理科數(shù)學(xué)2010-2019高考真題分類訓(xùn)練專題十三推理與證明第三十九講數(shù)學(xué)歸納法答案

1、專題十三推理與證明第三十九講數(shù)學(xué)歸納法答案部分1 【解析】(I )用數(shù)學(xué)歸納法證明：Xn 0當(dāng) n 1 時，x1 1 0假設(shè)n k時，xk 0 ,那么 n k 1 時，若 xk 1 0 0 ,則 0 xk xk 1 ln(1 xk 1) 0)函數(shù)f(x)在0,)上單調(diào)遞增，所以 f(x) f(0)=0,2因此 xn 1 2xn 1 (xn 1 2)ln(1x01)囪1)10故 2xn 1 xn a2b2Lakbk1bk 1從而 a；1 a22 L abk abk 1故當(dāng)bk 1abk11 .由得bkabk11ab1a2b2a1blakbka1bln k 1時，成立.由(1) (2)可知，對一切

2、正整數(shù)說明：(出)中如果推廣形式中指出情況.37.【解析】(I)由h(x) xh(2)6 720,則 x因此h(x)至少有兩個零點。解法 1： h (x)3x2 11bk 1(1bk1)akbk 1a2 b2 Lakbkakbkak 1bk 1 .所推廣的命題成立.ak 1bk 1 ,式對n 2成立，則后續(xù)證明中不需討論x .x知，x 0,),0為h(x)的一個零點，且記(x) 3x2 1而 h(0) 0,且 h(1)1h(x)在(1,2)內(nèi)有零點。0,當(dāng)x (0,)時，(x) 0,因此(x)在(0,只有一個零點。又因為(1)(x)在(0,)內(nèi)有且只有X,則當(dāng) x (0, x1)時,(x)(x

3、j 0；當(dāng)所以,1x2，則2(x) 6x)上單調(diào)遞增，則(x)在(0,)內(nèi)至多0,則他)在(,1)內(nèi)有零點，所以3個零點記此零點為x (x1,)時，(x)(x) 0.當(dāng)x (0,x)時,h(x)單調(diào)遞減，而h(0) 0,則h(x)在(0,x。內(nèi)無零點;x (0,xj時,h(x)單調(diào)遞減，而h(0) 0,則h(x)在(0,x/內(nèi)無零點;當(dāng)x (Xi,)時，h(x)單調(diào)遞增，而h(x)在(Xi,)內(nèi)至多只有一個零點。從而h(x)在(0,)內(nèi)至多只有一一個零點O 綜上所述，h(x)有且只有兩個零點。i解法 2：由 h(x)x(x2 1 x 2)，記(x)當(dāng)x (0,)時，(x) 0,從而(x)在(0

4、,)上單調(diào)遞增,)內(nèi)也至多只有一個零點。則(x)在(0,)內(nèi)至多只有一個零點，因此 h(x)在(0,綜上所述，h(x)有且只有兩個零點。(n)記h(x)的正零點為x0,即x3 x0 jx0?(1)當(dāng) a x0時，由a a,即a1.而 a2 ai 石 x H x3,因此a2 %.由此猜測：an x0O下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n 1時,a x顯然成立。假設(shè)當(dāng)n k(k 1)時,ak x0成立，則當(dāng)n k 1時，由a： 1 ak 向 x0 瓦 x3知,ak1 %.因此，當(dāng)n k 1時,ak1 x0成立。 故對任息的n N ,ak x0成立。(2)當(dāng)a x0時，由(I)知，h(x)在(x0,)上單調(diào)遞增，則h(a) h(x0) 0, 即 a3 a 4.從而a3 & 反 a Va a3,即a? a, 由此猜測：ak a ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明， 當(dāng)n 1時,a1 a顯然成立。假設(shè)當(dāng)n k(k 1)日t,ak a成立，則當(dāng)n k 1時， 由 a3 1 ak J07 a 7a