高中文科數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、1立體幾何知識(shí)點(diǎn)整理（文科）l m1 /mm直線和平面的三種位置關(guān)系：一.al.線面平行方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。1 1 al符號(hào)表示：.線面相交3 i la A 方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)符號(hào)表示：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。1/11n 為 平若 面線在面內(nèi)3. 的一個(gè)法向量，lnn l ll /且。 ,則 l a a 符號(hào)表7K:二 平行關(guān)系：線線平行：1. 方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。3.面面平行：l m Bl /l方法一：用線線平行 實(shí)現(xiàn)。il / ml m% l / l m m / mm / 且相 交l , m 且相交l , m方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。 小 B l ml

2、丫 mm a方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。l /l, m l / m m 若。，則 i l , m且相交m B方法四：用向量方法：m l l / m 。若向量和向量共線且l、m不重合，則a2. 線面平行：lCA方法三：用向量方法:l mIm ,則的數(shù)量積為和向量若向量0夾角問(wèn)題。三 線面垂直：1.異面直線所成的角：一 ）（ 方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。（0 ,90 范圍： （1）ACl ABl 求法： （2）P nlABAC A方法一：定義法。A e OAC, AB a ：平移, TOC o 1-5 h z 使它們相交，找到夾角。步驟1方法二： 用面面垂直實(shí)現(xiàn)。）常用到余弦定理步

3、驟2： 解三角形求出角。（余弦定理： Bl lma c 222cab l m, lmcos e 2abb a）計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角（面面垂直：2. 方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。C 的夾角B l i e l：）（計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角BA AB AC a cos ABAC 方法二：計(jì)算所成二面角為直角。線面角）（二線線垂直：3.上任取一點(diǎn)（1） 定義：直線l ，作（交點(diǎn)除外）P 方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。內(nèi)，則連結(jié)AO AO 為斜線PA 在面 于 O,PO llm PAO 圖中（與面）為直線l l 所成的角。的射影，mmaP方法二：三垂線定理及其逆定理。A民OPPOPAl OA

4、l0 ,90 (2)范圍： l OAn1l l /0 或時(shí)，當(dāng)n1n l90 時(shí)，當(dāng) 2e 求法：方法一：定義法。nn：作出線面角，并證明。步驟 1 21cos nn步驟一：計(jì)算 2inn：解三角形，求出線面角。步驟 2 21n n 二面角及其平面角三）（的關(guān)系，可能相等或步驟二：判斷與 21（1） 定義： 在棱 l 上取一點(diǎn)P， 兩個(gè)半平面內(nèi)分別作者互補(bǔ)。l 的垂線（射線）m 、 n ，則射線m 和 n 的夾角為四距離問(wèn)題。 l 的平面角。二面角點(diǎn)面距。1方法一：幾何法。mlPPn OA0 ,180 范圍：（2）步驟1:過(guò)點(diǎn)P作PO于O,線段PO 即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO 的長(zhǎng)度。（直

5、接解三角形；等（3） 求法：體積法和等面積法；換點(diǎn)法） 2線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。方法一：定義法。步驟1 ： 作出二面角的平面角（三垂線定理）， 并證明。 3 異面直線之間的距離：解三角形，求出二面角的平面角。步驟2 方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。方法二： 截面法。m 和 同時(shí)垂直于平面POA 步驟 1 ： 如圖，若平面，n則交線（射線）AP 和 AO 的夾角就是二面角。n 為兩條異面直線，n 和如圖，m 且 步驟2：解三角形，求出二面角。m / ，則異面直線m 和 n 之間的距離可轉(zhuǎn)化為直BP線 m 與平面之間的距離。 9 A方法二：直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。O方法三：公式法。）。方法三：坐

6、標(biāo)法（計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ)3/11F)f . Fi 等. 小 #= * =i iMsC! _.u + * * . * .J,口 ；jM干 一 “如圖，AD 是異面直線mnd m / m,則異面直線m彳mD.一1金3國(guó)和n的公垂線段，mB aA和n之間的距離為：cb 222 2ab cosadcb c空間向量五Aa 1 TOC o 1-5 h z 空間向量基本定理一）（Cc 1 dp a, b, c ，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)為空間中不共面的三個(gè)向量，則對(duì)空間中任意一個(gè)向量若向量BB 1zc p xayb 、 z y、 x。 ，使得三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面問(wèn)題） （二三點(diǎn)共線C 1. A， B，且

7、OA xOB yOCx1y 1 y x當(dāng)?shù)?A 時(shí)，是線段BC 2ABAC 三點(diǎn)共線A， C ， BCBA ， ， ， D 四點(diǎn)共面2.yOC zOD xOBOA xz 1y,且1 xy z當(dāng)?shù)腂CD時(shí)，A是4 TOC o 1-5 h z ABy ADx AC 四點(diǎn)共面，D CA，B，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算)(三A 1. 已知空間中、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：B) B( x ), z, yA( x , y , z 則： ， 211122d ABAB ; A ,B，) , y( x , y , z b (x ) , za 若空間中的向量 2. 111222aa bb 則114/a bcos a b六.常見(jiàn)幾

8、何體的特征及運(yùn)算（一）長(zhǎng)方體1. 長(zhǎng)方體的對(duì)角線相等且互相平分。222+coscos +cos、 、2. 若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與相鄰的三條棱所成的角分別為，則a B Y B a 丫222 cos +cos+ cos 、 、 ， 則若長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與相鄰的三個(gè)面所成的角分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、 b、 c3. ，體積為，表面積為。（二）正棱錐：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影在底面中心。（三）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。（四）正多面體：每個(gè)面有相同邊數(shù)的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)有相同棱數(shù)的凸多面體。（只有五種正多面體）（五）棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相似

9、，且面積比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐的高的平方比。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。VV ）體積： （六棱錐棱柱球 （七）定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫球面。設(shè)球半徑為R， 小圓的半徑為r， 小圓圓心為O， 球心 O 到小圓的距離為d,則它們?nèi)咧g的數(shù)量關(guān)i。系是球面距離：經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的 長(zhǎng)度。球的表面積公式：體積公式：高考題典例考點(diǎn) 1 點(diǎn)到平面的距離5/11，為中點(diǎn).2 D CC如圖，正三棱柱例1的所有棱長(zhǎng)都為CABCABi iii平面；(II)求二面角 的大?。? AB BDA(I )求證：DAA B ii(I )求證：DAA B

10、 iii (m)求點(diǎn)到平面的距離.BDAC 1解答過(guò)程 （I）取中點(diǎn)，連結(jié).AO O BC為正三角形，.BC AOA ABC平面，中，平面正三棱柱 ABC ABC11BCCB BCA111111AA1別為連結(jié)BO BC， CC 分，在正方形平面中， D BCCB, O BBCC AO 正方形平面中， D BCCB, O BBCC AO 1 11111FCBD, ABBO BD C 的中點(diǎn)，Di11 OB 中，平面在正方形，AB AB AB ABB ABBDA1111111 于交于點(diǎn)，在平面連中，作，結(jié)，（II）設(shè)與 F G BD, ABBO BD C 的中點(diǎn)，Di11 OB 中，平面在正方形，

11、AB AB AB ABB ABBDA1111111 于交于點(diǎn)，在平面連中，作，結(jié)，（II）設(shè)與 F G GF111ABABD1，平面的平面角.bdaB 為二面角 DA Ada AF XAB /(I)得AF 1111由等面積法可求得在 DAA4 5 ， AF1 ，又 AB2AG 10 2AGi AFG / sin2 4AF4所以二面角A10 arcsin DA14中，（田）ABDa 12S6S BDAD5A B2BCD BDA 1111的距離為在正三棱柱中，到平面BCCBA 311d.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為 C A BD111 ， ，得由 2 d SSV33SVdA A BCD A BD BCDAA

12、 A BDBCD11CdA A BCD A BD BCDAA A BDBCD11C12 33SBDAA12 的距離為12 的距離為ABD 點(diǎn)到平面122 考點(diǎn)異面直線的距離24ABC S， 底面是邊長(zhǎng)為224ABC S， 底面是邊長(zhǎng)為2例已知三棱錐AB 、 D BC、 ESC 的中點(diǎn)，求.分別為，且垂直于底面的長(zhǎng)為2116/=CD與SE間的距離.解答過(guò)程：如圖所示，取 BD的中點(diǎn) F,連結(jié) EF , SF ,CF ,BCD CD, CDSEFCD SEF EF EF 的距離即為 兩異面直線間的/面的中位線，,/到平面為CD SEF到平面C上一點(diǎn)又.距離線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線2 BC4、 的中

13、點(diǎn)， h ， 由題意知，AB,D 、 、 E、 FBC分別是 BD 的距離，設(shè)其為1 cd6, df2, sc22 6,efcd2V11efdf sc1162223S CEF3332222CESCSE2 3 SCE 中，Rt 在22CFSCSF424230 SCF 中， Rt 在S1 3 hh 1 S,即 6,3EF VV h2 332 由于，解 得 又 SEF CSSEF SEF CEF 33333 間的距離為CD 與 SE 故 .考點(diǎn) 3 直線到平面的距離AC AA GBD 的距離的正方體. 的中點(diǎn)， 求中， BD G TOC o 1-5 h z 到平面是2例 3 如圖，在棱長(zhǎng)為1111：

14、 把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解思路啟迪.Di Ci Oi DGB BD ，平面：解析一解答過(guò)程11 A1B 1GBDBD 的距離皆為所求，以下求上任意一點(diǎn)到平面11GGBD 的距離GBDBD 的距離皆為所求，以下求上任意一點(diǎn)到平面11GGBD 的距離,點(diǎn)O 平面 DOAC BDA ABD A ACC11CDB ,，平面，AB11111111111GB D A ACCGBDBDOG ，兩個(gè)平面的交線是平面又平面 ,111111111OGGBD OHGBD OH 平面 H 于，則有作點(diǎn)到平面，即OH 是 O . 的距離11111 11222O AO O. OG O S 中，

15、 在 1 OG1O1227/11一*u*一了 一 T X X1-Z-工JL*r 作 、 jicA1X JM41126 S 又 3OH2, OHGOH 62 DGB的距離等于即BD3GBD BD ，平面解析二 * * K =l卜A _hO. 1OG O1322到平面.1111GB D GBD的距離平面.的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B BD上任意一點(diǎn)到平面1111GB DB GB D 的距離為h 的高，則，將它視為三棱錐設(shè)點(diǎn) B 到平面1111 由于 1114, V V， 6VS 222223 DDGBBB GB, 1111 D GBDGBB 111132322 6 h,3626DGB .的距離等于到

16、平面即 BD 113都是線面距離. 所以求線面距離關(guān)鍵是直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，小結(jié)選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離. 本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離 .考點(diǎn) 4 異面直線所成的角兀 AOAB4 為軸旋轉(zhuǎn)以直線，斜邊. 例 4如圖，在中，可以通過(guò) AOB A RtAOC A RtRt AAOB OAB6 AC AO B AB D 的中點(diǎn)是的直二面角得到，且二面角CODAOB ； 平面 ) 求證：平面I(D AO CD ) 求異面直線II( 所成角的大小與z AO BOCOAO , I）由題意，解答過(guò)程：（AE B O B AO C

17、 BOC 是直二面角，是二面角CBO O AOB COAOBOCO ， ， ，又平面DCO COD COD AOB 平面平面又平面E CE DE II AO OB DE ,（如圖），則，連結(jié)，垂足為（II）作yCDAO 所成的角與是異面直線CDE BO 12XC BO2.中，在 5 OERt CO A COE BO , 2 CE COOE128/112 s2 sRtCDE 中，.在又tanCDE15 3 DE AO. 5CE33DE2AO CD 15 .所成角的大小為異面直線與 arctan3小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作 法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特

18、殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補(bǔ)形法：把空間如解析三. 一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，.0,. 同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法2考點(diǎn) 5 直線和平面所成的角AB2 ,/ABC45為平行四邊形，側(cè)面 例5.四棱錐S底面.已知 ABCD 中，底面ABCD SBCABCD SB3BC 2 2， SA S（I ）證明；（II）求直線與平面所成角的大小.SAB SABCSDcb解答過(guò)程：（I）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面 BC AOSBC SOODA ,得底面.A B

19、SOXABCD SBO AOSA SB,因?yàn)?，所?AOB /ABC 45 為等腰直角三角形，故又O BC SA AO，BO由三垂線定理，得CSA BC AD II BC ,依題設(shè)（n）由（i）知 DA AD SAX,由故一ADBC22SA 3AO2121 SABSD112的面積SO 1ABS ，得 AB 2SA 122AB AD sin135S DAB2 DB 的面積連結(jié)，得 211V VhSAB D ， 解得 h2 ， 由于的距離為到平面設(shè)h S,得SO S D SABS ABD 21 33SAB SD 所成角為設(shè)與平面，則2h sin11SD11SD SBC 22 所成的我為所以，直線與

20、平面arcsin111 ）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（小結(jié)面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，9/11計(jì)算一一常用解三角形的方法求角，結(jié)論一一點(diǎn)明直線和平 面所成的角的值.6考點(diǎn)二面角APQ BC CACB PQ ,已知直二面角 例6 .如圖，CBCXPQ CA 45 30BAP. （ I）證明 和平面，直線所成的角為 A PQ P B AC的大小. II）求二面角（BCCO PQ O OB ,連結(jié)內(nèi)過(guò)點(diǎn)于點(diǎn)作）在平面過(guò)程指：（ ICPQ CO ，所以，因?yàn)镠A P Q OB CB OA CA

21、 又因?yàn)椋?所以 O B BAOABO 45 AOB9045 ，而， ，所以BO 1 PQCO PQ,從而，又OBC PQ BC BC PQ OBC .所以平面.因?yàn)槠矫妫蔖QXBOXPQ ,又）知， （II）由（I,BO O OH AC BH ACBOBHH.故, 所以，由三垂線定理知，于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)，連結(jié)作BHO BP AC 的平面角是二面角COCAO CA 30 CAO由（I）知，是和平面所成的角，則，所以3 3 AOOH ACAO sin 302 ，則，不妨設(shè)2BOA O 3 Rt BOH RtAOAB45ABOBAO，所以在 是 ， 在于中中，BP arctan 2 AC3BO 的大小為故二面角2t a n BHOOH32. 解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角. 無(wú)棱二面：本題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題小結(jié)角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.10 /117考點(diǎn)利用空間向量求空間距離和角7考點(diǎn)利用空間向量求空間距離和角D1 DABCABCD 3A是棱長(zhǎng)為 如圖，已知例7 .的正方體，iii