高中數(shù)學講義-隨機變量均值3

1、離散型隨機變量的概率分布隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的概率密度隨機變量的函數(shù)的分布第二章 隨機變量及其分布 隨機變量返回主目錄第二章 隨機變量及其分布一隨機變量的概念例 1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為1 隨機變量例 1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為 X，則 X 的可能取值為1，2，3因此， X 是一個變量但是， X 取什么值依賴于試驗結(jié)果，即 X的取值帶有隨機性，所以，我們稱 X 為隨機變量X 的取值情況可由下表給出：第二章 隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄例

2、 1（續(xù)）第二章 隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件例如 表示至少取出2個黑球這一事件，等等第二章 隨機變量及其分布1 隨機變量 表示取出2個黑球這一事件；返回主目錄隨機變量的定義設E是一個隨機試驗，S是其樣本空間我們稱樣本空間上的函數(shù)為一個隨機變量，如果對于任意的實數(shù) x ，集合都是隨機事件第二章 隨機變量及其分布1 隨機變量說 明第二章 隨機變量及其分布1 隨機變量返回主目錄一.離散型隨機變量的概念與性質(zhì)第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量離散型隨機變量的定義如果隨機變量 X 的取值是有限個或可列無窮個，則稱 X 為離散

3、型隨機變量2離散型隨機變量返回主目錄第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量 X 的所有可能取值為并設則稱上式或為離散型隨機變量 X 的分布律返回主目錄說 明離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃即離散型隨機變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量離散型隨機變量分布律的性質(zhì):返回主目錄例 1從110這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值試求 X 的分布律解： X 的取值為5，6，7，8，9，10 并且第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量具體寫出，即可得 X 的分布律：返回主目錄例

4、 2將 1 枚硬幣擲 3 次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求 X 的分布律解： X 的取值為-3，-1，1，3 并且第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 3設離散型隨機變量 X 的分布律為 則第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 3（續(xù)）第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 4設隨機變量 X 的分布律為解：由隨機變量的性質(zhì)，得第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量 設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過.

5、 以 X 表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號燈的工作是相互獨立的).PX=3=(1-p)3p例 5第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量解： 以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：Xpk 0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或?qū)懗?PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 例 5(續(xù))返回主目錄第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量以 p = 1/2 代入得：Xpk 0 1 2 3 4 例 5(續(xù))返回主目錄二、一些常用的離散型隨機變量

6、第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量1) Bernoulli分布如果隨機變量 X 的分布律為或則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為 p 的 Bernoulli分布返回主目錄Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點分布第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量Bernoulli分布的概率背景進行一次Bernoulli試驗，設：令：X：在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)或者說：令返回主目錄例 6 15 件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品從中取出1件令 X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)則 X 的取值為 0 或者 1，并且第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄2）二 項 分 布如果隨

7、機變量 X 的分布律為第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄說 明顯然，當 n=1 時第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設在每次試驗中令 X：在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄分布律的驗證由于以及 n 為自然數(shù)，可知又由二項式定理，可知所以是分布律第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當于做一次Bernoulli

8、試驗，則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 7（續(xù)）所以第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著 k 的增大而增大，達到其最大值后再隨著k 的增大而減少這個使得第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄可以證明：第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例8對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應的概率是多少？解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli 試驗令： 則由題意第二章 隨機變量

9、及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應的概率為第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄3）Poisson 分布如果隨機變量 X 的分布律為 則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisson 分布第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄分布律的驗證 由于可知對任意的自然數(shù) k，有第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量 又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律返回主目錄Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標都服從Poisson分布例如，可以證明， 總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放

10、射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務臺要求服務的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 9設隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知解： 隨機變量 X 的分布律為由已知第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 10第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 10（續(xù)）解：設 B= 此人在一年中得3次感冒 則由Bayes公式，得第二章 隨機變量及其分布2離散

11、型隨機變量返回主目錄Poisson定理證明：第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的 k，有第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的應用由 Poisson 定理，可知第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 11設每次射擊命中目標的概率為，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）解：設 B= 600次射擊至少命中3次目標 進行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.第二章 隨機變量及

12、其分布2離散型隨機變量返回主目錄例 11（續(xù)）所以，第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設備 300 臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01. 在通常情況下，一臺設備的故障可有一人來處理. 問至少需配備多少工人，才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于 0.01 ？ 解：設需配備 N 人，記同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)為 X ，則 X b(300，），需要確定最小的 N 的取值，使得：例 12返回主目錄查表可知，滿足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配備 8 個

13、工人。第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄設有 80 臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 ，且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法： 其一，由 4人維護，每人負責 20 臺 其二，由 3 人,共同維護 80 臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量例 13返回主目錄 解：按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負責的 20 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，則 X b (20，）.以 Ai 表示事件 “第 i 人負責的臺中發(fā)生故障不能及時維修”， 則 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量例 13(續(xù))返回主目錄 按第二種方法. 以 Y 記 80 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)， 則 Y b(80，）. 故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量例 13(續(xù)) 第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小，且維 修工人減少一人。運用概率論討論國民經(jīng)濟問題，可以 有效地使用人力、物力資源。返回主目錄4）幾 何 分 布若隨機變量 X 的分布律為第二章 隨機變量及其分布2離散型隨機變量返回主目錄分 布 律 的 驗