廣東省高中數(shù)學必修二教案：直線、平面垂直的性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)廣東省高中數(shù)學必修二教案：直線、平面垂直的性質(zhì)【學習目標】1掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能解決有關問題；2掌握兩個平面垂直的性質(zhì)定理，并能解決有關問題；3能綜合運用直線與平面、平面與平面的垂直、平行的判定和性質(zhì)定理解決有關問題【要點梳理】要點一、直線與平面垂直的性質(zhì)1.基本性質(zhì)文字語言：一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.符號語言：圖形語言：2.性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：圖形語言：3直線與平面垂直的其他性

2、質(zhì)（1）若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面（2）若于，則（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行（4）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面要點詮釋：線面垂直關系是線線垂直、面面垂直關系的樞紐，通過線面垂直可以實現(xiàn)線線垂直和面面垂直關系的相互轉(zhuǎn)化要點二、平面與平面垂直的性質(zhì)1性質(zhì)定理文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言：圖形語言：要點詮釋：面面垂直的性質(zhì)定理是作線面垂直的依據(jù)和方法，在解決二面角問題中作二面角的平面角經(jīng)常用到這種線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，是我們立體幾何中求解（證）問題的重要思想方法2平

3、面與平面垂直性質(zhì)定理的推論如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)要點三、垂直關系的綜合轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直、面面垂直是相互聯(lián)系的，能夠相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的紐帶是對應的定義、判定定理和性質(zhì)定理，具體的轉(zhuǎn)化關系如下圖所示： 在解決問題時，可以從條件入手，分析已有的垂直關系，早從結(jié)論探求所需的關系，從而架起條件與結(jié)論的橋梁 垂直間的關系可按下面的口訣記憶： 線面垂直的關鍵，定義來證最常見， 判定定理也常用，它的意義要記清 平面之內(nèi)兩直線，兩線交于一個點， 面外還有一條線，垂直兩線是條件 面面垂直要證好，原有圖中去尋找， 若是這樣還不好，輔助線面是個寶 先

4、作交線的垂線，面面轉(zhuǎn)為線和面， 再證一步線和線，面面垂直即可見 借助輔助線和面，加的時候不能亂， 以某性質(zhì)為基礎，不能主觀憑臆斷， 判斷線和面垂直，線垂面中兩交線 兩線垂直同一面，相互平行共伸展， 兩面垂直同一線，一面平行另一面 要讓面和面垂直，面過另面一垂線， 面面垂直成直角，線面垂直記心間【典型例題】類型一：直線與平面垂直的性質(zhì)例1設a，b為異面直線，AB是它們的公垂線（與兩異面直線都垂直且相交的直線）（1）若a，b都平行于平面，求證：AB；（2）若a，b分別垂直于平面，且，求證：ABc【思路點撥】（1）依據(jù)直線和平面垂直的判定定理證明AB，可先證明線與線的平行（2）由于此時垂直的關系較多

5、，因此可以考慮利用線面垂直的性質(zhì)證明ABc證明：（1）如圖（1），在內(nèi)任取一點P，設直線a與點P確定的平面與平面的交線為a，設直線b與點P確定的平面與平面的交線為ba，b，aa，bb又AB，ABb，ABa，ABb，AB（2）如圖，過B作BB，則ABBB又ABb，AB垂直于由b和BB確定的平面b，bc，BB，BBcc也垂直于由BB和b確定的平面故cAB【總結(jié)升華】由第（2）問的證明可以看出，利用線面垂直的性質(zhì)證明線與線的平行，其關鍵是構(gòu)造平面，使所證線皆與該平面垂直如題中，通過作出輔助線BB，構(gòu)造出平面，即由相交直線b與BB確定的平面，然后借助于題目中的其他垂直關系證明舉一反三：【變式1】 設，

6、m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（ ）A若m，m，則 B若，m，則mC若，m，則m D若，m，則m【答案】 B【解析】兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中點（1）證明：AECD；（2）證明：PD平面ABE 【思路點撥】（1）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，從而證得CDAE；（2）由等腰三角形的底邊中線的性質(zhì)可得AEPC，由（）知CDAE，從而AE面PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE?！窘馕觥?/p>

7、（1）證明：在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又CDAC，PAAC=A，CD面PAC，AE面PAC，故CDAE（2）證明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得PA=AC，E是PC的中點，AEPC，由（1）知CDAE，從而AE面PCD，故AEPD由（1）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，PD面ABE【總結(jié)升華】直線與平面垂直的性質(zhì)定理（以及補充性質(zhì)）是線線、線面垂直以及線面、面面平行相互轉(zhuǎn)化的橋梁，因此必須熟練掌握這些定理，并能靈活地運

8、用它們舉一反三：【變式1】如圖，已知矩形ABCD，過A作SA平面AC，再過A作AESB交SB于E，過E作EFSC交SC于F（1）求證：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求證：AGSD【解析】證明：（1）SA平面AC，BC平面AC，SABC四邊形ABCD為矩形，ABBC，BC平面SAB，BCAE又AESB，AE平面SBC，AESC又EFSC，SC平面AEF，AFSC（2）SA平面AC，SADC，又ADDC，DC平面SAD，DCAG又由（1）有SC平面AEF，AG平面AEF，SCAG，AG平面SDC，AGSD【變式2】如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(1)

9、求證：MN平面PAD；(2)求證：MNCD；(3)若PDA=45，求證：MN平面PCD【解析】要證明MN平面PAD，須證MN平行于平面PAD內(nèi)某一條直線注意到M、N分別為AB，PC的中點，可取PD的中點E，從而只須證明MNAE即可證明如下證明：(1)取PD的中點E，連接AE、EN，則，故AMNE為平行四邊形， MNAE AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD(2)要證MNCD，可證MNAB由(1)知，需證AEAB PA平面ABCD， PAAB又ADAB， AB平面PAD ABAE即ABMN又CDAB， MNCD(3)由(2)知，MNCD，即AECD，再證AEPD即可 PA平面ABCD

10、， PAAD又PDA=45，E為PD的中點 AEPD，即MNPD又MNCD， MN平面PCD【總結(jié)升華】本題是涉及線面垂直、線面平行、線線垂直諸多知識點的一道綜合題(1)的關鍵是選取PD的中點E，所作的輔助線使問題處理的方向明朗化線線垂直線面垂直線線垂直類型二：平面與平面垂直的性質(zhì)例3如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面【解析】已知：，求證：證法1：如圖（左），在內(nèi)取一點P，作PA垂直于與的交線于A，PB垂直于與的交線于B，則PA，PB，PA，PBPA，PB，PAPB=P， 證法2：如圖（右），在內(nèi)作直線m垂直于與的交線，在內(nèi)作直線n垂直于與的交線，mn又，m，m

11、，證法3：如圖，在上取一點A，過A作直線m，使，且，同理，即與m重合【總結(jié)升華】證法1、證法2都是利用“兩平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質(zhì)，添加了在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線，這是證法1、證法2的關鍵證法3利用兩個平面垂直的推論，則較為簡捷由此可見，我們必須熟練掌握這一推論舉一反三：【變式1】如下圖，已知PA平面ABC，二面角APBC是直二面角求證：ABBC 證明：二面角APBC為直二面角，即平面PAB平面CPB，且PB為交線在平面PAB內(nèi)，過A作ADPB，D為垂足（如圖），則AD平面CPB，又BC平面CPB，所以ADBC因為PA平面ABC

12、，BC平面ABC，所以PABC，又PAAD=A，因此，BC平面PAB，又AB平面PAB，所以ABBC【總結(jié)升華】面面垂直的性質(zhì)定理是作線面垂直的依據(jù)和方法（即若有兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)作垂直于交線的直線，則該直線必垂直于另一個平面），利用它可以作出二面角的平面角、直線與平面所成的角、平面的垂線等類型三：綜合應用例4如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C底面ABC（1）若D是BC的中點，求證：ADCC1；（2）過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1側(cè)面BB1C1C；（3）若截面MBC1平面BB1

13、C1C，則AM=MA1嗎？請敘述你的判斷理由【解析】 （1）AB=AC，D是BC的中點，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD平面BB1C1CADCC1（2）延長B1A1與BM的延長線交于N，連接C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1C1=A1N=A1B1，C1NB1C1，C1N側(cè)面BB1C1C，截面MBC1側(cè)面BB1C1C（3）AM=MA1，證明如下：過M作MEBC1于E，截面MBC1側(cè)面BB1C1C，ME側(cè)面BB1C1C又AD側(cè)面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A共面AM側(cè)面BB1C1C，AMDE四邊形ADEM為平行四邊形CC1AM，DECC1D是BC的中點，E是BC1的中點，AM

14、=MA1【總結(jié)升華】垂直關系在立體幾何中無處不在，是重中之重，我們必須做好它們之間的相互轉(zhuǎn)化工作，即直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直舉一反三：【變式1】 如下圖，已知三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E為垂足 （1）求證：PA平面ABC；（2）當E為PBC的垂心時，求證：ABC是直角三角形證明：（1）如下圖（左），在平面ABC內(nèi)取一點D，作DFAC于F因為平面PAC平面ABC，且交線為AC，所以DF平面PAC又PA平面PAC，所以DFPA作DGAB于G，同理可證DGPA又因為DG、DF都在平面ABC內(nèi)，且DGDF=D，所以PA平面ABC （2）連接BE并延長交PC于H，如上圖（右）因為E是PBC的垂心，所以PCBE又已知AE是平面PBC的垂線，所以PCAE所以PC平面ABE，所以PCAB又因為PA平面ABC，所以PAAB，所以AB平面PAC，所以ABAC，即ABC是直角三角形【總結(jié)升華】證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直線面垂直面面垂直來實現(xiàn)的因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，每一垂直的判定