數(shù)值分析一致逼近

1、第六章函數(shù)逼近（最佳一致逼近）1第六章目錄1 最小二乘法原理和多項式擬合2 一般最小二乘擬合 2.1線性最小二乘法的一般形式 2.2非線性最小二乘擬合3 正交多項式曲線擬合 3.1離散正交多項式 3.2用離散正交多項式作曲線擬合4 函數(shù)的最佳平方逼近5 最佳一致逼近25 最佳一致逼近多項式 在度量標準 下，求 (x) ，使 （達到最?。@就是最佳一致逼近（不要產(chǎn)生最大誤差，均勻一些），通常仍 然取 (x)為多項式，即求多項式 (x)使殘差： 絕對值的最大值 達到最小?；蚩蓪憺椋涸贖中求滿足 (x) （f 的逼近函數(shù) (x) ）： 即在H中 (x)與f(x)之差的絕對值的最大值是最小的，H中任

2、一 (x)與f(x)之差的絕對值的最大值都比它大，這樣的 (x)為f(x)在H中的最佳一致逼近函數(shù)。 3最佳一致逼近多項式（續(xù)）特別：若則滿足上面關系式的 稱為f(x)在a,b上的n次最佳一致逼近多項式。 記 稱為偏差。 偏差點： 若 滿足 則稱x0為 (x)的偏差點，偏差點為正，稱為正偏差點， 偏差點為負，稱為負偏差點 可以從下面例中理解有關概念。 4引例 例如：要求區(qū)間0,1上y=arctgx的一次近似式可以有多種方法： （1）Talor公式：tg1x x,誤差R(x)= tg1x- x，在x=0附近很小，x=1時誤差最大，R(x)|x=1=0.2146； （2）插值: x=0,1作節(jié)點=

3、L1(x)=x/4，tg1x x/4，其誤差在 處，即在1附近較大為0.0711； （3）最小二乘法（例10 4中） 誤差在x=1處最大為0.0493（比前二式誤差小）。 5問題： 由最小二乘法得到的arctgx0.0429+0.7918x是在最小二乘意義下的最佳逼近多項式，是不是最好的？ 這里“最好”的標準是什么？這個標準就是“一致逼近”的概念，它應使最大偏差盡可能?。ɑ蛘哒f達到最小）。引例（續(xù)1） 0,1上y= tg1x的近似一次式就是曲線y= tg1的近似直線，圖6-3中，OA為arctgx的曲線，OA為OA的弦，CB為平切線，F(xiàn)為切 點，作為近似直線：OA是不是最好的？回答是否定的！

4、在x=處產(chǎn)生較大偏差或者說誤差最大。 那么CB是不是最好的？結論仍然是否定的！圖6-3BEAOXYDCarctgx1幾何上：如圖6-3，6引 例（續(xù)2） 在x=0，x=1處產(chǎn)生較大偏差不僅如此：作DE（OA與CB的中線），在OA到DE間，CB到DE間直線都不是最好的，若最好的近似直線在OA到DE間，必然在x=處產(chǎn)生較大偏差，若在CB到DE間則必然在x=0及x=1處產(chǎn)生較大偏差。只有DE才是符合這里“標準”的最好近似直線（誤差均勻），不產(chǎn)生最大偏差標準下的使最大偏差達到了最小。 這樣的DE如何求：設為a0+a1x，誤差R(x)=arctgx-a0-a1x。 R(x)在x=0,1這三點處絕對值最大

5、，別的地方誤差不會比這三點處的誤差大，（圖上清楚）。 在x=0處，直線在上，曲線在下； 而R(x)在x=處曲線在上，直線在下，R(x)的符號正負相間； 在 x=1處，直線在上，曲線在下； 可假定最大偏差值為E，則有：圖6-3BEAOXYDCarctgx17引 例（續(xù)3） 此近似式在x=處（幾何直觀）誤差最大為E=0.0356，比前面得到任何一次近似式的最大誤差都小。好的近似直線：偏差均勻（一樣大），即在0,1三個點（偏差點）處偏差值相同且最小。所以可利用偏差點使偏差值最小，例題說明：一次最佳一致逼近多項式容易求，因為偏差點偏差能找到。 8最佳一致逼近概念 （按偏差）按偏差，最佳一致逼近問題為：

6、 在n次多項式中，求一個 與其它任一個n次多項式 (x)對f(x)的偏差 相比較是最小的，亦即： 其最小值 稱為最小偏差， (x)是f(x)在a,b上的n次最佳一致逼近多項式。下面的切比雪夫定理表明： 這樣的最佳一致逼近多項式 是唯一存在的這個理論問題。 (x) ，在a,b上使 (x)對f(x)的偏差 也可寫作：對于Hn（n次多項式的集合）中不同的 (x) ，有不同的偏差值 9切比雪夫定理定理6.6 Pn(x)Hn是f(x)Ca,b的最佳一致逼近多項式的充要條件是Pn(x)在a,b上至少有n+2個不同的依次輪流為正，負的偏差點（這些點稱為切比雪夫交錯點組）。 切比雪夫定理給出了最佳一致逼近多項

7、式的特征，性質(zhì)，在最佳一致逼近理論中起著重要作用。 推論1 如果f(x)Ca,b，則在Hn中存在唯一的最佳一致逼近多項式。設f(x)Ca,b，則f(x)在Hn中的最佳一致逼近多項式Pn(x)，就是f (x)在a,b上的某個n次Lagrange插值多項式。 推論2 （推論2證明下屏）（n+2個點是唯一的）10推論3 設f (x)在(a,b)內(nèi)的n+1階導數(shù)存在，且f(n+1)(x)定號或為正（為負），則區(qū)間端點a,b都屬于f (x)的n次最佳一致逼近多項式的那n+2個偏差點。 Pn(x)有n+2個偏差點，亦即使f (x) Pn (x)在a,b上至少有n+2個點交替換正負號，亦就是說f(x) Pn

8、(x)=0在a,b上有n+1個根存在n+1個點：a x0 xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,n) , 所以，以此作為插值條件可得到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,xn為插值節(jié)點的n次值多項式 。切比雪夫定理（續(xù)1） 切比雪夫定理不僅給出了最佳一致逼近多項式的特征，并從理論上給出了尋找最佳一致逼近多項式的方法：（緊接下屏）11切比雪夫定理（續(xù)2）則Pn(x)的n+1個系數(shù)a0,a1,an，最小偏差值En及n+2個偏差點a x0 x10 (0)定號即在a,b上不變號，保持凹（凸），故f (x)在a,b上單調(diào)增（減）。 在（

9、a,b）內(nèi)只有一個零點x1(x0,x2取a,b兩點，（只剩 一個）也就是唯一的一個偏差點（極值點）使f (x1) P (x1)=0 （緊接下屏）14一次最佳一致逼近多項式（續(xù)）15一次最佳一致逼近多項式舉例例11解設P1(x)=a0+a1x是f (x)的最佳致逼近一次式。由定理6.6函數(shù)P1(x)在0,1上至少有三個等幅振動點，設為0 x1x2 x3 1，由于 求 在0,1上的一次最佳一致逼近多項式。 在(0,1)上單調(diào)減少，且僅有一駐點，故f(x)P1(x)在(0,1)內(nèi)只有一個偏差點x2，它滿足 另兩個偏差點為x1=0, x3=1于是 所以：16例11（續(xù)）將（6-16）(6-17）(6-

10、18)聯(lián)立求解得：a1=1,x2=1/4,a0=1/8。所以 在0,1上的一次最佳一致逼近多項式為:如圖6-4所示， 是一條與(0,0)，(1,1)的直線。兩點聯(lián)線及 的與這條聯(lián)線平行的切線等距圖 6-4XY10.517切比雪夫插值法 對定義在任意區(qū)間a,b上的函數(shù)f (x)，作變換： 即可將定義在a,b上的f (x)，化為定義在-1，1上的函數(shù)g (t)：因此，下面僅對區(qū)間-1，1進行討論。 切比雪夫插值法是將切比雪夫多項式的性質(zhì)與插值結合，來求出函數(shù)的近似的最佳一致逼近多項式。其基本思想是：上面已談到最佳一致逼近多項式難求，下面討論求近似的最佳一致逼近多項式。 （緊接下屏）18切比雪夫插值

11、法（續(xù)1）以切比雪夫多項式Tn+1(x)的n+1個零點： 為節(jié)點構造f (x)的n次插值多項式n(x)，而以n(x)作為n次最佳一致逼近多項式的近似。 定理6.7（切比雪夫性質(zhì)）設H為最高項系數(shù)為1的n次多項式的集合，則有19 由切比雪夫多項式的性質(zhì)，在-1，1上在n+1個偏差點（極值點）： 證明 ） 用反證法）：假設存在 使得： 因為 于是 令： 處有：（緊接下屏）定理6.7（切比雪夫性質(zhì)）證明20 即在n+1個偏差點處Q(x)輪流取上負值，因此由連續(xù)函數(shù)介值定理， 在-1，1上應具有n個零點。但 ： 和Pn(x)都是最高次項系數(shù)為1的n次多項式，Q(x)作為它們的差，至少是n-1次多項式，

12、不可能有n個零點，所以定理得證。因此有：定理6.7證明（續(xù)）21切比雪夫插值法（續(xù)4） 因此，對于-1，1上的f (x)，若以Tn+1(x)的n+1個零點作n次插值多項式n(x)，其插值余項為：定理6.7說明，在H中的 最大絕對值最小，故對表達式： 僅當 x0 , x1, xn 取為Tn+1(x)的零點時達到最小值2n。（緊接下屏）22切比雪夫插值法（續(xù)5） 這表明以 n(x)作n次插值多項式，比采用其它n+1個節(jié)點插值所產(chǎn)生的誤差都要小，因而n次切比雪夫插值多項式可作為n次最佳一致逼近多項式的近似。23切比雪夫插值法步驟 用切比雪夫插值法求f(x)在a,b的n次最佳一致逼近多項式n(x)的步

13、驟為： 1. 變換區(qū)間a,b-1,1（切比雪夫多項式定義在 -1,1上） 2. 24求三次逼近多項式舉例例9分別用Taylor展開，Newton插值及Chbyshev插值求f (x)=xex在0,1.5上的三次逼近多項式。 25例9解 （2）Newton插值xifi230010.50.82441.6488x12.71833.78782.139x(x-0.5)1.56.72258.00844.22061.3877x(x0.5)(x1)三次Newton插值多項式為：其誤差為：解（2）取節(jié)點x0=0,x1=0.5,x2=1,x3=1.5，Newton插值的計算過程見下表 26例9解 （3）Cheby

14、shev插值以xk(k=0,1,2,3)為節(jié)點求插值多項仍用Newton插值計算，結果見下表： 解（3）Chebyshev插值。 首先按式（6.18）求 的零點 27例9解 （3）Chebyshev插值（續(xù)1）xifi230.05710.0604610.4630.73561.6633(x0.0571)1.0372.92513.81452.1953x(x-0.0571)(x-0.463)1.44296.10777.84084.10891.3809x(x-0.0571)(x-0.463)(x-1.037)所以三次最佳一致逼近多項式為：28例10上的三次最佳一致逼近多項式。分析：要求f(x)的最佳一

15、致逼近多項式p3(x),即要使達到最小此時也達到最小是首項系數(shù)為1的四次多項式考慮到由切比雪夫性質(zhì)（定理6.7）知道，當取為首項系數(shù)為1的四次切比雪夫多項式 時，上與0的偏差最小。于是可取29例10（續(xù)）一般地，在區(qū)間-1，1上首項系數(shù)為an的n次多項式f(x)的n-1次最佳一致逼近多項式 -1，1 上首項系數(shù)為1的n次切比雪夫多項式若區(qū)間為a，b可1.先做區(qū)間變換:2.3.最后得到f(x)的n-1次最佳一致逼近多項式30第六章結 束31 上機練習題：不同擬合模型的比較 已知觀測數(shù)據(jù)如下表所示，按下述方案求最小二乘擬合函數(shù)，并求出偏差平方和Q，比較擬合曲線的優(yōu)劣。 方案I 擬合函數(shù)取為如下形式的三次