反證法的妙用

1、反證法的妙用房縣二中 何榮反證法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法，也是一種間接的證明方法。當(dāng)一些命題不易從正面直接證明時(shí)，反證法便成了我們常采用的方法。那么反證法適用于哪些范圍呢？下面我們不妨來(lái)探討探討。證明結(jié)論為否定形式的命題結(jié)論中以“不是”、“不存在”、“沒(méi)有”或“不能”等形式出現(xiàn)的命題，直接證明一般難以入手，而用反證法確能成功證明。例1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線(xiàn)，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)。求證：AC與平面SOB不垂直。 S C A O B【分析】結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯?wèn)題常用反證法。例如

2、證明異面直線(xiàn)，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。證明“至多”“至少”型命題適用于某些存在性命題和限定式命題的證明例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！痉治觥?三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒(méi)有實(shí)根。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案?！窘狻吭O(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有：即：所以當(dāng)a1或a時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問(wèn)題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡(jiǎn)單。本題還用到了“判別式法”、“補(bǔ)集法”（全集R），也可以從正面直接求解

3、，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)（0）a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來(lái)，即求集合的并集。兩種解法，要求對(duì)不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹。三,證明基本命題在部分起始學(xué)科中，如高中立體幾何、函數(shù)等，當(dāng)證明一些結(jié)論時(shí)，由于可用的公理、定理較少，直接證明十分困難。此時(shí)，我們?nèi)舨捎梅醋C法來(lái)證，就容易多了例3. 給定實(shí)數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y (其中xR且x)，證明：.經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線(xiàn)不平行于x軸； .這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)yx成軸對(duì)稱(chēng)圖像?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)。即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線(xiàn)

4、yx對(duì)稱(chēng)可以得到，函數(shù)y的圖像關(guān)于直線(xiàn)yx成軸對(duì)稱(chēng)圖像?！咀ⅰ繉?duì)于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理，導(dǎo)出與已知a1互相矛盾。第問(wèn)中，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題使用反函數(shù)對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。 【專(zhuān)題訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。A.至多一個(gè)實(shí)根 B.至少一個(gè)實(shí)根 C.一個(gè)實(shí)根 D.無(wú)實(shí)根已知l，a ，b ，若a、b為異面直線(xiàn)，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交3. 如圖，已知在正三角形ABC所在

5、平面外一點(diǎn)P，平面ABC，平面PBC，求證：點(diǎn)O不是PBC的垂心4把54位同學(xué)分成若干小組，使每組至少有1人，且任意兩組的人數(shù)不相等，則至多分成9個(gè)小組。5. 證明：2是正弦函數(shù)的最小正周期。 專(zhuān)題訓(xùn)練答案：1.A2.B 3. 證明：假設(shè)點(diǎn)O是PBC的垂心，連接BO，并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)D，則有，連接AD，因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以，又因?yàn)?，所以平面ABD，因?yàn)槠矫鍭BD，所以，又因?yàn)槠矫鍭BC，所以AC是PC在平面ABC內(nèi)的射影，所以，即，這與已知ABC是正三角形矛盾。故點(diǎn)O不是PBC的垂心。4. 證明：假設(shè)54位同學(xué)分成個(gè)小組，且，因?yàn)槿我鈨山M的人數(shù)都不相等，所以這n個(gè)小組的同學(xué)總共至少有（人），超過(guò)54人，與已知矛盾，所以至多分成9個(gè)小組5. 證明：由誘導(dǎo)公式知，2是正弦函數(shù)的一個(gè)周期。假設(shè)0T2，且T是正弦函數(shù)的周期，則