醫(yī)學(xué)專題研究生數(shù)值分析(9)矩陣的條件數(shù)和病態(tài)線性方程組

1、 3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)線性方程組 判斷計算方法的好壞，可用算法是否穩(wěn)定、解的精確程度以及計算量、存儲量的大小來衡量。然而，同一方法用于不同問題，效果卻可以相差很遠。解為例如 方程組 12021/7/20 星期二方程組 的解為它們的解變化很大，這樣的方程組稱為“病態(tài)”方程組。 下面，我們給出方程組“病態(tài)”，“良態(tài)”概念及其衡量標(biāo)準(zhǔn)，并介紹判斷近似解可靠性方法。22021/7/20 星期二 為找出刻畫方程組AX=b （A非奇異，b0）病態(tài)程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，我們來分析A，b初始數(shù)據(jù)微小變化對解X的影響。 由于方程組AX=b系數(shù)矩陣A與右端向量b的初始數(shù)據(jù)微小變化引起解的很大變化，這樣的方程組稱為“病

2、態(tài)”方程組。1 矩陣的條件數(shù)與線性方程組的性態(tài)32021/7/20 星期二（1）僅b有小擾動b設(shè)方程組 AX=b+b 的解為即 -得 即 于是有另一方面，由得 且故 42021/7/20 星期二由與有 表明解的相對誤差不超過右端向量b的相對誤差的倍。52021/7/20 星期二（2）僅有小擾動A（設(shè) A+ A 仍可逆）設(shè)方程組的解為即-得即于是有62021/7/20 星期二因A+A可逆且b0從而X+X0，故由上式可得倍。表明解的相對誤差不超過系數(shù)矩陣A的72021/7/20 星期二 分析表明，數(shù) 反映了方程組AX=b的解對初始數(shù)據(jù)A，b擾動的靈敏度，可用來刻畫方程組的病態(tài)程度。我們稱數(shù) 為矩陣

3、A的條件數(shù)，記作即82021/7/20 星期二與由線性代數(shù)知識，有 通常使用的條件數(shù)有在行模意義下的條件數(shù)與在譜模意義下的條件數(shù)，即92021/7/20 星期二定義 設(shè)A是非奇異矩陣，若則稱方程組AX=b為病態(tài)方程組；若相對地小，則稱方程組 AX=b 為比如矩陣及其逆矩陣良態(tài)方程組。102021/7/20 星期二在行模意義下的條件數(shù)因此稱方程組為病態(tài)方程組。112021/7/20 星期二 在實際計算中，常通過一些容易得到的信息來推斷方程組是否病態(tài)。例如，當(dāng)出現(xiàn)下列情況之一時，方程組很可能病態(tài)：（1）用選主元消去法消元中出現(xiàn)小主元；（2）系數(shù)行列式的絕對值相對地很??；（3）系數(shù)矩陣元素間在數(shù)量級上相差很大且無一定規(guī)律；（4）出現(xiàn)了相對地很大的解。 利用定義判斷一個方程組是否病態(tài)，需要計算矩陣的條件數(shù)，從而涉及計算逆矩陣，極不方便。122021/7/20 星期二 方程組的病態(tài)性質(zhì)，是方程組本身的特性。對于病態(tài)方程組，用一般的求解方法不易求得較精確的解，而且病態(tài)越