函數(shù)及方程思想在數(shù)列中應(yīng)用

1、-. z.典例42015高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時(shí)，記eq f(an,bn)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意有，eq blcrc (avs4alco1(10a145d100，,a1d2，)即eq blcrc (avs4alco1(2a19d20，,a1d2，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，d2)或eq blcrc (avs4alco1(a19，,df(2,9).)故eq blcrc (avs4alco1(an2n1，,bn2n1)或eq

2、blcrc (avs4alco1(anf(1,9)2n79，,bn9blc(rc)(avs4alco1(f(2,9)n1.)(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故eq f(2n1,2n1)，于是Tn1eq f(3,2)eq f(5,22)eq f(7,23)eq f(9,24)eq f(2n1,2n1)，eq f(1,2)Tneq f(1,2)eq f(3,22)eq f(5,23)eq f(7,24)eq f(9,25)eq f(2n1,2n).可得eq f(1,2)Tn2eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n2)eq f(2n1,2n)3eq f(2n3,2n)，故T

3、n6eq f(2n3,2n1).數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法形式構(gòu)造與函數(shù)(方程)類似，但要注意數(shù)列問(wèn)題中n的取值圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn)，其一般解題步驟是：第一步：分析數(shù)列式子的構(gòu)造特征第二步：根據(jù)構(gòu)造特征構(gòu)造特征函數(shù)(方程)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式第三步：研究函數(shù)性質(zhì)結(jié)合解決問(wèn)題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問(wèn)題的研究第四步：回歸問(wèn)題結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問(wèn)題【針對(duì)訓(xùn)練4】2016東城模擬數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)假設(shè)a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)在(1)的條件下，

4、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)bneq f(1,Sn1)eq f(1,Sn2)eq f(1,S2n)，假設(shè)對(duì)任意的nN*，不等式bnk恒成立，數(shù)k的最小值解(1)因?yàn)閍12，aeq oal(2,3)a2(a41)，又因?yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列，故公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.(2)因?yàn)镾nn(n1)，bneq f(1,Sn1)eq f(1,Sn2)eq f(1,S2n)eq f(1,n1n2)eq f(1,n2n3)eq f(1,2n2n1)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,n2)eq f(1,n3)eq f

5、(1,2n)eq f(1,2n1)eq f(1,n1)eq f(1,2n1)eq f(n,2n23n1)eq f(1,2nf(1,n)3)，令f(*)2*eq f(1,*)(*1)，則f(*)2eq f(1,*2)，當(dāng)*1時(shí)，f(*)0恒成立，所以f(*)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)*1時(shí)，f(*)minf(1)3，即當(dāng)n1時(shí)，(bn)ma*eq f(1,6)，要使對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)ma*eq f(1,6)，所以實(shí)數(shù)k的最小值為eq f(1,6).數(shù)列1等差數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sneq f(na1an,2)na1eq f(n

6、n1d,2).3等比數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1qn1.4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sneq blcrc (avs4alco1(na1q1，,f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)q1).5等差中項(xiàng)公式：2anan1an1(nN*，n2)6等比中項(xiàng)公式：aeq oal(2,n)an1an1(nN*，n2)7數(shù)列an的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系：aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2).重要結(jié)論1通項(xiàng)公式的推廣：等差數(shù)列中，anam(nm)d；等比數(shù)列中，anamqnm.2增減性：(1)等差數(shù)列中，假設(shè)公差大于零，則數(shù)列為遞增數(shù)列；假設(shè)公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)

7、列(2)等比數(shù)列中，假設(shè)a10且q1或a10且0q0且0q1或a11，則數(shù)列為遞減數(shù)列3等差數(shù)列an中，Sn為前n項(xiàng)和Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列bn 中，Tn為前n項(xiàng)和Tn，T2nTn，T3nT2n，一般仍成等比數(shù)列失分警示1無(wú)視等比數(shù)列的條件：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，無(wú)視各項(xiàng)都不為零的條件2漏掉等比中項(xiàng)：正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是eq r(ab)，容易漏掉eq r(ab).3忽略對(duì)等比數(shù)列的公比的討論：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)首先討論公式q是否等于1.4anan1d或eq f(an,an1)q中注意n的圍限制5易忽略公式anSnSn1成立的條件是n2.6證明一個(gè)

8、數(shù)列是等差或等比數(shù)列時(shí)，由數(shù)列的前n項(xiàng)和想當(dāng)然得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，易出錯(cuò)，必須用定義證明7等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù)，而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q，又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù).考點(diǎn)數(shù)列的概念、表示方法及遞推公式典例示法題型1利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式典例1(1)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，(n2)aeq oal(2,n1)(n1)aeq oal(2,n)anan10，則它的通項(xiàng)公式為()Aaneq f(1,n1)Baneq f(2,n1)Caneq f(n1,2)Dann解析由(n2)aeq oal(2,n1)(n1)aeq oal(2,n)anan10，得(n2)an1(n1)an(an1

9、an)0，又an0，所以(n2)an1(n1)an，即eq f(an1,an)eq f(n1,n2)，an1eq f(n1,n2)an，所以aneq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(2,3)a1eq f(2,n1)a1(n2)，所以aneq f(2,n1)(n1適合)，于是所求通項(xiàng)公式為aneq f(2,n1).答案B(2)2015高考設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)前10項(xiàng)的和為_(kāi)解析由a11，且an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123neq f(nn1,2)，則e

10、q f(1,an)eq f(2,nn1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)，故數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)前10項(xiàng)的和S102eq blc(rc (avs4alco1(1f(1,2)f(1,2)eq blc rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,10)f(1,11)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,11)eq f(20,11).答案eq f(20,11)題型2利用an與Sn的關(guān)系求an典例22015全國(guó)卷Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an0，aeq oal(2,n)2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；

11、(2)設(shè)bneq f(1,anan1)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由aeq oal(2,n)2an4Sn3，可知aeq oal(2,n1)2an14Sn13.可得aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)2(an1an)4an1，即2(an1an)aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又aeq oal(2,1)2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bneq f(1,anan1)eq f(1,2n12n3)eq f(1,2)eq

12、 blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n3).設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bneq f(1,2)eq blcrc (avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)f(1,7)eq blc rc (avs4alco1(blc(rc (avs4alco1(f(1,2n1)eq blc rc(avs4alco1(blc rc)(avs4alco1(f(1,2n3)eq f(n,32n3).求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)類型及方法(1)歸納猜測(cè)法：數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納猜

13、測(cè)法(2)Sn與an的關(guān)系，利用aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，)求an.(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf(n)，其中數(shù)列f(n)前n項(xiàng)和可求，這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法(疊加法)(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1g(n)an，其中數(shù)列g(shù)(n)前n項(xiàng)可求積，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法)(5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如an1panq(p，q為常數(shù))可化為an1eq f(q,p1)peq blc(rc)(avs4alco1(anf(q,p1)(p1)的形式，利用eq blcrc(avs4alco1(anf(q,p1)是以p為

14、公比的等比數(shù)列求解；遞推關(guān)系形如an1eq f(pan,anp)(p為非零常數(shù))可化為eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,p)的形式考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的運(yùn)算典例示法題型1等差、等比數(shù)列的根本運(yùn)算典例32015全國(guó)卷等比數(shù)列an滿足a1eq f(1,4)，a3a54(a41)，則a2()A2 B1C.eq f(1,2)D.eq f(1,8)解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1eq f(1,4)，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2a1q44(a1q31)，eq f(1,16)q64eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)q31)，q616q3640，(q

15、38)20，q38，q2，a2eq f(1,2)，應(yīng)選C.答案C題型2等差、等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)算典例42016全國(guó)卷設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an解析設(shè)an的公比為q，由a1a310，a2a45得a18，qeq f(1,2)，則a24，a32，a41，a5eq f(1,2)，所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)數(shù)列根本運(yùn)算中的關(guān)注點(diǎn)(1)根本量在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)根本量(2)解題思路求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；列方程組：假設(shè)條件與結(jié)論的聯(lián)系不明顯時(shí)，常把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(

16、q)的方程組求解，但要注意消元及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量2等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的判斷與證明典例示法典例52014全國(guó)卷數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由解(1)證明：由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1.因?yàn)閍n10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a2由(1)知，a31.假設(shè)an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得故an2an4.由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2

17、n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列在本例題(2)中是否存在，使得an為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由解由題設(shè)可知a11，a1a2S11，得a21，由(1)知a31，假設(shè)an為等比數(shù)列，則aeq oal(2,2)a1a3，即(1)21，解得0或3.當(dāng)0時(shí)，anan11，又a11，所以a21，a31，an(1)n1，所以數(shù)列an為首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列；當(dāng)3時(shí)，a11，a22，a34，故可令an2n1，則anan122n1.Sn132n4，易得anan1與Sn1不恒相等，與條件矛盾綜上可知，存在0，使得an為等比數(shù)列1等差數(shù)

18、列的判定方法(1)證明一個(gè)數(shù)列an為等差數(shù)列的根本方法有兩種利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an1and(nN*)；利用等差中項(xiàng)證明，即證明an2an2an1(nN*)(2)解選擇、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷通項(xiàng)法：假設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和法：假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an是等差數(shù)列2等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：假設(shè)eq f(an1,an)q(q為非零常數(shù))或eq f(an,an1)q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法：假設(shè)數(shù)列an中，an0且aeq oal(2,n

19、1)anan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：假設(shè)數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列提醒：假設(shè)判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，則只需說(shuō)明前三項(xiàng)不是等差(等比)數(shù)列即可針對(duì)訓(xùn)練2016統(tǒng)測(cè)在數(shù)列an中，a1eq f(3,5)，an12eq f(1,an)，設(shè)bneq f(1,an1)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求Sn；(2)比擬an與Sn7的大小解(1)證明：bneq f(1,an1)，an12eq

20、 f(1,an)，bn1eq f(1,an11)eq f(1,an1)1bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1eq f(3,5)，bneq f(1,an1)得b1eq f(5,2)，Sneq f(5n,2)eq f(nn1,2)eq f(n2,2)3n.(2)由(1)知：bneq f(5,2)n1neq f(7,2).由bneq f(1,an1)得an1eq f(1,bn)1eq f(1,nf(7,2).anSn7eq f(n2,2)3n6eq f(1,nf(7,2).當(dāng)n4時(shí)，yeq f(n2,2)3n6是減函數(shù)，yeq f(1,nf(7,2)也是減函數(shù)，當(dāng)n4時(shí)，anSn

21、7a4S470.又a1S17eq f(39,10)0，a2S27eq f(8,3)0，a3S37eq f(7,2)1，a3a520，a2a664，則S5A31 B36C42 D48答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由eq blcrc (avs4alco1(a3a520，,a3a564，)且公比q1，得a34，a516，所以eq blcrc (avs4alco1(a1q24，,a1q416，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,q2q2舍，)所以S5eq f(1125,12)31，應(yīng)選A.32016統(tǒng)考設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，假設(shè)eq f(S4,S

22、2)3，則eq f(S6,S4)()A2 B.eq f(7,3)C.eq f(3,10)D1或2答案B解析設(shè)S2k，S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，eq f(S6,S4)eq f(7k,3k)eq f(7,3)，應(yīng)選B.42015高考an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.假設(shè)a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d0，dS4 0 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0答案B解析由aeq oal(2,4)a3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，

23、a1eq f(5,3)d，則a1deq f(5,3)d20，又S44a16deq f(2,3)d，dS4eq f(2,3)d20，a1eq f(1,2)，如果an1是1與eq f(2anan11,4aoal(2,n)的等比中項(xiàng)，則a1eq f(a2,22)eq f(a3,32)eq f(a4,42)eq f(a100,1002)的值是_答案eq f(100,101)解析由題意可得，aeq oal(2,n1)eq f(2anan11,4aoal(2,n)(2an1anan11)(2an1anan11)0，又an0，2an1anan110，又2an0，an1eq f(1,2an)an11eq f(

24、an1,2an)，又可知an1，eq f(1,an11)eq f(1,an1)1，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an1)是以eq f(1,a11)為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，eq f(1,an1)eq f(1,f(1,2)1)(n1)n1aneq f(n,n1)eq f(an,n2)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，a1eq f(a2,22)eq f(a3,32)eq f(a4,42)eq f(a100,1002)1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,5)eq f(

25、1,100)eq f(1,101)eq f(100,101).三、解答題102016質(zhì)檢數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a33，S39.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2eq f(3,a2n3)，且bn為遞增數(shù)列，假設(shè)eq f(4,bnbn1)，求證：c1c2c31.解(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則根據(jù)題意有3eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,q)f(1,q2)9，從而2q2q10，解得q1或qeq f(1,2).當(dāng)q1時(shí)，an3；當(dāng)qeq f(1,2)時(shí)，an3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n3.(2)證明：假設(shè)an3

26、，則bn0，與題意不符，故an3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n3，此時(shí)a2n33eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2n，bn2n，符合題意eq f(4,2n2n2)eq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，從而c1c2c31eq f(1,n1)0，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.依題意有eq blcrc (avs4alco1(q2d6，,q33d8，)解得eq blcrc (avs4alco1(d1，,q2，)或eq blcrc (avs4alco1(df(4,3)，,q9.)(舍去)故ann，bn2n1.(2)

27、由(1)知Sn12neq f(1,2)n(n1)，eq f(1,Sn)eq f(2,nn1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)，eq f(1,S1)eq f(1,S2)eq f(1,Sn)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n1)eq f(2n,n1).第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用重要公式及結(jié)論1分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以

28、寫成anbn形式的數(shù)列求和問(wèn)題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列2裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)代數(shù)式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通過(guò)累加抵消中間假設(shè)干項(xiàng)的求和方法形如eq blcrc(avs4alco1(f(c,anan1)(其中an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等3錯(cuò)位相減法：形如anbn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：巧拆分；構(gòu)差式；求和4倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等，可以用此法，一般步驟：求通項(xiàng)公式；定和值；倒序相加；求和；回憶反思附：(1)常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式(其中nN*)eq f(1,nn

29、1)eq f(1,n)eq f(1,n1).eq f(1,nnk)eq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,nk).eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1).假設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則eq f(1,anan1)eq f(1,d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,an1)；eq f(1,anan2)eq f(1,2d)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)f(1,an2).eq f(1,nn1n2)eq f(1,2)eq blc

30、rc(avs4alco1(f(1,nn1)f(1,n1n2).eq f(1,r(n)r(n1)eq r(n1)eq r(n).eq f(1,r(n)r(nk)eq f(1,k)(eq r(nk)eq r(n)(2)公式法求和：要熟練掌握一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，如123neq f(nn1,2)；135(2n1)n2；122232n2eq f(1,6)n(n1)(2n1)失分警示1公比為字母的等比數(shù)列求和時(shí)，注意公比是否為1的分類討論2錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng)3裂項(xiàng)相消法求和時(shí)易認(rèn)為只剩下首尾兩項(xiàng)4裂項(xiàng)相消法求和時(shí)注意所裂式與原式的等價(jià)性考點(diǎn)數(shù)列求和問(wèn)題典例示法題型1分組轉(zhuǎn)化求和

31、典例1設(shè)數(shù)列an滿足a12，a2a48，且對(duì)任意nN*，函數(shù)f(*)(anan1an2)*an1cos*an2sin*滿足feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)假設(shè)bn2eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,2an)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由題設(shè)可得f(*)anan1an2an1sin*an2cos*.對(duì)任意nN*，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)anan1an2an10，即an1anan2an1，故an為等差數(shù)列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)因?yàn)?/p>

32、bn2eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,2an)2eq blc(rc)(avs4alco1(n1f(1,2n1)2neq f(1,2n)2，所以Snb1b2bn(222)2(12n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,22)f(1,2n)2n2eq f(nn1,2)eq f(f(1,2)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n),1f(1,2)n23n1eq f(1,2n).題型2錯(cuò)位相減法求和典例22015高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.b1a1，b22，qd，S1

33、0100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時(shí)，記eq f(an,bn)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意有，eq blcrc (avs4alco1(10a145d100，,a1d2，)即eq blcrc (avs4alco1(2a19d20，,a1d2，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,d2，)或eq blcrc (avs4alco1(a19,df(2,9).)故eq blcrc (avs4alco1(an2n1，,bn2n1，)或eq blcrc (avs4alco1(anf(1,9)2n79，,bn9blc(rc)(avs4alco1(f(2,9)n

34、1.)(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故eq f(2n1,2n1)，于是Tn1eq f(3,2)eq f(5,22)eq f(7,23)eq f(9,24)eq f(2n1,2n1)，eq f(1,2)Tneq f(1,2)eq f(3,22)eq f(5,23)eq f(7,24)eq f(9,25)eq f(2n1,2n)，可得eq f(1,2)Tn2eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n2)eq f(2n1,2n)3eq f(2n3,2n)，故Tn6eq f(2n3,2n1).題型3裂項(xiàng)相消法求和典例32016統(tǒng)考設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n都有6

35、Sn12an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog eq sdo8(f(1,2) an，求Tneq f(1,boal(2,1)1)eq f(1,boal(2,2)1)eq f(1,boal(2,n)1).解(1)由6Sn12an，得6Sn112an1(n2)兩式相減得6an2an12an，即aneq f(1,4)an1(n2)，由6S16a112a1，得a1eq f(1,8)，數(shù)列an是等比數(shù)列，公比qeq f(1,4)，所以aneq f(1,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2n1.(2)aneq b

36、lc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2n1，bn2n1，從而eq f(1,boal(2,n)1)eq f(1,4nn1)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1).Tneq f(1,4)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n1)eq f(n,4n1).1分組求和的常見(jiàn)方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(

37、2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)式中常會(huì)有(1)n等特征2裂項(xiàng)相消的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差(2)裂項(xiàng)相消后前、后保存的項(xiàng)數(shù)一樣多3錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘(anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列bn的公比把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減整理結(jié)果形式考點(diǎn)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題典例示法題型1數(shù)列與函數(shù)的綜合典例42014高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(*)2*的圖象上(nN*)(1)假設(shè)a12，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(*)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)假設(shè)a11，函數(shù)f(*)的圖象在

38、點(diǎn)(a2，b2)處的切線在*軸上的截距為2eq f(1,ln 2)，求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(an,bn)的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由得，b72a7，b82a84b7，有2 a842 a7解得da8a72.所以，Snna1eq f(nn1,2)d2nn(n1)n23n.(2)f(*)2*ln 2，f(a2)2 a2ln 2，故函數(shù)f(*)2*在(a2，b2)處的切線方程為y2 a22 a2ln 2(*它在*軸上的截距為a2eq f(1,ln 2).由題意得，a2eq f(1,ln 2)2eq f(1,ln 2)，解得a22.所以da2a11.從而ann，bn2n.所以Tne

39、q f(1,2)eq f(2,22)eq f(3,23)eq f(n1,2n1)eq f(n,2n)，2Tneq f(1,1)eq f(2,2)eq f(3,22)eq f(n,2n1).因此，2TnTn1eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n1)eq f(n,2n)2eq f(1,2n1)eq f(n,2n)eq f(2n1n2,2n).所以，Tneq f(2n1n2,2n).題型2數(shù)列與不等式的綜合典例52016模擬(利用單調(diào)性證明不等式)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a12，對(duì)任意nN*，都有2Sn(n1)an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)假設(shè)數(shù)列eq blcrc(

40、avs4alco1(f(4,anan2)的前n項(xiàng)和為Tn，求證：eq f(1,2)Tn0，所以1eq f(1,n1)1.因?yàn)閒(n)eq f(1,n1)在N*上是遞減函數(shù)，所以1eq f(1,n1)在N*上是遞增的，所以當(dāng)n1時(shí)，Tn取最小值eq f(1,2).所以eq f(1,2)Tn1.典例62014全國(guó)卷(利用放縮法證明不等式)數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(3,2).證明(1)由an13an1得an1eq f

41、(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,2).又a1eq f(1,2)eq f(3,2)，所以eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是首項(xiàng)為eq f(3,2)，公比為3的等比數(shù)列aneq f(1,2)eq f(3n,2)，因此an的通項(xiàng)公式為aneq f(3n1,2).(2)由(1)知eq f(1,an)eq f(2,3n1).因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以eq f(1,3n1)eq f(1,23n1).于是eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)1eq f(1,3)eq f(1,3n1)eq f(3,2)eq blc(rc)(

42、avs4alco1(1f(1,3n)eq f(3,2).所以eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)藏金數(shù)目a1，a2，是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為r(r0)，則，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲(chǔ)藏金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)藏金總額(1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式；(2)求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列解(1)由題意知：n2時(shí)，TnTn1(1r)an，其中

43、ana1(n1)d，TnTn1(1r)a1(n1)d，n2.(2)證明：Tna1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an2(1r)3an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)ana1(1r)ndeq f(1r11rn1,11r)a1(n1)deq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,r)(1r)neq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,r)dn)，Tneq f(a1rd,r2)(1r)neq blc(rc)(avs4alco1(f(a1rd

44、,r2)f(d,r)n).令A(yù)neq f(a1rd,r2)(1r)n，Bneq f(a1rd,r2)eq f(d,r)n，則eq f(An1,An)1r(定值)，Bn1Bneq f(d,r)(定值)，即TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列全國(guó)卷高考真題調(diào)研12015全國(guó)卷設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案eq f(1,n)解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，eq f(1,Sn)eq f(1,Sn1)1，eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是等差數(shù)列，且公差為1，而eq f(1,S1)eq f(

45、1,a1)1，eq f(1,Sn)1(n1)(1)n，Sneq f(1,n).22016全國(guó)卷Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中*表示不超過(guò)*的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎neq blcrc (avs4alco1(0，1n10，,1，10n100，,2，100n1.a2a38，a1a又a1a49，a11，a48，q2.前n項(xiàng)和為eq

46、f(112n,12)2n1.52015高考數(shù)列an滿足：a12a2nan4eq f(n2,2n1)，nN*.(1)求a3的值；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn；(3)令b1a1，bneq f(Tn1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,3)f(1,n)an(n2)，證明：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn22ln n.解(1)由題意，知3a3(a12a23a3)(a12a2)4eq f(32,231)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(22,221)eq f(3,4)，a3eq f(1,4).(2)由條件知，nan(a12a2nan)a12a2(n1)an

47、1eq blc(rc)(avs4alco1(4f(n2,2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(n1,2n2)(n2)，naneq f(n,2n1)，aneq f(1,2n1).又a14eq f(3,20)1時(shí)也符合此式，aneq f(1,2n1)(nN*)Tn1eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq f(1blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n),1f(1,2)2eq f(1,2n1).(3)證明：依題意，得bneq f(a1a2an1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(

48、1,2)f(1,n)an，b1a1，b2eq f(a1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)a2，b3eq f(a1a2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,3)a3，Snb1b2bneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,n)(a1a2an)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,n)Tneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2n1)1)，則f(*)eq f(1,*)eq f(1,*2)eq f(*1,*2)

49、0，f(*)在(1，)上是增函數(shù)又f(1)0，即f(*)0，又k2且kN*時(shí)，eq f(k,k1)1，feq blc(rc)(avs4alco1(f(k,k1)lneq f(k,k1)eq f(1,f(k,k1)10，即lneq f(k,k1)eq f(1,k)，eq f(1,2)lneq f(2,1)，eq f(1,3)lneq f(3,2)，eq f(1,n)lneq f(n,n1)，即有eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n)lneq f(2,1)lneq f(3,2)lneq f(n,n1)ln n，2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,3)f

50、(1,n)22ln n，即Sn 0)及兩點(diǎn)A1(*1,0)和A2(*2,0)，其中*2*10.過(guò)A1，A2分別作*軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點(diǎn)，直線B1B2與*軸交于點(diǎn)A3(*3,0)，則()A*1，eq f(*3,2)，*2成等差數(shù)列 B*1，eq f(*3,2)，*2成等比數(shù)列C*1，*3，*2成等差數(shù)列 D*1，*3，*2成等比數(shù)列答案A解析由題意，得B1，B2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為eq blc(rc)(avs4alco1(*1，f(1,*1)，eq blc(rc)(avs4alco1(*2，f(1,*2).所以直線B1B2的方程為yeq f(1,*1*2)(*1)eq f(1,*1)，

51、令y0，得*1*2，所以*3*1*2，因此，*1，eq f(*3,2)，*2成等差數(shù)列62016模擬設(shè)無(wú)窮數(shù)列an，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論多小)，總存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|anA|1，所以對(duì)于正數(shù)01，不存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|an2|0成立，即2不是數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,13)f(1,35)f(1,57)f(1,2n12n1)的極限對(duì)于，|an2|eq blc|rc|(avs4alco1(1f(1,2)f(1,22)f(1,23)f(1,2n1)2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1blc(rc)(avs4alco1

52、(1f(1,2n),1f(1,2)2)eq f(2,2n)，令eq f(2,2n)1log2，所以對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論多小)，總存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|an2|1，所以對(duì)于正數(shù)01，不存在正整數(shù)N，使得nN時(shí)，恒有|an2|0，an13an，an為等比數(shù)列，且公比為3，Sn3n1.82016統(tǒng)考Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，假設(shè)2S4S22，則S6的最小值為_(kāi)答案eq r(3)解析由題意得2(a1a1qa1q2a1q3)a1a1q2，整理，得(a1a1q)(12q2)2，即S2(12q2)2.因?yàn)?2q20，所以S20.又由2S4S22，得S4eq f(1,2)S21.由等比數(shù)列的

53、性質(zhì)，得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，所以(S4S2)2S2(S6S4)，所以S6eq f(S4S22,S2)S4eq f(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)S2)2,S2)eq f(1,2)S21eq f(3,4)S2eq f(1,S2)2eq r(f(3,4)S2f(1,S2)eq r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(3,4)S2eq f(1,S2)，即S2eq f(2r(3),3)時(shí)等號(hào)成立，所以S6的最小值為eq r(3).92016武昌調(diào)研設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sneq f(1,2n)(1)nan(nN*)，則數(shù)列Sn的前9項(xiàng)和為_(kāi)答案eq f(341,1024)

54、解析因?yàn)镾neq f(1,2n)(1)nan，所以Sn1eq f(1,2n1)(1)n1an1(n2)，兩式相減得SnSn1eq f(1,2n)eq f(1,2n1)(1)nan(1)n1an1，即aneq f(1,2n)(1)nan(1)nan1(n2)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，aneq f(1,2n)anan1，即an1eq f(1,2n)，此時(shí)n1為奇數(shù)，所以假設(shè)n為奇數(shù)，則aneq f(1,2n1)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aneq f(1,2n)anan1，即2aneq f(1,2n)an1，所以an1eq f(1,2n1)，此時(shí)n1為偶數(shù)，所以假設(shè)n為偶數(shù)，則aneq f(1,2n).所以數(shù)列an的通

55、項(xiàng)公式為aneq blcrc (avs4alco1(f(1,2n1)，n為奇數(shù),f(1,2n)，n為偶數(shù))所以數(shù)列Sn的前9項(xiàng)和為S1S2S3S99a18a27a36a43a72a8a9(9a18a2)(7a36a4)(3a72a8)a9eq f(1,22)eq f(1,24)eq f(1,26)eq f(1,28)eq f(1,210)eq f(f(1,22)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)5),1f(1,4)eq f(341,1024).三、解答題102016質(zhì)檢在數(shù)列an中，a1eq f(1,2)，an1eq f(n1,2n)an，nN*

56、.(1)求證：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1)證明：由an1eq f(n1,2n)an知eq f(an1,n1)eq f(1,2)eq f(an,n)，eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是以eq f(1,2)為首項(xiàng)，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知eq blcrc(avs4alco1(f(an,n)是首項(xiàng)為eq f(1,2)，公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列，eq f(an,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，aneq f(n,2n)，Sneq f(1,21)eq f(2,22)eq f(n,2n)，則eq f(1