自主學(xué)習(xí)01 教材內(nèi)容 第八章 自旋與角動(dòng)量

1、自主學(xué)習(xí)01教材內(nèi)容第八章自旋與角動(dòng)量知識(shí)框架第五節(jié)本章習(xí)題重點(diǎn)難點(diǎn)第六節(jié)本章自測(cè)第一節(jié)第七節(jié)第二節(jié) 第三節(jié) 第四節(jié)第八節(jié) 第九節(jié) 第十節(jié)知識(shí)框架8.1多粒子體系的薛定諤方程本節(jié)要求:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理多粒子體系的波函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn):掌握多粒子體系的薛定謬方程及其相應(yīng)公式的推導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容:我們知道粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r)中的薛定諤方程擴(kuò)展到一般的量子力學(xué)體系，可表示為G式中H為體系的哈密頓算符，它可以不顯含t,也可以顯含t.在H不顯含t的情況下，可以寫出不含時(shí)的薛定諤方程，即能量本征方程對(duì)于有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的體系，H可以把經(jīng)典哈密頓量量子化而得出.在無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng)的情況，則只能根據(jù)實(shí)驗(yàn) 表現(xiàn)出來(lái)的特征，建立

2、其哈密頓量算符，而其正確性則只能靠實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn).對(duì)于N個(gè)多粒子組成的體系，設(shè)粒子質(zhì)量分別為m- L2，.），第i個(gè)粒子受到的外場(chǎng)作用能為V（r ,t）V（r ,r，r ）i ，而各粒子之間的相互作用能為1 2 N ，則在坐標(biāo)表象中哈密頓算符為n 2/(I/i=1+ V(r ,t) + V(r ,r ,.,r )2mi1 2 Ni波函數(shù)依賴于全部粒子的3N個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間t，即W =W(n , r , r ,123,r ,t)在處理多體問(wèn)題時(shí)，在量子力學(xué)中也面臨與經(jīng)典物理同樣的困難，即多粒子體系很難嚴(yán)格求解的，另外，多 體問(wèn)題比單粒子體系復(fù)雜得多.定義在3N維空間中N個(gè)粒子體系的波動(dòng)方程，這個(gè)空間稱為

3、體系的位形空間，該空間中任意一個(gè)點(diǎn)的 坐標(biāo)是由體系全部粒子的三維坐標(biāo)廣yz = L23,N）決定的位形空間中任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 決定了三維空間中全部粒子作為整體的態(tài).因而，在3N維坐標(biāo)位形空間中的一個(gè)點(diǎn)（x ,y ,z ,.,x ,y ,z ）,1 1 N N N也稱為體系的位形點(diǎn).位形空間中無(wú)窮小體積元定義為決=dVdV dV , dV = dx dy dz12 N i i i i（5）這樣，t時(shí)刻在位形空間中的小體積元d內(nèi)發(fā)現(xiàn)體系的幾率為dw(r , r，r ,t)=pG, r，r ,t)di12 NL 2 N 、(、=W*偵,r ,.，r ,t而偵,r ,.，r ,td12 N12 N定義

4、各粒子子空間體積元i j為dT = dVdTi idT = dVdVdT i.(7)d t對(duì)式(6)作除粒子i外的其它所有粒子的坐標(biāo)積分，即對(duì) i積分，就得到t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子i在ri + dri之間而不論其它粒子在何處的幾率dw(_, t)= pG, tdV類似地i ji j i j=dVdV j w*G,r，_i j12 Nij_ _ + drr r + dr為t時(shí)刻粒子i處在i至ii之間，粒子j處在j至j j之間，而不論其它粒子在何處的幾率等等.現(xiàn)求位形空間中幾率密度*的連續(xù)性方程.為此，用平左乘方程(1)的兩邊，再減去相應(yīng)的復(fù)共軛訪區(qū) dt*G,r，r ,t1,r，,r ,t)i=12m*

5、(r ,r，r ,t)V2N11,t )V 2 W*G,r，尸,t)(10)2m,r ,.,r ,t)V.w(F,r ,.,r ,t)-w(F,r，,r ,t)(11)則式(10)可寫成dp(f ,r，尸，t)dt、 j.i(r ,r，,r,t )=0i=1(12)中除i(13)可證明這個(gè)流密度也滿足連續(xù)性方程.為此式(12)i積分，得咯 P(r，r2，,rdtdpG, t)idt(14)、即位形幾率密度的變化由幾率流決定.J是全部粒子的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，它表示只有i在運(yùn)動(dòng)而其余 (N-1)個(gè)粒子不動(dòng)的狀態(tài)下的流密度.為求得其余粒子在任何位置時(shí)粒子i的流密度，必須對(duì)式(11) 以外的其余粒子的

6、坐標(biāo)積分，即(r , t)= j J (r 1V - j /,/k k 12 Nk=l.京，認(rèn)巫kidx由式(7)可知，體元 ，包含了除粒子i外的其余全部粒子坐標(biāo)，上式第二項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為超面積積分，并且如果|/在無(wú)窮遠(yuǎn)處等于零.而第一項(xiàng)是對(duì)不同變量的微分和積分.利用式(13),得(15)這樣，就得到三維空間中的單粒子連續(xù)性方程叩+0)=。(16)dx類似地，位形空間的連續(xù)性方程(12)對(duì)積分，可得兩粒子連續(xù)性方程等等.8. 2多粒子體系的總動(dòng)量和總角動(dòng)量守怛本節(jié)要求通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生懂得多粒子體系的總動(dòng)量及總角動(dòng)量守恒條件 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)掌握多粒子體系的總角動(dòng)量守恒，理解多粒子體系的總動(dòng)量守恒

7、本節(jié)內(nèi)容1.多粒子體系的總動(dòng)量守恒在經(jīng)典力學(xué)中，多粒子體系在內(nèi)力作用下只有總動(dòng)量保持常數(shù)，因而按牛頓定律，質(zhì) 心以不變速度作直線運(yùn)動(dòng).但如果有外力作用，則在單位時(shí)間內(nèi)總動(dòng)量的變化等于作用于 體系中各粒子上的全部外力之和.可以證明，這條經(jīng)典力學(xué)規(guī)律在量子領(lǐng)域中也保持其正確性.為此，設(shè)體系全部粒子的總動(dòng)量算符為 .顯然，是全部單粒子動(dòng)量 躁二1ZAW)之和礪W碩 .W V75現(xiàn)考慮動(dòng)量的時(shí)間微商算符.按力學(xué)量隨時(shí)間演化公式及其時(shí)間微商算符的定義式中代入式(2),得八j-i心i由于僅依賴于粒子j的坐標(biāo)，所以* 礦Lj 牌）假定粒子間的力僅依賴于粒子間的距離，則撲&).于是，7 中只有 作用于匕#上，

8、因而，只須考察下式：匕也+ Tj-lX. + vg = -廠”件因而作用力等于負(fù)的反作用力，這正是牛頓第一定律.把式(5)和(8)代入式(4),即有即總動(dòng)量的時(shí)間微商算符等于作用于體系的外場(chǎng)的合力算符如果沒(méi)有外場(chǎng)，則窒=0龐(10)即在無(wú)外力作用下，粒子間有相互作用的體系的總動(dòng)量守恒.注意算符方程(10)的物W理意義在于：總動(dòng)量的平均值不隨時(shí)間變化，而且發(fā)現(xiàn)某一定值的幾率也不變.2.多粒子體系的總角動(dòng)量守恒考慮N個(gè)粒子體系的總軌道角動(dòng)量.體系的總軌道角動(dòng)量算符當(dāng)然是各粒子軌道角動(dòng) 量算符之和，即t上(11)角動(dòng)量分量的時(shí)間微商算符為歿 1(12)可以證明，每個(gè)角動(dòng)量分量算符與總角動(dòng)量平方算符對(duì)

9、易.且不同粒子的角動(dòng)量算符 互相對(duì)易(因?yàn)樵诓煌勺鴺?biāo)空間之中)即(13)還可證明(14)現(xiàn)將哈密頓算符(3)的動(dòng)能部分可分成兩部分:衲衲2叫：(15)由于粒子角動(dòng)量的每個(gè)分量分別與裁和?對(duì)易，從上式可知(16)為計(jì)算式(12),還需利用對(duì)易關(guān)系和(17)類似地*F18)WWW可用相對(duì)坐標(biāo)% = 七來(lái)表示上式中的微商(19)代入式(18),得利用式(13)一(20)，可計(jì)算總角動(dòng)量分量的時(shí)間微商(12)，即有(21)上式第二項(xiàng)為零，所以(22)即軌道角動(dòng)量的時(shí)間微商算符等于作用于體系的力矩算符 如果外力或外力矩為零, 則總角動(dòng)量守恒.成 (23)這樣，在外力矩為零的情況下，總角動(dòng)量算符的平均值

10、為常數(shù)，發(fā)現(xiàn)角動(dòng)量分量為某 定值的幾率不變.當(dāng)包含粒子的內(nèi)稟自旋時(shí)，總角動(dòng)量算符為如果沒(méi)有外電磁場(chǎng)，即沒(méi)有作用于自旋上的力，總角動(dòng)量守恒定律仍然有效，因?yàn)榇?時(shí)哈密頓算符與*的每一個(gè)分量對(duì)易.8.3多粒子體系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)本節(jié)要求要求熟悉多粒子體系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)知識(shí)要點(diǎn)掌握多粒子體系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，認(rèn)清兩者之間的關(guān)系本節(jié)內(nèi)容在經(jīng)典力學(xué)中，多粒子體系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)不依賴其組分間的相對(duì)運(yùn)動(dòng).下面要表明這一 點(diǎn)在量子力學(xué)中仍然是正確的.考慮質(zhì)量分別為的N粒子體系，只計(jì)及兩體內(nèi)力的哈密頓算符為在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下表示哈密頓算符，可將其分為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)哈密頓算符.引 入雅可比(Jaccobi)坐標(biāo)

11、這是兩體質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)的推廣.它的構(gòu)成原理是前k個(gè)粒子的質(zhì)心指向第k+1 個(gè)粒子的矢量.使用雅比坐標(biāo)，對(duì)動(dòng)能算符化為f = -v2L-v22M 金堆其中M是系統(tǒng)的總質(zhì)量，由是折合質(zhì)量M = mi, = + T 而和分別是質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)的拉普拉斯算符利用式(2)和(3),式(1)的能量本征方程為注意式(6)中相互作用勢(shì)不依賴質(zhì)心坐標(biāo)七從上式可知,Hamilton算符明顯地分成質(zhì)心部分和相對(duì)部分建T#5R)這樣，體系的波函數(shù)可分離成質(zhì)心部分和相對(duì)部分甲(p,pl,pq代入式(6),分離變數(shù)后，得i山(10)式(9)描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，它是一個(gè)自由粒子的能量本征方程,Ec是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量，與 所研

12、究的體系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，不予考慮.式(10)描述兩個(gè)粒子的相對(duì)運(yùn)動(dòng),E=ET-Ec是 相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量.8.4全同粒子與全同性原理把具有完全相同質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等固有性質(zhì)的粒子稱為全同粒子.人 們正是根據(jù)粒子的內(nèi)稟屬性把自然界中的粒子進(jìn)行分類的，并稱之為電子、質(zhì)子、中子、光子等.既然同一類的粒子具有完全相同的內(nèi)稟的客觀屬性，因而在相同物理?xiàng)l件下，它們 具有相同物理行為.與經(jīng)典力學(xué)不同，全同粒子是不可區(qū)分的.例如氦原子有兩個(gè)電子，即 使在某一時(shí)刻給這兩個(gè)電子編了號(hào)，但其后在某處發(fā)現(xiàn)了一個(gè)電子，也無(wú)法判斷它倒底是 哪一個(gè)電子.這種情況在經(jīng)典力學(xué)中是不會(huì)發(fā)生的，因?yàn)榭蓮母鶕?jù)粒子的運(yùn)動(dòng)軌道來(lái)區(qū)

13、分 不同的粒子.量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來(lái)描述的，如果描述兩個(gè)粒子的波沒(méi)有 重疊，自然可以區(qū)分倒底是哪個(gè)粒子，但如果描述兩個(gè)粒子的波發(fā)生重疊，這兩個(gè)全同粒 子就無(wú)法區(qū)分.全同粒子的不可區(qū)分性稱為全同性原理.由此，我們可以得到全同粒子的 一些重要性質(zhì).思考題1、歸納全同粒子的基本特征。（全同粒子的最重要的特征是：在同樣的物理?xiàng)l件下，它們的行為完全相同，因而用一個(gè)全同粒子代替另 一個(gè)全同粒子，不會(huì)引起物理狀態(tài)的變化。）8.5全同粒子體系的交換對(duì)稱性本節(jié)要求：全同粒子體系的交換對(duì)稱性的要求及對(duì)稱性與自旋的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確區(qū)分出玻色子和費(fèi)米子重點(diǎn)難點(diǎn):1、全同粒子體系的交換對(duì)稱性2、交換對(duì)稱性與

14、粒子的自旋本節(jié)內(nèi)容:全同粒子體系的一個(gè)基本特征是哈密頓算符對(duì)于任何兩個(gè)粒子交換是不變的，即交換對(duì)稱性.例如, 氦原子中的兩個(gè)電子組成的體系，其哈密頓算符為H (r ,/ )=12p 22e 21 s2m r1p 22e 2e 2+ 2 s +s2mr r r正如全同性原理指出的那樣，本來(lái)給全同粒子編號(hào)是無(wú)意義的，但為研究其交換對(duì)稱性，只好先給全同粒 人、入、P 、子編號(hào)，然后再考慮交換粒子會(huì)帶來(lái)什么變化.為此，引入交換算符12,它表示交換第1個(gè)粒子與第2個(gè)粒子的運(yùn)算.由此9 H(f，r )= P H(f，r )= M 2m r212122e 2 +9 p 22e 2e 2+2mr1比較式(1)

15、和(2),得第i個(gè)粒子的全部變量即交換氦原子中的兩個(gè)電子，體系的哈密頓算符不變.對(duì)有N個(gè)全同粒子的體系，r s qH (q , q，,q ; t)(如坐標(biāo)i和自旋iz)用i表示，體系的哈密頓算符為 1 2 七 ，由全同性原理可知Hq，,q，,q，,q ；t)= H，,q，,q，,q ;t)1 i j N1 j i N此即哈密頓算符的交換對(duì)稱性.wj , q，,q ； t) 、，P一令 1 2N是N個(gè)全同粒子的任意波函數(shù)，i表示第i個(gè)粒子與第j個(gè)粒子交換的算符,由哈密頓算符的交換對(duì)稱性得P Hq，q，q，q ;t ，q，q，q ;p項(xiàng)(1 i jNV( 1 i j N )=H，,q，,q，q ;

16、pPw V，,q，,q，,q ；.(1jiNVj(1ijN)=H，,q,q，q ;pPW、，,q，,q，,q ;1ijN ij 1ijNP這意味著，iP全同粒子的哈密頓算符的交換對(duì)稱性反映到描述體系狀態(tài)的波函數(shù)上，就有了極深刻的內(nèi)容.作用于N個(gè)全同粒子波函數(shù)有PW q q q q ;ij 1 i j N由全同性原理，ij與W所描述的是體系的同一狀態(tài)，因此，它們至多相差一個(gè)常數(shù)因子K即:P w =人Wij*P用ij再作用一次，得P 2Wij=mP w =人 2 ijDn P上式左邊將粒子i與粒子j交換兩次，相當(dāng)于不交換,即a(單位算符)，所以*2 = 1，從而(10)*P即ij有兩個(gè)本征值.這樣

17、，全同粒子的波函數(shù)必須滿足P. WIj,i 豐 j = 1,2,., N(11)P上式表明當(dāng)兩個(gè)粒子交換后，全同粒子的波函數(shù)要么是對(duì)稱的，要么是反對(duì)稱的.又由于式(6)，ij是守 恒量.因此，全同粒子波函數(shù)的這種交換對(duì)稱性不隨時(shí)間而改變.D一般而言,一個(gè)量子體系并不一定處于其守恒量的本征態(tài).交換粒子的算符i ( J= )并不都是彼此對(duì)易的，因此一個(gè)全同粒子體系一般而言并不一定是某個(gè)的本征態(tài)，更不一定就是所有D的共同本征態(tài)，但我們將看到所有的共同本征態(tài)是存在的，即完全對(duì)稱或完全反對(duì)稱的波函數(shù).D令人深思的是，在自然界中能實(shí)現(xiàn)的全同粒子體系的波函數(shù)總是j J ，)的共同本征態(tài)， 即總是具有確定的交

18、換對(duì)稱性.此外，迄今所有一切實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于每一類粒子，它們的多體波函數(shù)的交 換對(duì)稱性是完全確定的，并與粒子自旋有確定的聯(lián)系.凡是由電子、中子、質(zhì)子等自旋為力的半奇數(shù)倍的 粒子，其波函數(shù)是反對(duì)稱的.它們遵從費(fèi)米一狄拉克統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子.凡是由光子、兀介子等自旋為力的 整數(shù)倍的粒子，其波函數(shù)是對(duì)稱的.它們遵從玻色一愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，稱為玻色子.由費(fèi)米子或玻色子組成 的復(fù)雜粒子，如a粒子(氦核)，如在討論的問(wèn)題中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度被完全凍結(jié)，則也 可以當(dāng)成一類全同粒子來(lái)看待.如果復(fù)雜粒子是由玻色子組成，則自旋為力的整數(shù)倍，仍是玻色子.如果 它們由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成，則自旋為力的整數(shù)倍，為玻色

19、子；但若由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子組成，則自旋為力的半 奇數(shù)倍，為費(fèi)米子.例如，2H1 (氘核)是玻色子，而3 H 2 (氚核)則為費(fèi)米子.思考題1、對(duì)兩個(gè)全同的玻色子，其波函數(shù)是怎樣的？i = i答：1)當(dāng) 時(shí)， 中(q , q ) = 8 (q )8 (q )s 12 i 1 i 2n ei o j (q, q ) = 士【8 (q)8 (q )+。(q)8 (q)2)當(dāng) 時(shí)，s 12- 2 i 1 j 2 i 2 j 18.6全同粒子體系的波函數(shù)本節(jié)要求：深刻理解泡利原理，掌握如何構(gòu)造玻色子、費(fèi)米子波函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn):1、兩個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理2、N個(gè)全同粒子的波函數(shù)玻色子體系費(fèi)米子體系 3、

20、全同粒子體系的總波函數(shù)本節(jié)內(nèi)容:討論在忽略粒子之間相互作用的情況下,如何去構(gòu)造具有交換對(duì)稱的波函數(shù).在計(jì)及相互作用時(shí)，可 以用它們作為基矢來(lái)展開(kāi).先討論兩個(gè)全同粒子體系，然后推廣到多粒子體系.1.兩個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)考慮兩個(gè)全同粒子，忽略它們的相互作用，但它們可以受外力作用，哈密頓算符為H = h(q )+ h(q )12其中免)，表示單粒子哈密頓算符昂色)和h(q2)形式上完全一樣，只是狀態(tài)變量q不同.顯 然，12 H 0 .單粒子哈密頓算符h(q)的本征方程為h(qIp (q)=甲(q)其中P k已歸一化，k代表一組完備的量子數(shù).設(shè)兩個(gè)粒子中有一個(gè)處于 k1態(tài)，另一個(gè)處于 k2態(tài),則甲

21、k (qi )pk (q2)p (q Ip (q )k12 k21或者它們的線性疊加，對(duì)應(yīng)的能量都是8 k1 + k2 .這表明體系的能級(jí)是簡(jiǎn)并的，這種與全同粒子交換對(duì)稱性 相聯(lián)系的簡(jiǎn)并，稱為交換簡(jiǎn)并.值得注意的是,這樣的波函數(shù)不具有確定的交換對(duì)稱性，因此，還必須對(duì)玻 色子和費(fèi)米子分別把波函數(shù)對(duì)稱化和反對(duì)稱化.對(duì)玻色子，要求對(duì)于兩粒子交換是對(duì)稱的.分兩種情況討論.(1) 對(duì)k = k2 = k，歸一化的對(duì)稱波函數(shù)可構(gòu)造為上 q=p k(qi 如(q 2)(2) 對(duì)ki k2，歸一化的對(duì)稱波函數(shù)可構(gòu)造為w &1, q2 )= Y( + P12 2k h J2)=-1 (p (q )p (q )+

22、甲(q )p (q )：2 K 1 k2 2k 2 k? 1對(duì)費(fèi)米子，要求對(duì)于兩粒子交換是反對(duì)稱的.這種波函數(shù)可構(gòu)造為12k21k22從式(5)可見(jiàn)，若k1 = k2，則w A = 0 ,即這樣的狀態(tài)是不存在的.這就是所謂泡利不相容原理一 不能有兩個(gè)全同費(fèi)米子處于同一個(gè)單粒子態(tài).這個(gè)原理是1925年由泡利首先提出來(lái)的，它對(duì)于了解多電 子原子的結(jié)構(gòu)有重要意義.2. N個(gè)全同粒子的波函數(shù)先考慮N個(gè)玻色子體系.玻色子不受泡利原理的限制，可以有任意多個(gè)玻色子處于相同的單粒子態(tài)，丈n = n其中有n個(gè)處于k態(tài)，且z=1 (n中有一些可以為0,有一些可以大于1).此時(shí)，對(duì)稱的多體波iii函數(shù)可表示為n1n

23、2n這里P指只對(duì)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換而構(gòu)成的置換.考慮到處于kj態(tài)的氣個(gè)粒子進(jìn)行對(duì)換 有nj!N!_ N!n !n !n ! ni 2 n ii ni種方式，所以式(6)的置換有i=1個(gè)，因此，歸一化的對(duì)稱波函數(shù)為( )N!(qi, q2 qN ilT n i=ipp (q ) 平(q I*11kNN例如，由三個(gè)玻色子構(gòu)成的全同粒子體系，若有兩個(gè)粒子處于單粒子1態(tài)，一個(gè)粒子處于單粒子2態(tài)，而 處于其它單粒子態(tài)上的粒子數(shù)為0，則體系的對(duì)稱波函數(shù)為W S (qqq )=上p (q (q (q )+(q (q (q )+(q (q (q )21012 3 次 11122311132213

24、1221 其次考慮N個(gè)全同費(fèi)米子體系.設(shè)N個(gè)費(fèi)米子分別處于N個(gè)單粒子ki = 1，2,，)態(tài)上，則N粒 子體系的反對(duì)稱波函數(shù)為W： (q1,q廣、q)=1 N8 P: (q )p (q ).：(q )pVN!P kN (q1 )k22:k*)k2 N(q ) :kNN式中P代表N個(gè)粒子的某個(gè)置換.P I 1如2 2 I上代表從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)排列式(10)平k1出發(fā)，經(jīng)過(guò)置換P作用后得到的一個(gè)排列.N個(gè)粒子在N個(gè)單粒子態(tài)上的不同排列數(shù)有N!個(gè)，或者說(shuō)有N!個(gè)置換.所以，在式(9)中共有N!項(xiàng)，彼此都是正交的.1 N!是歸一化因子.置換P總可以表示成若6 = 1干個(gè)對(duì)換之積.從標(biāo)準(zhǔn)排列式(10)出發(fā)，若

25、經(jīng)過(guò)奇數(shù)次對(duì)換才達(dá)到排列P,則稱P為奇置換，P ； 若經(jīng)過(guò)偶數(shù)次對(duì)換才達(dá)到排列P，則稱P為偶置換，6P -+1.在N!個(gè)置換中，偶置換與奇置換各占一半.因此，在式(9)的求和中，有一半為正項(xiàng)，一半為負(fù)項(xiàng).形如式(6)的波函數(shù)，稱為Slater行列式，可 簡(jiǎn)記為Aki(q (q)(qI1 k22kN(11)(12)稱為反對(duì)稱化算子.從式(6)可見(jiàn)，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子狀態(tài)相同，如匕=、則行列式便有兩行W A = 0或兩行以上相同，由行列式性質(zhì)可知，.這表明，在全同費(fèi)米子體系中不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)，這正是泡利不相容原理.全同粒子體系的總波函數(shù)在粒子的自旋與軌道相互作用可以

26、忽略的情況下，全同粒子體系的總波函數(shù)可以寫成坐標(biāo)函數(shù)和自旋 函數(shù)的乘積，即wG,s ;r ,s ;，s )=G,r，r 如(,s ，s )11z 22 z N nz1 2 N 1z 2 z Nz(13)式中y、j和c的對(duì)稱性如表8.6.1所示.表8.6.1波函數(shù)的對(duì)稱性波函數(shù)粒子種類yjc費(fèi)米子反對(duì)稱反對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱玻色子對(duì)稱反對(duì)稱反對(duì)稱對(duì)稱對(duì)稱例如，對(duì)兩電子體系，總波函數(shù)為思考題1.設(shè)體系包含兩個(gè)粒子，每個(gè)粒子可處于三個(gè)單粒子態(tài)中1、中2、中3中的任一態(tài)，試求體系可能狀態(tài)的數(shù)目，并寫出相應(yīng)的波函數(shù).分三種情況：（a）兩個(gè)粒子為全同玻色子；（b）兩個(gè) 粒子為全同費(fèi)米子；（c）非全同粒子.答

27、案：（a） 6個(gè).也 （2）% G如（2）當(dāng) G（2）b Gb 2(2 )+ 也(2如 G)-= b 2 (1)P3(2 )+ b 2(2)P3 G)土 P3 Gh(2)+ P3(2)P G)(b) 3 個(gè).b (1)P 2(2)一 P(2 )P 2 G)-= b 2 (1)P 3 (2)+ P 2 (2 )p3 G)(1)Pi (2 )b3 (2 )Pi G)（c） 9個(gè).對(duì)稱態(tài)數(shù)+反對(duì)稱態(tài)數(shù)2.某個(gè)一維勢(shì)阱具有束縛態(tài)單粒子本征能級(jí)81 2 3 .,相應(yīng)的本征態(tài)為p G) p G) p G)123.兩個(gè)沒(méi)有相互作用的粒子置于勢(shì)阱中，試求體系可能達(dá)到的兩個(gè)最低總能量值和相應(yīng)的簡(jiǎn)并度，以及兩最低

28、能級(jí)相應(yīng)的體系總波函數(shù).分兩種情況：（a）兩個(gè) 自旋為1/2的全同粒子；（c）兩個(gè)自旋為0的全同粒子.答案：（a）總能量E1 = 28 1,簡(jiǎn)并度f(wàn)=1,波函數(shù)b1 1 1 00 ；總能量E 2 =七+8 2，簡(jiǎn)并度f(wàn)=4,波函數(shù)為-1 p (x )p G )+中(x )p G)h91122122100v J=虹R如2)-也由2 R)此，m = 0,1(b)總能量E1 28 1,簡(jiǎn)并度f(wàn)=1,波函數(shù)P1 11 200 ；總能量E 2 - 1 + 2，簡(jiǎn)并度f(wàn)=4,波函數(shù)為Ip (x )p (x )+p (x )p (x 龍1122122100式中*00 0*,名0誓2/.8.7氦原子及類氦離子

29、本節(jié)要求：通過(guò)對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解如何處理多粒子體系問(wèn)題重點(diǎn)難點(diǎn)：了解多粒子體系的具體應(yīng)用，知道對(duì)稱性是具有實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)性本節(jié)內(nèi)容:氦原子及類氦離子(Li+,Be2+,B3+,C4+等)是最簡(jiǎn)單的多電子原子，原子核帶電+Ze,核外有兩個(gè)電子. 由于原子核的質(zhì)量比電子大得多，可以忽略原子核的運(yùn)動(dòng).此外，兩電子之間的自旋相互作用以及電子自 旋與軌道的相互作用比電子與核之間以及兩電子之間的庫(kù)侖作用小得多，因而也可以忽略不計(jì).由此得氦 原子的哈密頓算符為力2 一H = - V 2 2m 1Ze2 加A V 2r2m 21Ze 2 e 2 A + Ar2r12(1)由于H不含自旋變量，自旋波函數(shù)與空間

30、坐標(biāo)波函數(shù)可以分離為)=qG,r)x(s ,s )11z 22z先忽略兩個(gè)電子之間的庫(kù)侖斥力.此時(shí)體系近似看成兩個(gè)彼此獨(dú)立的電子在原子核的庫(kù)侖引力場(chǎng)中運(yùn) 動(dòng).這樣無(wú)相互作用的兩電子哈密頓算符為力2 一Ze 2力2Ze2H = v 2AV 2A02m 1r2m 2r12而單電子運(yùn)動(dòng)方程為-竺v2 2 甲(f)=8 甲(r) 2mr J k k k】 J 式中單電子的能級(jí)8 k及波函數(shù)中k的形式與氫原子及類氫離子相同，此處量子數(shù)k代表一組量子數(shù)Gn、1和m.顯然0的能量本征值為E(0)= 8 + 8()甲 G )p (r ) (r )p (r)相應(yīng)的波函數(shù)為n 1 m 2或* n 2 m 1 ,即

31、能級(jí)(5)是二重簡(jiǎn)并的，稱為交換簡(jiǎn)并.因而,人H0的薛定諤方程的解必須是二者的線性組合p(r ,)=1 甲(r Ip (r )+ b甲(r Ip (r )歸一化要求下面用微擾論研究?jī)呻娮訋?kù)侖斥力對(duì)體系的影響.由簡(jiǎn)并微擾論，可得方程(W -11(W21式中A = W12四)2昨)2 d3rd3rr12e 2 .K = W = W = nm-nm) = e 2 Jr*G h (r Up (r h*G )=W21=nm1212*n 1 m 1 n 2 mr12d 3 rd 3 r12e 9其中K為兩電荷密度 n(r )2 e h (r )2在經(jīng)典電磁學(xué)中沒(méi)有1 和 m 2之間的庫(kù)侖相互作用，而A為交

32、換能,可與此類比的能量.交換積分來(lái)源于電子既可以在9 n也可在 m態(tài)中，其大小取決于乘積 n9 m，即波函數(shù)的重疊程度.這樣，基態(tài)與激發(fā)態(tài)的交換能是很小的.為求出式(8)的非零解，相應(yīng)的系數(shù)行列式必須 等于零，即K-AK-(10)解之， 得 + = K 土 A(11)因而微擾使能級(jí)分裂為E = E(0)+ K + A = + + K + A +(12)將E +分別代入式(8),并注意到式(7),可得a = b+ = 1/很(13)可見(jiàn)，兩電子之間的庫(kù)侖相互作用解除了交換簡(jiǎn)并，量子態(tài)分裂成對(duì)稱和反對(duì)稱兩個(gè)態(tài)中(f, r)=上 tp (r )p (f )中(f )p (r )土 122 n 1 m

33、 2 m 1 n 2(14)考慮電子自旋后，由于電子是費(fèi)米子，總波函數(shù)(2)必須是反對(duì)稱的.因此,II 1+2+K+J |Ii1+2i!I1+2+K-j仲氦12+K正氦 I_L圖8.7.1氦原子能級(jí)示意圖中 G, r )x(s , s ) W a =甲 G, r)X(s , s )空間波函數(shù)為+ 1 2時(shí)，自旋波函數(shù)應(yīng)為00 1z 2z，總波函數(shù)+ 1 2 7 001z2z中 vr, r)是單態(tài)，處于該態(tài)的氦原子稱為仲氦;空間波函數(shù)為-1 2時(shí)，自旋波函數(shù)應(yīng)為x(s ,s ) m = 0,1w A = (r,r )X (s ,s )1m 1z 2 z，總波函數(shù)-121m 1 z 2 z是三重態(tài)

34、，處于該態(tài)的氦原子稱為正氦.如圖8.7.1所示是氦原子的能級(jí)示意圖.它有兩個(gè)能級(jí)體系：?jiǎn)螒B(tài)系和三重態(tài)系.盡管氦原子的哈 密頓算符與自旋無(wú)關(guān)，但波函數(shù)的交換對(duì)稱性使得原子的性質(zhì)與自旋有密切的聯(lián)系.仲氦(s=0)和正氦 (s=1)的總自旋不同，導(dǎo)致兩者空間波函數(shù)的對(duì)稱性不同，這使得仲氦與正氦就像兩種不同的氣體一樣. 正氦與仲氦相互轉(zhuǎn)化的幾率很小.如果氦原子受到擾動(dòng)，只要自旋軌道耦合沒(méi)有強(qiáng)烈到使總自旋不守恒， 要從正氦的基態(tài)躍遷到仲氦基態(tài)上是不可能的.因此，正氦的基態(tài)稱為亞穩(wěn)態(tài)(壽命大于10-8).但是，通 過(guò)與電子或其它原子的彈性碰撞可使這種躍遷成為可能.例如，在氦氖激光器中，利用氣體放電，讓電子

35、 與氦原子碰撞，將氦原子激發(fā)到正氦的基態(tài)和仲氦的激發(fā)態(tài)，隨后利用這些氦原子與氖原子碰撞，在氦原子躍遷到仲氦的基態(tài)的同時(shí)，使氖原子激發(fā)，造成氖原子對(duì)低能級(jí)的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，最后形成6328A的激 光.p(r Ip(r )對(duì)處于基態(tài)的氦原子，空間波函數(shù)100 1 100 2是對(duì)稱的，因而相應(yīng)的自旋波函數(shù)是反對(duì)稱的，即處于基態(tài)的氦原子是仲氦而不是正氦.基態(tài)氦原子的總波函數(shù)為其中從而W(r,s ;r ,s11z 2 2z)=p0 (r ,r2(r )100正是類氫原子的波函數(shù)00(s1 ,s2)=P100(r1 加0(F2)X00七，sp100 G)= R10 (r (r)=00Ze - Zr a 0 4

36、k2z(15)(16)p (r,r )=Ze -: (r1 +疽波函數(shù)(15)相應(yīng)的能量為(18)E(0)= 28 = m(Uc * Z 211它是非簡(jiǎn)并的.考慮兩電子之間的庫(kù)侖作用后，其微擾修正為K = j d3rd3r 甲*G,r ) (f ,r )12 012 r 0 1125 竺=5 mZ (ac )24 % 8(19)因此，在微擾論一級(jí)近似下，氦原子的基態(tài)能量為E = m(ac * Z 2(ac * Z(20)而變分法計(jì)算給出的基態(tài)能量為- = m(ac)256E = -mQc )2 Z 2 + mQc )2 Z (21)8比一級(jí)微擾近似值約小.實(shí)驗(yàn)上通常是測(cè)量原子的離化能I,即從原

37、子中剝奪一個(gè)電子使之電離所需的能量.對(duì)氦原子或類氦離子，當(dāng)電離一個(gè)電子后，剩下一個(gè)電子仍處于1S軌道，按類氫原子能量公式，它的能量為m( c )2 Z 2.2.因此，離化能量的一級(jí)微擾論計(jì)算結(jié)果為=L m(ac * Z2(22)I = m(ac * Z 2 m(ac *2而變分法的計(jì)算結(jié)果為I = m(a c * Zz - 5:+r 5 22I 4 J16 J(23)如表8.7.1所示給出計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值的比較.可以看出，計(jì)算值與觀測(cè)值符合得不錯(cuò)，特別是Z愈 大的離子，計(jì)算值與觀測(cè)值的相對(duì)偏離愈小.這應(yīng)該與人們所期望的一致，因?yàn)閆愈大的離子，相對(duì)于原 子核的庫(kù)侖吸引力來(lái)說(shuō)，電子之間庫(kù)侖斥力

38、的重要性就愈小.還可以看出，變分法的計(jì)算值更接近于觀測(cè) 值.表8.7.1類氦離子的基態(tài)能量及離化能（eV）類氦離子ZE實(shí)E計(jì)（微擾）E極（變分法）I實(shí)I計(jì)（微擾）I計(jì)（變分發(fā)）He2-79.010-74.828-77.48524.59020. 40823.065Li+3-198.087-193.871-196.52871.42671. 42674.083Be+4-371.574-367.335-369.992153.894147. 655152.312B3+5-599.495-595.219-597.876259.370255. 094257.751C4+6-881.876-877.523-8

39、80.180392.096387. 743390.400N5+7-1218.709-1214.246-1216.903552.064547. 601550.25806+8-1610.016-1605.390-1608.047739.29634. 670737.3278.8分子的不同激發(fā)形式本節(jié)要求：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，知道如何來(lái)處理分子體系的問(wèn)題知識(shí)要點(diǎn)：對(duì)本節(jié)內(nèi)容要有所了解，理解波恩一奧本海默近似本節(jié)內(nèi)容:分子的運(yùn)動(dòng)，即使是雙原子分子，也比原子體系復(fù)雜得多，因?yàn)樵诜肿又校娮拥倪\(yùn)動(dòng)外，還涉及 原子核的運(yùn)動(dòng).在質(zhì)心系中，分子中的各原子核在其平衡位置鄰近作小振動(dòng)，各原子核的平衡位置在空間 的構(gòu)形（

40、即分子的構(gòu)形）還可以在空間轉(zhuǎn)動(dòng)，即分子的轉(zhuǎn)動(dòng).這樣，分子的哈密頓算符為H = T + T + V + V + Ve N ee eN NNTTVV式中e是所有電子的動(dòng)能算符，N是所有原子核的動(dòng)能，-是電子之間的庫(kù)侖排斥能，eN是電子與 核之間的庫(kù)侖能，Vnn是原子核之間的能量.由于電子的質(zhì)量m 原子核的質(zhì)量M ；M - 10 一4）分子中的電子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于原子核的速度，所以在研究分子中電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可忽略原子核的動(dòng)能，即 暫時(shí)把原子核看成不動(dòng)，原子核間的相對(duì)距離視為參數(shù)而非動(dòng)力學(xué)變量.此即玻恩一奧本海默（Born一 Oppenheimer）近似.與此相應(yīng)，當(dāng)研究分子的振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則可以把電子

41、的組態(tài)近似地視為不變，并 相應(yīng)地提供原子核之間的一種有效勢(shì).這種有效相互作用依賴于電子的組態(tài)和原子核之間的距離（即分子 的空間構(gòu)形）.以下先粗略地估計(jì)一下分子中電子激發(fā)能、振動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)能的相對(duì)大小.設(shè)分子的大小約為a （一般為幾個(gè)A,生物大分子則更大些）.一部分電子可以在整個(gè)分子中運(yùn)動(dòng)，電Ax ap 方 aE p 2 2m 力 2 . 2ma 2子運(yùn)動(dòng)的特征長(zhǎng)度* a，所以電子的特征動(dòng)量e，特征能量e L.E 1 Mrn 28 2設(shè)分子振動(dòng)圓頻率為，分子振動(dòng)能V 2，8為原子核偏離平衡位置的距離.顯然，當(dāng)8 a ,，一,a時(shí)，大幅度的振蕩足以使電子激發(fā)，即2ma 2:m 方 .即 VM ma2

42、，因而振動(dòng)能與電子激發(fā)能之比為E 方 mV E E M分子的轉(zhuǎn)動(dòng)能為式中1 Ma 2為分子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.因此,電子動(dòng)能、分子振動(dòng)能和分子轉(zhuǎn)動(dòng)能之比為加 :m和 加 m m qEe -Ev -Er 奇.：Mma2: M2*M.M 1.1 .1-即轉(zhuǎn)動(dòng)激發(fā)能 振動(dòng)激發(fā)能 電子激發(fā)能由此，與三種激發(fā)形式相應(yīng)的三種運(yùn)動(dòng)自由度可以近似地分開(kāi)來(lái)處理.講一下8.6節(jié)布置的思考題思考題1：講時(shí)注意對(duì)兩個(gè)粒子組成體系的對(duì)稱波函數(shù)的個(gè)數(shù)（兩粒子處于同一態(tài)的組合的數(shù)目加 上兩粒子不處于同一態(tài)的組合的數(shù)目）和反對(duì)稱波函數(shù)的個(gè)數(shù)（注：不存在兩粒子處于同一態(tài)的情況）要 明確。8.9雙原子分子的振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)本節(jié)要求：利用上節(jié)的

43、波恩一奧本海默近似，對(duì)雙原子分子的振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)做具體處理重點(diǎn)難點(diǎn)：了解多粒子體系中雙原子分子求解思路本節(jié)內(nèi)容:V（R ）對(duì)雙原子分子，在玻恩一奧本海默近似下，兩原子核滿足的薛定諤方程為- 2mL1V 21-2m v 2 “（R）2w = Ev式中山）為兩個(gè)原子核之間的有效勢(shì)，R=R1-R2為兩個(gè)原子核的相對(duì)距離.如圖8.9.1所示是的大致形狀，其細(xì)節(jié)依賴于兩原子中的電子組態(tài)及激發(fā)狀態(tài).引進(jìn)相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark591 o Current Document X.R = R - R一 12 _M R + M R=1_122-c M +

44、 M（）令v = f R ER）c則方程(1)化為-導(dǎo) V U R）=E f R）式中（加V7V 22|!R+ V（R ）|E偵）M = M + M , p = M1 吃,E = E + E12Et是總能量，Ec為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量，E是兩原子核的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)不會(huì)導(dǎo)致分子內(nèi)部狀態(tài)的改 變，在研究分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)不予考慮.（二）一（L2, L z ）對(duì)兩個(gè)原子核的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相動(dòng)運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量L為守恒量，波函數(shù)中可以選為的共同本征態(tài).在球坐標(biāo)系中，可表示為中R ）=西 Y （0，平）R LM *L = 0,1,2,，M = L, L -1,一L（7）代入式（5），得約化徑向方程-竺 土 + L（L

45、+ 偽2 + V（R ）必）=E必） 2p dR22pR2L邊界條件為X（0）= 0,x（8）= 0令2p R 2U（R ）= V（R ）+ & + 仆2(10)R0(平衡點(diǎn)),則式(8)相當(dāng)于等效勢(shì)場(chǎng)為UO的一維薛定諤方程.在L不太大時(shí),等效勢(shì)場(chǎng)仍有極小點(diǎn) 其平衡點(diǎn)位置由下式確定dU(R )在*R0鄰域展開(kāi)u )得則式(8)和(9)化為dRRo(11)L(L +12 =0R R 30(12)U(R )= U(R0)+ 2 U (R0)R R0 )2 +=V(R0)+ 此：2 + 2 U 偵凡R0 )2 +(13)U(R )=R2, g= R R00(14)力2 d2x1 匕 廠,京石+ 2呻

46、齒2訃以(15)足=R )=0, X()= 00E = E - V(R )血 + &20(17)-R R 8方程(15)是一諧振子方程，滿足邊界條件(16),且在 0中的解為述)e-a2g2/2H(a&), a = .呻.方V(18)Hv為厄米特函數(shù)&)_ 1 尹(tt/kV一2(-v)k! k )k=0(19)V由邊條件確定Hv(-a R0 )= 0(20)一般而言,V不為正整數(shù)，但如L不太大，0很小，V仍然接近于正整數(shù).方程(15)的本征值為E =Vk(21)代入式(17),可得出雙原子分子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)能為E 三 E = V(R )+VL0L(L + 窿+ 3 方 +2pR2上式右邊第一項(xiàng)為

47、常數(shù)，與能譜無(wú)關(guān)，第二項(xiàng)為振動(dòng)能，第三項(xiàng)為轉(zhuǎn)動(dòng)能.通常加.21 =加.2昨;”，能譜將出現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)帶結(jié)構(gòu)，即給定的振動(dòng)態(tài)(由v刻畫)，不同的L的諸能級(jí) 構(gòu)成一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)帶.如果雙原子分子是由相同的原子構(gòu)成，如H2，N2,O2等，則波函數(shù)要求具有一定的交換對(duì)稱性.這類分子的轉(zhuǎn)動(dòng)譜線的強(qiáng)度將呈現(xiàn)強(qiáng)弱交替的現(xiàn)象.例如H2分子的兩個(gè)原子核是質(zhì)子，自旋為2 .當(dāng)R RTR*兩個(gè)質(zhì)子的空間坐標(biāo)交換時(shí)，12，它們的質(zhì)心坐標(biāo)c不變，而相對(duì)坐標(biāo)R R，即R - R, 0 - 兀一0, Q - K + (23)所以當(dāng)兩個(gè)質(zhì)子空間坐標(biāo)變換時(shí)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)波函數(shù)不改變，但轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù)改變?nèi)缦拢?TOC o 1-5 h z H

48、YPERLINK l bookmark582 o Current Document Y0,甲)r Y(71 -0,兀+)=(1)LY(0,甲)LMLMLM(24)考慮到費(fèi)米子體系波函數(shù)的交換反對(duì)稱性，H2分子的原子核部分的波函數(shù)有兩種形式 HYPERLINK l bookmark585 o Current Document T R (R Y (0,甲 B, s )L -偶數(shù)，VLM001z 2z(25)r _ R (R Y(0, )Xs , s )L _ 奇數(shù)，vLM1ms 1z 2z(26)RV。)是振動(dòng)波函數(shù)，Z 00和Z姬分別是兩個(gè)質(zhì)子的自旋單態(tài)(s=0)和三重態(tài)(s=1)波函數(shù).H2分

49、.子中兩個(gè)原子核之間的作用力通常認(rèn)為與核自旋無(wú)關(guān)，所以兩個(gè)原子核自旋之和S 1S 2是守恒量，即是好量子數(shù).處于s=0態(tài)的稱為仲氫(parahydrogen)，處于s=1態(tài)的稱為正氫(orthohydrogen).在光 躍遷的短暫過(guò)程中，兩者不會(huì)轉(zhuǎn)化.在自然界中，正氫與仲氫分子數(shù)之比為3:1，因此正氫發(fā)出的光譜線 強(qiáng)度較強(qiáng).如圖8.9.2所示，給出了正氫和仲氫在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)帶的相鄰能級(jí)之間的電四極躍遷.例如，從能 級(jí)LrL 2發(fā)射出的轉(zhuǎn)動(dòng)譜線的頻率為墻匝+ 1)-(L - 2位頊=京一常數(shù)(27)仲氫(S=0)正氫(S=1)圖8.9.2正氫和仲氫在一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)帶的相鄰能級(jí)之間的電四極躍遷Av =力AL

50、.冗I = 2力冗I因此轉(zhuǎn)動(dòng)譜線隨頻率作均勻分布.相鄰的兩條亮線(或暗線)之間的頻率相差 思考題設(shè)兩個(gè)全同原子核的自旋為S,則轉(zhuǎn)動(dòng)譜的亮線與暗線的強(qiáng)度之比為.比較H2 , D2 (氘分子)，02及HD分子的轉(zhuǎn)動(dòng)光譜線強(qiáng)度的變化規(guī)律核自旋為1,0核自旋為 0).設(shè)原子核4Be可以看成兩個(gè)a粒子組成，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量量子數(shù)用L表示.證明L必為 偶素(a粒子自旋為0).8.10氫分子本節(jié)要求：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握處理中性分子的方法知識(shí)要點(diǎn)：通過(guò)對(duì)氫分子的討論，知道海特勒一倫敦近似的關(guān)鍵本節(jié)內(nèi)容:氫分子H2是最簡(jiǎn)單的中性分子，按照玻恩一奧本海默近似，在討論電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以忽略原子核 的動(dòng)能，并把

51、H2分子中兩個(gè)原子核之間的距離R視為參數(shù)，如圖8.10.1所示，此時(shí)H2分子的哈密頓 算符可以表示成圖8.10.1氫分子結(jié)構(gòu)2 (L_ ) e2H =-帽 2 + v 2 4 f12s-ra2e2sRH2的基態(tài)波函數(shù)可以近似地表示為兩下面用變分法來(lái)求H2的基態(tài)能量和波函數(shù).考慮到rab很大時(shí), 個(gè)氫原子（原子核a與電子1及原子核b與電子2所組成的原子）的波函數(shù)的乘積，兩個(gè)電子都處于基態(tài) （1s態(tài)）.計(jì)及另一個(gè)原子核和電子的影響，單電子波函數(shù)不妨取為W（r ）=e-舄 a(2)、兀 a 3此時(shí)入作為變分參數(shù)，相當(dāng)于電子受到的有效電荷.對(duì)氫原子=1,對(duì)于氫分子，1 時(shí),任何研 ）值都是方程的本征值

52、.本章自測(cè)-、單項(xiàng)選擇題（每題4分共28分）1、 下列有關(guān)全同粒子體系論述正確的是（A）氫原子中的電子與金屬中的電子組成的體系是全同粒子體系.氫原子中的電子、質(zhì)子、中子組成的體系是全同粒子體系.光子和電子組成的體系是全同粒子體系.粒子和電子組成的體系是全同粒子體系.2、 全同粒子體系中，其哈密頓具有交換對(duì)稱性，其體系的波函數(shù)（C）是對(duì)稱的.B.是反對(duì)稱的.C.具有確定的對(duì)稱性.D.不具有對(duì)稱性,人 人SS ,S 3、 S為自旋角動(dòng)量算符，則y *等于（D）A2,. b.說(shuō)W4、體系處于甲=c Y + c Y,w1 112 10態(tài)中，則(A )A.是體系角動(dòng)量平方算符、角動(dòng)量Z分量算符的共同本征

53、函數(shù).是體系角動(dòng)量平方算符的本征函數(shù)，不是角動(dòng)量Z分量算符的本征函數(shù).不是體系角動(dòng)量平方算符的本征函數(shù)，是角動(dòng)量Z分量算符的本征函數(shù).即不是體系角動(dòng)量平方算符的本征函數(shù),也不是角動(dòng)量Z分量算符的本征函數(shù).13W = R Y - R Y5、設(shè)體系處于 2 31 10221質(zhì)狀態(tài)，則該體系的能量取值及取值幾率分別(A)口口 1 31-v3E ,E，;， E ,E u，-A. 32 4 4 . B. 32 22. C.日日1招3 1E ,EE ,E，;，;3 2 2 23 2 4 4. D.6、接5題,該體系的角動(dòng)量的取值及相應(yīng)幾率分別為（C）A.E B.力C.2力 2Q 2,1.（D）7、全同粒子

54、是A：所有性質(zhì)均相同的粒子B：質(zhì)量、速度、動(dòng)量、能量、角動(dòng)量均相同的粒子口自旋相同的粒子D：所有固有物理性質(zhì)如靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩均相同的粒子 二、判斷題（前四個(gè)題每題3分，其余每題2分，共22分）1、兩個(gè)全同玻色子組成的體系，其自旋波函數(shù)必須是交換對(duì)稱的（錯(cuò)）2、兩個(gè)全同費(fèi)米子組成的多體系，這個(gè)體系的空間運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)可以是交換對(duì)稱 TOC o 1-5 h z 的（對(duì)）3、 全同性原理和泡利不相容原理是等同的（錯(cuò)）4、 泡利不相容原理僅適用于玻色子系統(tǒng)（錯(cuò)）5、 電子是費(fèi)米子，光子是玻色子。（對(duì)）6、 泡利首次提出電子具有自旋的假設(shè)（錯(cuò)）7、 全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱性將隨時(shí)間發(fā)生改變（錯(cuò)

55、）8、 經(jīng)典的全同粒子不存在全同性原理（對(duì)）9、 自旋可以在坐標(biāo)表象中表示（錯(cuò)）三、計(jì)算題（第2題20分，其余三個(gè)題每題10分，共50分）13S = , S =1、自旋為s的兩個(gè)粒子所具有的，對(duì)稱和反對(duì)稱的自旋波函數(shù)各有幾個(gè)？22情況下，對(duì)稱和反對(duì)稱自旋態(tài)各有幾個(gè)？解：自旋為s指的是自旋角量子數(shù)是s （它和軌道運(yùn)動(dòng)中的/相當(dāng)），在軌道運(yùn)動(dòng)中，角量子數(shù)給定后（/）, 角動(dòng)量z分量的本征值m力有21+1種不同值：（1分）mh = -lh,-(l -1)力,-力,0,力(l -1)力,1 力推廣到自旋的情形若自旋自旋角量子數(shù)（不一定是1/2,例如原子核的自旋）則自旋磁量子數(shù)有2s+1種值m = 一

56、s方,shs但s可以是整數(shù)，也可以是半整數(shù)。mx (s ) x (1)自旋的不同態(tài)用s來(lái)區(qū)別，第一電子的自旋波記作m/ Z1,或m/ ，第二電子的自旋波函數(shù)記作* m，s ( 2)或 * m，s m , m是；(s,s +1,s 1, s)中任意兩個(gè)。*描寫兩電子體系的波函數(shù)是個(gè)別電子波函數(shù)的相乘積或其線性式，要使體系的波函數(shù)人成為總自旋 TOC o 1-5 h z Sc S.，Z的本征態(tài)，*只有三種形式的歸一化波函數(shù)：* = *ms 、(2)計(jì)算 2s+1 種(2 分)* =二以皿*協(xié)+ *皿(2) *協(xié)、公 (2 分)(2s+1)2s HYPERLINK l bookmark773 o Current Document 2.這種波函數(shù)種數(shù)等于2s+1文字中選擇不同文字的種數(shù)計(jì)有2種。以上二類對(duì)稱自旋波函數(shù)的總數(shù)目n=( 1 分)*=勻 * ms * ms (2) +* ms * ms (3)(2 分)(2s+1)2s2這種波函數(shù)還是反對(duì)稱的，波函數(shù)總數(shù)目和(2)相同，計(jì)有2 種。自旋角量子數(shù)s指定時(shí)，可 能的合成