小學(xué)奧數(shù)之完全平方數(shù)及應(yīng)用(完整版)

1、小學(xué)奧數(shù)之完全平方數(shù)及應(yīng)用1.教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)完全平方數(shù)的性質(zhì);5-4-4.完全平方數(shù)及應(yīng)用（一）2,整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程3.掌握完全平方數(shù)的綜合運(yùn)用。知識(shí)點(diǎn)撥、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)1,完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。2.在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3,完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4,若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a2 ,則p能被a整除。2.性質(zhì)性質(zhì)1:完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9.性質(zhì)2:完全平方數(shù)被3, 4, 5, 8, 16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù).

2、性質(zhì)3:自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù).因?yàn)橥耆椒綌?shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且2n 12np | N ,貝U p | N .性質(zhì)4:完全平方數(shù)的個(gè)位是 6 它的十位是奇數(shù).性質(zhì)5:如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是 0,則它后面連續(xù)的0的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù).如果一個(gè)完全平方數(shù) 的個(gè)位是5,則其十位-一定是 2,且其百位-一定是0, 2, 6中的一個(gè).性質(zhì)6:如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù).3,一些重要的推論1,任何偶數(shù)的平方一定能被 4整除；任何奇數(shù)的平方被 4 （或8）除余1,即被4除余

3、2或3的數(shù)一 定不是完全平方數(shù)。.一個(gè)完全平方數(shù)被 3除的余數(shù)是0或1,即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。.自然數(shù)的平方末兩位只有：00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49,89, 16, 36, 56, 76, 96。4,完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)（1,5, 9）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5,完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（0, 4）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6,完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為 6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是 25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“兩自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位

4、數(shù)字為1, 4, 9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點(diǎn)公式回顧：平方差公式：a2 b2 （a b）（a b）例題精講模塊一、完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【例1】 已知：1234567654321X 49是一個(gè)完全平方數(shù)，求它是誰的平方？【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】2星【題型】解答【解析】我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解：121 =112; 12321 = 1112; 1234321 = 11112 ,于是，我們歸納為 1234 門4321 = (111)2 ,所以， n個(gè)11234567654321 : 11111112;則,123

5、4567654321 X 49=11111112 X 72=77777772以，題中原式乘 積為7777777的平方.【答案】7777777例 2 1234567654321 (1 23456765432 1)是 的平方.【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】1234567654321 11111112 , 1234567654321 72 , 原式 (1111111 7)2 77777772 .【答案】7777777【例3】 已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，則n的最小值是 。【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞

6、】學(xué)而思杯，6年級(jí)，第9題【解析】(法1)先將12 !分解質(zhì)因數(shù)：12! 210 35 52 7 11 ,由于12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，那么這個(gè)完全平方數(shù)是12!的約數(shù)，那么最大可以為210 34 52 ,所以n最小為 12! 210 34 52 3 7 11231。(法2) 12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，12!的質(zhì)因數(shù)分解式中3、7、11的哥次是奇數(shù)，所以 n 的最小值是3 7 11 231?！敬鸢浮?31【例4】 有一個(gè)正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0,試求滿足上述條件的最小的正整數(shù).【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】3星【題型】解答【解析】平方數(shù)的末尾只能是 0, 1

7、, 4, 5, 6, 9,因?yàn)?11, 444, 555, 666, 999都不是完全平方數(shù)，所 以所求的數(shù)最小是 4位數(shù).考察1111, 1444可以知道1444 38 38 ,所以滿足條件的最小正 整數(shù)是1444.【答案】1444【例5】 A是由2002個(gè)“4組成的多位數(shù)，即444二J, A是不是某個(gè)自然數(shù) B的平方？如果是，寫出B;2002個(gè) 4如果不是，請(qǐng)說明理由.【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】A 4441J4 22 111二J.如果A是某個(gè)自然數(shù)的平方，則 111:1也應(yīng)是某個(gè)自然數(shù)的平方， 200好 4200訃 12002個(gè) 1并且是某個(gè)奇數(shù)

8、的平方.由奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1知，奇數(shù)的平方減1應(yīng)是4的倍數(shù)，而111 11, 1 1”二10不是4的倍數(shù)，矛盾，所以 A不是某個(gè)自然數(shù)的平方. 2002個(gè) 1200件 1【鞏固A是由2008個(gè)4”組成的多位數(shù)，即44二3, A是不是某個(gè)自然數(shù) B的平方？如果是，寫出B;如果不是，請(qǐng)說明理由.【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】不是.A 44；：工22 111假設(shè)A是某個(gè)自然數(shù)的平方，則 111也應(yīng)是某個(gè)自然數(shù)的平方，并 2008 42008t 1200人 1且是某個(gè)奇數(shù)的平方.由奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1知，奇數(shù)的平方減 1應(yīng)是4的倍數(shù)，而111 1

9、1110不是4的倍數(shù)，與假設(shè)矛盾.所以A不是某個(gè)自然數(shù)的平方.200吐 12007個(gè) 1【例6】 計(jì)算1111 2222=AXA,求A.2004個(gè) 1100好 2【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】4星【題型】解答【解析】此題的顯著特征是式子都含有1111 ,從而找出突破口 .n個(gè)1111 1 222 2 = 1111 000 - 0 一 1111、7*、-、7.、；、一，2004個(gè) 11002個(gè) 2100好 11002個(gè) 0100好 1= 111 1 X ( 1000 0-1)1002 個(gè)11002 個(gè)0二 111 巴 X ( 9999)1002個(gè) 11002 9.2二m X ( 11Vd

10、X 3X)3 = A 1002 個(gè)11002 個(gè)1所以，A= 3333. V-1002個(gè) 3【答案333二 1002 3【例7】444488889 A2 ,求A為多少？、- -2004個(gè) 42003個(gè)8求是否存在一個(gè)完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005?【考點(diǎn)】完全平方數(shù)計(jì)算及判斷【難度】4星【題型】解答【解析】本題直接求解有點(diǎn)難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推(找規(guī)律)的方法來求解:注意到有 444488889可以看成 444488889 ，其中n=2004; 、 V - 、V 、 - 2004個(gè) 4 200人 8n 4n-1 個(gè)8尋找規(guī)律：當(dāng)n=1時(shí)，有49 72；當(dāng) n=2 時(shí)，

11、有 4489 672 ；當(dāng)n=3時(shí)，有444889 6672于是，類推有 444士螫二9 二666072 2004個(gè)4 2003個(gè)82003個(gè)6方法二：下面給出嚴(yán)格計(jì)算：444 1,488889 二444 4000；-10 + 88g8 +1 ；2004個(gè) 4 200撲 82004個(gè) 4 2004個(gè) 02004 個(gè)8貝口444:400010 + 88勺 ;8+1= 1111 X (4X10000+8) +12004 個(gè)42004 02004 82004個(gè) 12004 0=1112J X 4X (.999 1-9+1) +8 +12004個(gè)12004 個(gè)9=3二11234352=1225,所以至

12、少是362= 1296.當(dāng)四位完全平方數(shù)是 1296時(shí)，另兩 個(gè)平方數(shù)的個(gè)位只能分別為4,5,個(gè)位為5的平方數(shù)的十位只能是 2,但數(shù)字2在1296中已經(jīng)使用.當(dāng)四位完全平方數(shù)是 372= 1369時(shí)，另兩個(gè)平方數(shù)的個(gè)位只能分別為4,5,個(gè)位為5的平方數(shù)的十位一樣只能是 2,還剩下7,8,而784恰好為282.所以，其中的四位完全平方數(shù)最小是1369.【答案】1369【例11】稱能表示成1+2+3+-+K的形式的自然數(shù)為三角數(shù)，有一個(gè)四位數(shù) N,它既是三角數(shù)，又是完 全平方數(shù)，N=。【考點(diǎn)】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)，第 14題【解析】N

13、=kx (1+k)/2=mA2 , 4 位數(shù)的話 2000=k x (k+1)20000, 45=k=140 , k=2n n*(2n+1)=N 。 n 與 2n+1互質(zhì)，所以要均為平方數(shù)。平方數(shù)末尾 149650 0滿足要求的是4950。23=n200,所以200不能表示成8個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，而 2204 2 200,所以200可以表不成7個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，所以200最多能表示為7個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方之和.【答案】7【例42】 有4個(gè)不同的數(shù)字共可組成 18個(gè)不同的4位數(shù).將這18個(gè)不同的4位數(shù)由小到大排成一排， 其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)

14、也是完全平方數(shù).那么這18個(gè)數(shù)的平均數(shù)是：.【考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí) ，初賽，第12題【解析】一般而言，4個(gè)不同的數(shù)字共可組成 p3 24 （個(gè)）不同的4位數(shù).如果只能組成18個(gè)不同的4 位數(shù)，說明其中必有 0,即按3 3 2 1 18算出來的.在這四個(gè)不同的數(shù)中，則設(shè)最小的數(shù) 小0中大 A2,倒數(shù)第二個(gè)則是 大中0小 B2,兩數(shù)正好是一對(duì)反序數(shù).根據(jù)完全平方數(shù)特點(diǎn)，小”、大”兩數(shù)必是1, 4, 6, 9之中的兩個(gè).且中數(shù)在小大之間.可以為以下3類：當(dāng) 失” 4,在1024、1034中，1034不是完全平方數(shù)，1024 32 32 ,但4201不成立.當(dāng)火” 6, 1026、1036、1046、1056、4056.都不是完全平方數(shù).當(dāng)失”=9,在10中9的數(shù)中，取332 1089 ,而9801 992在40中9的數(shù)中，取 632, 672不成立.在50中9的數(shù)中，取 672, 732不成立.在60中9的數(shù)中，取 732, 772不成立.所以，符合條件的數(shù)只能是由1089開始的四位數(shù)，求這18個(gè)數(shù)的和，有兩種方法，一種是枚舉法，另一種是概率法，可以作為方法來記：即，對(duì)于沒有0的四位數(shù)a,