3-2 向量組的秩和最大無關(guān)組

1、一、向量組的秩和最大無關(guān)組3.2 向量組的秩和最大無關(guān)組二、等價向量組一、向量組的秩和最大無關(guān)組 設(shè) A 為一 n 維向量組( A 0), 則 A 的任一線性無關(guān)部分組所含向量個數(shù)不多于 n 個. 提示: 這是因為當(dāng) s n 時, n 維向量組 a1, , as 線性相關(guān). A 的線性無關(guān)部分組所含向量個數(shù)存在最大值: 存在正整數(shù) r, 使得 A 中有 r 個向量線性無關(guān), 而 A 中任意多于 r 個向量(若存在的話)線性相關(guān). 向量組的秩 設(shè) A 為一向量組, A 的線性無關(guān)部分組所含向量個數(shù)的最大值 r, 稱為向量組 A 的秩, 記為 R(A). 規(guī)定0的秩為 0. 向量組的最大無關(guān)組 設(shè)

2、向量組 A 的秩為 r, 如果 a1, , ar 為 A 的一個線性無關(guān)部分組, 那么稱 a1, , ar 為 A 的一個最大無關(guān)組. 最大無關(guān)組的性質(zhì) 設(shè) A 為一向量組, 則部分組 a1, , ar 為 A 的一個最大無關(guān)組的充分必要條件是(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 線性表示.(1) a1, , ar 線性無關(guān);必要性: 提示: 則向量 b 可由 a1, , ar 線性表示. 設(shè)向量組 a1, , ar 線性無關(guān), 若 a1, , ar, b 線性相關(guān),從略. 向量組的最大無關(guān)組 設(shè)向量組 A 的秩為 r, 如果 a1, , ar 為 A 的一個線性無關(guān)部分組, 那么稱

3、a1, , ar 為 A 的一個最大無關(guān)組. 最大無關(guān)組的性質(zhì) 設(shè) A 為一向量組, 則部分組 a1, , ar 為 A 的一個最大無關(guān)組的充分必要條件是(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 線性表示.(1) a1, , ar 線性無關(guān);于是設(shè) b1, , bs 為 A 中向量, s r.充分性: 存在數(shù) kij , 使得故 b1, , bs 線性相關(guān).因此 r 為秩, a1, , ar 為最大無關(guān)組.例1 設(shè) x1, , xn-r (r = R(A)為 n 元方程組 Ax = 0 的一個基礎(chǔ)解系, S 為 Ax = 0 的解集, 則因為基礎(chǔ)解系線性無關(guān), 且 S 中的任一向量可由基礎(chǔ)

4、解系線性表示,所以基礎(chǔ)解系是 S 的一個最大無關(guān)組. n 元方程組 Ax = 0 的解集 S 的秩等于 n - R(A). Ax = 0 的解集 S 的一個最大無關(guān)組也即基礎(chǔ)解系. 證明 若 x 滿足 Ax = 0,則 ATAx = 0. 若 x 滿足 ATAx = 0,則 xTATAx = 0,即 (Ax)T(Ax) = 0, 設(shè) aT = (a1, , an ), 則 提示: 綜上可知 Ax = 0 與 ATAx = 0 同解. 從而 Ax = 0.例2 證明 設(shè)其解集為 S, 則其中 n 為未知元的個數(shù). 初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關(guān)系.證明 設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等行變換化為矩陣 B

5、.設(shè)矩陣 A 的列向量組有一線性關(guān)系因矩陣 A 與 B 行等價,故方程組 Ax = 0 與 Bx = 0 同解.由此可知也有 定理1 記易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩為3, 定理1 初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關(guān)系.例3 設(shè)且有 且有 行最簡形矩陣的秩等于它的列向量組的秩. 矩陣的秩等于它的(行)列向量組的秩.注: R(a1, , am) 既表示向量組的秩, 也表示矩陣的秩.一個最大無關(guān)組為 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩為3,一個最大無關(guān)組為 a1, a2, a4, 秩與最大無關(guān)組的一個算法 化矩陣 A 為行最簡形 A0, 通過

6、觀察 A0, 便知 A 的列向量組的秩和一個特定的最大無關(guān)組, 以及 A 的其余列向量在該最大無關(guān)組下的線性表示. 易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩為3,例3 設(shè)且有 且有 一個最大無關(guān)組為 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩為3,一個最大無關(guān)組為 a1, a2, a4,解 且有例4 設(shè)(1) 求 a1, a2, a3, a4 的秩和一個最大無關(guān)組; (2) 求其余向量在此最大無關(guān)組下的線性表示.化矩陣 (a1, a2, a3, a4) 為行最簡形:向量組 a1, a2, a3, a4 的秩為2,一個最大無關(guān)組為a1, a2, 若向量組 B

7、中的任一向量都可由向量組 A中的向量線性表示, 就稱向量組 B 可由向量組 A 線性表示. 等價向量組 可以相互線性表示的兩個向量組, 稱等價向量組. 向量組的等價具有反身性、對稱性和傳遞性. 向量組的線性表示具有傳遞性: 線性表示 若向量組 C 可由向量組 B 線性表示, 向量組 B 可由向量組 A 線性表示, 則向量組 C 可由向量組 A 線性表示. 二、等價向量組 向量組與其最大無關(guān)組等價. 若 R(A) R(A, B) r,證明 設(shè) a1, , ar 為向量組 A 的一個最大無關(guān)組. 向量組 B 也可由 a1, , ar 線性表示.因此 a1, , ar 為向量組 (A, B) 的一個

8、最大無關(guān)組,因向量組 A 可由 a1, , ar 線性表示,線性表示的傳遞性知, 向量組 B 可由向量組 A 線性表示的充分必要條件是 定理3其中 (A, B) 表示向量組 A 與 B 的并集構(gòu)成的向量組.必要性:故由向量組從而當(dāng)然向量組 B 可由 a1, , ar 線性表示,的一個最大無關(guān)組,充分性:則 a1, , ar 為向量組(A, B)從而向量組 B 可由向量組 A 線性表示. 定理4 向量組 A 與向量組 B 等價的充分必要條件是 向量組 B 可由向量組 A 線性表示的充分必要條件是 定理3其中 (A, B) 表示向量組 A 與 B 的并集構(gòu)成的向量組.所以 R(A) R(A, B) 2.證明 例5 設(shè) 證明向量組 a1, a2 與向量組 b1, b2,