幾大放縮方法

1、高等（泰勒、定積分）放縮這種放縮其實(shí)是不難的，題目出來出去也就這么幾種，這種放縮類型的題在高考中尤其受歡迎，近幾年也頻頻出現(xiàn)，它有著濃厚的高等數(shù)學(xué)背景，大多跟泰勒展開和定積分有關(guān)，下面我們先簡(jiǎn)單介紹一下泰勒公式和定積分的知識(shí)。一 在初等數(shù)學(xué)中，我們可直接認(rèn)為泰勒公式是：f ( x)f ( x0 )f( x0 )( xx0 )f (2) (x0 ) ( xx0 )2.f ( n) (x0 ) (xx0 ) n1!2!n!特別的，取 x00 ，我們有f ( x)f (0)f(0) xf (2) (0)x2.f (n ) (0) xn1!2!n!下面列舉常見的泰勒展開式：x1xx2.xnoxne1!

2、2!n!x3x5n1sin xx.1x2 n 1ox2 n3!5!2n1 !x2x4ncosx1.1 x2 nox2 n 12!4!2n !tan xx1 x32 x5ox5315ln1xx1 x21 x3.1n1 xnoxn23n1x1xx2.xnoxn1上述泰勒展開式是用于函數(shù)放縮的有力工具，可以將一切難看的函數(shù) （ sin,cos,ln 等）轉(zhuǎn)化為一元多項(xiàng)式，便于導(dǎo)數(shù)求解。定積分其實(shí)從幾何圖形上理解就是求面積，比如求函數(shù)f ( x)x2 的圖像與 x 軸從 1 到 3 圍成的圖形的面積（如下圖）9y876543214 3 21Ox1234123431133180 。積分的運(yùn)算就相當(dāng)于導(dǎo)數(shù)

3、的逆陰影部分的面積 Sx2dxx3131313333運(yùn)算， 1 x3 求導(dǎo)就是 x2 , x2的原函數(shù)就是1 x3 ，所以放縮中就會(huì)利用構(gòu)造圖形比較面積大33小來出題，這時(shí)它的背景就是定積分，著名的2003 年江蘇高考?jí)狠S題就是典型的例子，后面會(huì)有介紹。二 相關(guān)不等式相關(guān)不等式其實(shí)也就是泰勒的產(chǎn)物， 這里單獨(dú)拎出來是有目的的， 這是因?yàn)橄旅嫠婕暗牟坏仁绞歉呖贾袠O為常見的，現(xiàn)在整理出來望讀者熟記?！皵?shù)學(xué)分析基本不等式”：對(duì) x0, 有不等式xln(1 x) x1x這條不等式非常常見，一般較為基本的高考題都以它作為命題背景。將 1x整體換成 t ，則有下面非常有用的不等式：1當(dāng) t1時(shí)，1lnt

4、t1t進(jìn)一步，我們將的右邊加強(qiáng)，可得x0 ， ln(1x)x不等式用導(dǎo)數(shù)證明很容易，此處不再贅述。我們?nèi)粼倮^續(xù)探索，又可會(huì)發(fā)現(xiàn)，還可以對(duì)的兩邊加強(qiáng)，有xxx ，1xx2xx2xxx2x 2 1 x00 ，所以有不等式：x 2 1 x( x 2)( x 1)x0,2xln(1x)xx21x同樣，不等式用導(dǎo)數(shù)證也很容易，請(qǐng)讀者自己一試。例 1 （2012江蘇高考填空壓軸）已知正數(shù) a,b, c滿足：5c3ab 4ca, c ln bac ln c,則 b 的取值范圍是 _a解答由b4 5c 3 )545(4c)7（abbaa再由 ln bln bln aaln a1(即 lnx x-1)baccc

5、c故 e,7a點(diǎn)評(píng)：熟悉背景的同學(xué)最多只需 1 分鐘就可以做完， 而采用標(biāo)準(zhǔn)答案線性規(guī)劃的做法起碼得花上 3、5 分鐘的時(shí)間，所以優(yōu)勢(shì)還是很明顯的。例 2（ 2012 遼寧高考21 題）設(shè) f (x)ln( x 1)x1 ax b ，曲線 yf (x) 與直線 y3x 在（ 0,0）處相切2（1）求 a, b 的值（2）證明：當(dāng) 0 x29x時(shí)， f ( x)x 6解答：第一問很簡(jiǎn)單，易得a0, b1。重點(diǎn)我們落在第二問，看到第二問，一個(gè)很樸素的想法就是構(gòu)造函數(shù)g( x)f ( x)9x ，證明 g (x) 在區(qū)間（ 0,2）中恒小于 0，但是這樣x6做的話會(huì)得到 g (x)2( x6) 2x

6、1( x6) 2128( x 1) ，接下來又要對(duì)分子換元再2( x1)( x6) 2求導(dǎo)，甚是麻煩，也不一定能做下去， 而當(dāng)年提供的兩種標(biāo)準(zhǔn)答案都涉及均值不等式的構(gòu)造，甚是巧妙， 但在緊張的考場(chǎng)上未必能想到。 這時(shí)我們?nèi)羰煜げ坏仁剑?則就可以把 ln 去掉，嘗試放縮建立新的加強(qiáng)的不等式，如下：ln(1x)1 x9x01x62ln1 x19xx 10 x6下一步嘗試把根號(hào)拿去，2(1x1)9x0 （利用不等式）1 x 1x61x3x16x令 t1 x ，則 t (1,3)，最后就交給二次函數(shù)了，事實(shí)上也證明結(jié)果是對(duì)的，讀者可自行驗(yàn)證。11L111n 1,nN .例3. 求證：132 n2n解析

7、 : 考慮函數(shù)f x1在區(qū)間 i ,i1i1,2,3, L, n 上的定積分 .x如圖，顯然11 1i 1iii1dx -（矩形面積大于曲線所圍面積）xn對(duì) i 求和，1ni 11 dxn 11dxi 1ii 1ix1x2 xn 12 n 1 1 .1例 4（ 2003 江蘇高考?jí)狠S題）設(shè) a0，如圖，已知直線 l : yax 及曲線 C ：yx2，C 上的點(diǎn)Q1的橫坐標(biāo)為a（ 0aa）.11從 C 上的點(diǎn) Qn n1 作直線平行于 x 軸，交直線 l 于點(diǎn) P n 1 ，再從點(diǎn) Pn 1 作直線平行于y 軸，交曲線 C 于點(diǎn) Qn 1. Qnn 1,2,L ,n的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an .（ ）

8、試求 an 1 與 an 的關(guān)系，并求 an的通項(xiàng)公式；（ ）當(dāng) a1, a11 時(shí)，證明n1 ；(akak1 ) ak 22k 132（ ）當(dāng) a1 時(shí)，證明n1(akak 1 )ak 2.k 13n 1解析 :（ l） ana( a1 ) 2（取對(duì)數(shù)遞推型數(shù)列，過程略）.a證明（ II）：由 a1知 an 121an ， a12， a21, a31 .416所以這個(gè)數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列，結(jié)論中又有(akak 1 ) ，顯然提示我們累加。 當(dāng) k1時(shí)， ak 2a31，16nak 1) ak 21 n(ak ak 1 )1an 1 )1 ( ak16 k 1(a1.k 11632證明（ ）：由

9、 a 1知 ak 1a k2n1n21(ak ak 1 )ak 2(ak ak 1 )ak 133k1k 1下面我們先證明一個(gè)引理：(akak 1 ) ak211 (ak3ak31 )3引理的證明：由 ak 1ak2，上式可轉(zhuǎn)化為ak5ak61 ak31 ak633由于 0 a11 ，所以數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，切對(duì)于任意正整數(shù)所以令 ak = x(0,1)，構(gòu)造函數(shù)n,都有 0an1f ( x)1 x31 x6x5x6 ,即 f ( x)1 x3x5 + 2 x63333變形得 f ( x)1 (1x)( x3x42x5 )3顯然 f (x)0 ，所以式成立，即引理得證！n21 n331 3

10、1所以3 k 1 ( ak3 a1k 1 (akak 1 )ak 1ak 1 )3點(diǎn)評(píng)： 很多同學(xué)都感到那個(gè)引理巧妙無比，都會(huì)納悶這個(gè)引理是怎么得出來的，題目中又沒給什么信息。 其實(shí)原理就是我講過的定積分，題目不是給了一張圖嗎？！這就是最有利的條件，再想想定積分是什么，不就是圖形面積嗎，( ak ak 1 )ak 2(akak 1 )ak21 恰表 示陰 影 部 分 面 積 ， 而 陰 影 面 積 是小 于 yx2 與 x 軸 圍 成 的 面積 的 ， 所 以 顯 然 有(akak 1)ak2 1aknnakx2dx ， 進(jìn) 一 步 即 得( ak ak 1 ) ak 2( ak ak 1 )

11、ak211k1k 1naka12dx11 ，所以引理跟定積分如出一轍，只是換了一種初等的表a13x2dxxkak 10331述方法罷了。例 5 設(shè)數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn ，且方程x2an xan0 有一根為 Sn1 ，試求解如下問題：（ 1） an 的通項(xiàng)公式（ 2）證明： (11 )(11 )(11 ).(11 )e2 n 3a1a2a3an解答：（ 1）首先把首項(xiàng)求出來，易知1a12Q an SnSn 1 ，再把 Sn1代入方程 x2an x an 0 中，易得Sn 1 Sn2Sn 10(Sn 1 1)Sn(Sn1) 0Sn1 (Sn1)(Sn 1 1) Sn 1111Sn 11

12、Sn11Snn，進(jìn)一步得 an1n(n1)n1（ 2）先進(jìn)行化簡(jiǎn)工作， (11 )(11 )(11 ).(11 )e2 n 3a1a2a3an(112)(12 3).1n(n1)e2n3n下面是套路，取個(gè)對(duì)數(shù)ln ，得ln1k( k1)2 n 3k1此時(shí)我們想到上面介紹的不等式x0, 2x2ln(1x)1x，所以有如下：xxln1 k( k1)2k( k1)k (k1)2nn所以順勢(shì)想下去得到ln1k (k1)k 1k 12k(k 1)n(24k (k 1) 2 k 1)k(k 1) 2n(24)k 1k (k1)n112n4() 2n 4k 1kk 1這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)放縮得有一咪咪過頭，那么再想

13、想前面講的保留開頭幾項(xiàng)再放縮，立馬我們改nn正為如下：ln1k (k1)k 1k 12k( k 1)n4(2)k( k 1) 2 k 1k(k 1) 24n42 nk 2 k( k 1)21(11)2n2 n 14k211() 2n 3kk 1綜上，原題圓滿解決！斷開分組放縮有些數(shù)列不等式切入口很小， 一不小心就放縮得過大， 而且很難對(duì)整串?dāng)?shù)列統(tǒng)一放縮， 這時(shí)我們就要將數(shù)列分成若干段， 對(duì)每段用不同的方法進(jìn)行放縮逼近， 最后再結(jié)合起來進(jìn)行證明，這種方法技巧性非常強(qiáng)， 需要根據(jù)每段的具體情況選取最適合它的放縮幅度最小的手段來放縮，下面就看幾個(gè)例子。例 1 設(shè)m為實(shí)數(shù)， m 表示不大于 m的最大整

14、數(shù)，m 表示 m的小數(shù)部分 ，則由定義知n( 1)i n 3 n m m m ，現(xiàn)證明如下：i 1i分析思路都是由淺入深的，看到題目第一個(gè)閃過的樸素的想法就是平凡估計(jì)每一項(xiàng)，這樣nnnnn一來ii( 1)i( 1)i1i 1ii 1 n n ，顯然放得過大， 因?yàn)槲覀儼衙恳豁?xiàng)小數(shù)部i分都放大到 1了，所以累計(jì)n 項(xiàng)之后誤差就大很多，那么我們能否建立 n 和n 之間的iinn( 1)i nnn( 1)i nn1)i n聯(lián)系呢？(1)i n =( 1)in(，但是兩i 1ii 1ii 1ii 1ii 1i個(gè)絕對(duì)值符號(hào)中的一長(zhǎng)串?dāng)?shù)列毫無規(guī)律可循， 根本求不出來， 所以盡量把一串化歸到一項(xiàng)上來，那么對(duì)

15、于單調(diào)遞增、正負(fù)交錯(cuò)的數(shù)列，我們可以采取下列處理方法：設(shè) a1a2.ak0, 則有a1a1a2a3a4.a1n1)i nn( 1)in而是不難證明的?；氐皆}，利用，(nn ，結(jié)果卻還i 1ii 1i是大失所望，放得更大了，原因在于n的第一項(xiàng) n太大了 ，而且放縮的項(xiàng)數(shù)太多，所以我i們考慮斷開分組放縮。n( 1)i nnnnnnn證明( 1)i( 1)i( 1)ii Sii Sii Sii Sinn2n+SSS故原式左邊(1)in( 1)ini S1iiSinnnnn( 1)i+( 1)i( 1)ii S 1iiSii Si( S1)2n（針對(duì)兩段數(shù)列用兩種不同的放縮方法）S接下來就是解方程的

16、事了，( S1)2n3n 。S事實(shí)上，我們?nèi)?S13nn16n , 13nn16n 即可滿足。22n記 k11例 2 設(shè)a1, a2 ,., an是正數(shù)，ai是滿足aj的a j的個(gè)數(shù)，求證：1,i2i2i 1i1ki2log2 n2ii 1分析 先盡可能地挖掘題目的信息，容易知道，k1k2.ksn(s為已知的常數(shù)） ，所skii以不等號(hào)的左邊其實(shí)也就是，看到根號(hào)很自然想到兩種基本的放縮法，均值和柯西，i12此處我們稍加衡量決定用柯西，原因是什么呢？我們來看看：ski2ss1ki2i2ii 1i 1i 1n 1n故左邊n 。skis1111（注意 :若用均值估計(jì)：(k i)n，則得到的結(jié)果更弱）ii222i12i12這是因?yàn)閗i1ki1，所以柯西的放縮更接近取等條件。2i2i但是還是放得有點(diǎn)大，這時(shí)我們回到“ki 是滿足1a j11 的 a j的個(gè)數(shù) ”這個(gè)ii22111s1條件，把每個(gè) a j1 均縮小到ki1。i ,2i2i,得不等式2i2i1