直線參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)換

1、x xo tcos，y yo tsin .(I)這是過定點(diǎn)Po（Xo,yo）,傾角為 的直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)，t的幾何意義是直線上一動點(diǎn) P（x，y）到定點(diǎn) Po（XoM）的有向距離。對于方程（I）的應(yīng)用本刊1985年第5期談直線的 參數(shù)方程及其應(yīng)用一文較詳盡的論述過。本文將介 紹直線的另一種形式的參數(shù)方程。x x at,ox x at,oy yo bt.（高中平面解析幾何甲種本P161 第1(3)題)為了和方程（I）的參數(shù)區(qū)別開來，不妨把上述參數(shù) 方程表為x x aT, oy yo bT. （T 為參數(shù)）（n）通過消去參數(shù)t易知方程（n）表示是過定點(diǎn)bP（xo,yo）,且斜率為a的直線方

2、程。下面我們借助于方程（I）來探求方程（n）的參數(shù)T的幾何意義對于常數(shù)a.b,我們總可以找到一個實(shí)數(shù)K使得a2 b2 K2 成立，則不妨設(shè) a Kcos , b K sin （0 w ）o從而（n）變?yōu)閤 xo TKC0Sy y。TKsin（田）比較（i）、（n）可知，（田）是過定點(diǎn) 因為力,且 傾角為 的直線方程，其中參數(shù)TK為直線上一點(diǎn)P（x, y）到定點(diǎn)Po（Xo，y。）的有向距離，又K=八2bsin P 口K ,且 0W 。.K與b同號，即土忑。的士號的選取與b的符號 一致。故方程（n）的參數(shù)T的幾何意義是直線上一點(diǎn)P（x，y） 1到定點(diǎn)Po（Xo,yo）的有向距離的其中土號的選取與b

3、的符號一致）。即有向距離時JaFT。下面舉例說明方程（E）的應(yīng)用。計算有關(guān)線段長3例1 過拋物線y2 4x的焦點(diǎn)作斜角為7的直線交 于A、B兩點(diǎn)，求|AB| 。3解因直線的傾角為z ,則斜率為一1,又拋物線的焦點(diǎn)F(1 , 0),則可設(shè)AB的方程為x 1 x 1 T, y t.(T為參數(shù))代入y2 4x得2T 4T 4 0 o由書達(dá)定理得Ti + T2=4, TiT2=-4。于是(Ti- T2) 2=(Ti + T2)2 4TiT2=32。 TOC o 1-5 h z .|AB |12 ( 1)21Tl T2 |，.2 .328.例2已知過點(diǎn)P1(0 , 3)和P2(3 , -3)的直線與橢2

4、x y 1圓 4 16 交于 A、B 兩點(diǎn)，求 |P1A| |P1B|。解 因直線AB的斜率為一2,則過點(diǎn)P1的直線方X T,2程為y 3 2T.代入橢圓方程是8T2-12T-7=0,于是T1T2=7一 8 O222 2735.|PiA| |PiB| 1 ( 2)|TJ2 | 5| -| -.88注：此題若用方程（I）來解，將麻煩得多；運(yùn)用方 程（n）時，一般?。╪）中的常數(shù)a ib為直線的斜率， 這樣有利于運(yùn)算過程的簡捷。2 求有關(guān)軌跡方程例3 在拋物線丫 川上取兩動點(diǎn)Pl和P2,使弦長 RR=2,求動弦P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。解 設(shè) M（x。），則 P1P2所在的直線方程為（T為參數(shù)）

5、c .2,一2c代入 y x2 得T(2xo b)T xo y。0于是 T1T2 b 2x。，TiT2=x。2 y。M是Pi自的中點(diǎn),.Ti + T2=0。即b-2x0=0。又Ti、T2互為相反數(shù)，且|PiR|=2,T1T21T1T21T1T2 1b21 b2故2xoVo1 b2 o(2)22、由、(2)消去 b得(y。xo )(1 4xo) 1故M點(diǎn)的軌跡方程為(y x2)(1 4x2) 1。3 求最值例4 在一拋物線y2=4P(x+P) (P0)中，設(shè)有過 原點(diǎn)且互相垂直的二直線分別交拋物線于 A、B、C d 試求|AB| 十|CD|的最小值。分析 顯然，由題設(shè)條件兩直線的斜率均存在,1設(shè)CD的斜率為b,則AB的斜率為bo解設(shè)過原點(diǎn)且兩直線互相垂直的方程為x bT, AB: y (T 為參數(shù))x T,CD y bT(T，為參數(shù))將（1）代入拋物線方程得T2+ 4PbT- 4P2=0O于是 Ti + T2= 4Pb, TiT2=-4P2o. |AB| .1 b2 1Tl T2 | TOC o 1-5 h z 1 b2 . (TiT2)24T3 ,1 b2 16P2b2 16P2 4P(1 b2)|CDI 4(1 b2)P同理求得1 b2o_2，2、4P(1 b2)1 2 .|AB| +|CD|= (1 b)(b b 16R (等號當(dāng)且僅