處無定義）f(x0)AO x0 xO x0 xO x

3、0 x =A 須存在極限值須等于函數(shù)值 不存在極限值等于函數(shù)值2. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義若則稱f(x)在x0處連續(xù)。f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義，且 注意： 不是去心鄰域定義1涉及極限還涉及函數(shù)在x0的值極限值等于函數(shù)值2. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義定義2若,則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。若則稱f(x)在x0處連續(xù)。f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義，且 即即定義1f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義，且 動畫演示兩增量趨于0極限值等于函數(shù)值定義2若,則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。若則稱f(x)在x0處連續(xù)。f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義，且 定義1f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有

4、定義，且 兩增量趨于0 把連續(xù)性與極限聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法 只需求該點(diǎn)函數(shù)值（無窮小定義法）自變量在x0處作微小變化時,相應(yīng)函數(shù)值的變化也很微小,形象地表示了連續(xù)性的特征.2. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義定義3 把定義嚴(yán)密化,便于分析論證.0 0 當(dāng)0|xx0| 時 | f(x) |A用 - 語言表述設(shè)f (x)在x0 的某鄰域有定義,稱f(x)在x0處連續(xù),如果對于0 0 當(dāng)0|xx0|時 | f(x) |.f(x0)(定義1) 可替換為定義3設(shè)f (x)在x0 的某鄰域有定義,稱f(x)在x0處連續(xù),如果對于0 0 當(dāng)0|xx0|時 | f(x) |.f(x0)0|xx0

5、|xx0|0 0 當(dāng)0|xx0| 時 | f(x) |A(定義1) 可替換為定義3設(shè)f (x)在x0 的某鄰域有定義,稱f(x)在x0處連續(xù),如果對于0 0 當(dāng)0|xx0|時 | f(x) |.f(x0)0|xx0|xx0|0 0 當(dāng)0|xx0| 時 | f(x) |A(定義1) 例解(定義1)函數(shù)處是否連續(xù)？?所以( 有界函數(shù)與無窮小量的積仍是無窮小量 )0練習(xí) 設(shè)解因?yàn)樗员匦枨抑恍杓幢匦枨抑恍杓磁袛嘞旅娴拿}是否正確：如處處連續(xù),但不連續(xù).練習(xí)(1)(2)提示：3. 左連續(xù)、右連續(xù)左連續(xù)；右連續(xù)；左連續(xù)右連續(xù)（統(tǒng)稱為單側(cè)連續(xù)）f(x)在x0處: 連續(xù) “ 極限值等于函數(shù)值 ” 左連續(xù) “

6、 左極限值等于函數(shù)值 ” 右連續(xù) “ 右極限值等于函數(shù)值 ”3. 左連續(xù)、右連續(xù)f(x)在x0左連續(xù)且右連續(xù)f(x)在x0連續(xù)= =A因?yàn)樗? f(x0)問：連續(xù)與單側(cè)連續(xù)的關(guān)系？ 極限與單側(cè)極限的關(guān)系即：4. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù). 如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如：在區(qū)間連續(xù)是指：4. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) 如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)是指右連續(xù)，如：在區(qū)間連續(xù)是指：在左端點(diǎn) a如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在左端點(diǎn).,右連續(xù)。在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。定義出現(xiàn)如下三種情形之一:5. 函數(shù)的間斷點(diǎn) (即不連續(xù)點(diǎn))無定

7、義;不存在;間斷點(diǎn).從三處破壞(回到引例) 不存在f(x0) 氣溫f(x)在x0處不可能出現(xiàn)如下情形：（在x0處無定義）f(x0)AO x0 xO x0 xO x0 x間斷點(diǎn) =AO x0 xf(x0)O x0 xO x0 x 圖形變化相對平緩O x0 xf(x0)O x0 xO x0 x 圖形變化無限劇烈 圖形變化相對平緩O x0 xf(x0)O x0 xO x0 x 第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)f(x0+0)，f(x0-0)都存在f(x0+0), f(x0-0)至少一個不存在 圖形變化無限劇烈 圖形變化相對平緩L練習(xí)X J x=1是函數(shù)f(x)的 間斷點(diǎn) 第一類1 討論函數(shù)解例f(1+0),f

8、(1-0)都存在 (圖形變化相對平緩)L練習(xí)X J f(0+0),f(0-0) 至少一個不存在 (圖形變化無限劇烈)例3f(0+0)和f(0-0)都不存在,故為f (x)的 間斷點(diǎn).第二類之間來回?zé)o窮次振蕩,在解討論函數(shù)在x=0的連續(xù)性。X J 指出函數(shù)x = 2 是第二類間斷點(diǎn).的間斷點(diǎn)及其類型.答案: x = 1 是第一類間斷點(diǎn);練習(xí)小 結(jié)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個定義；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類.左連續(xù)、右連續(xù);主要內(nèi)容：極限值等于函數(shù)值定義2若,則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)。若則稱f(x)在x0處連續(xù)。f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義，且 定義1f (x)在 x0 的某鄰域內(nèi)

9、有定義，且 兩增量趨于0 把連續(xù)性與極限聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法 只需求該點(diǎn)函數(shù)值（無窮小定義法）自變量在x0處作微小變化時,相應(yīng)函數(shù)值的變化也很微小,形象地表示了連續(xù)性的特征.2. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義可替換為定義3設(shè)f (x)在x0 的某鄰域有定義,稱f(x)在x0處連續(xù),如果對于0 0 當(dāng)0|xx0|時 | f(x) |.f(x0)0|xx0|xx0|0 0 當(dāng)0|xx0| 時 | f(x) |A(定義1) 3. 左連續(xù)、右連續(xù)左連續(xù)；右連續(xù)；左連續(xù)右連續(xù)f(x)在x0處: 連續(xù) “ 極限值等于函數(shù)值 ” 左連續(xù) “ 左極限值等于函數(shù)值 ” 右連續(xù) “ 右極限值等于函數(shù)值 ”（統(tǒng)稱為單側(cè)連續(xù)）3. 左連續(xù)、右連續(xù)f(x)在x0連續(xù)f(x)在x0左連續(xù)且右連續(xù)= =A因?yàn)樗? f(x0)問：連續(xù)與單側(cè)連續(xù)的關(guān)系？ 極限與單側(cè)極限的關(guān)系即：4. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù) 如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。如：在區(qū)間連續(xù)是指：在左端點(diǎn) a如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在左端點(diǎn).,右連續(xù)。定義出現(xiàn)如下三種情形之一: