計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的課件

1、第2講 系統(tǒng)建模的基本方法與模型處理技術(shù)相似原理 、建模方法學(xué) 建立數(shù)學(xué)模型的方法：連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)用建模舉例:控制系統(tǒng)建模、幾何建模、磁場(chǎng)建模、流體力學(xué)建模、建模等連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理Simulation Study仿真是指利用模型對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的過程，或者說，仿真是一種通過模型實(shí)驗(yàn)揭示系統(tǒng)原型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法。數(shù)據(jù)相似原理為了研究實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，常常要采用數(shù)據(jù)相似的原理。數(shù)據(jù)相似原理的主要表現(xiàn)在：描述原型和模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式在形式上完全相同。變量之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系且成比例。一個(gè)表達(dá)式的變量被另一個(gè)表達(dá)式中相應(yīng)變量置換后，表達(dá)式對(duì)應(yīng)各項(xiàng)的系數(shù)保持相

2、等。數(shù)據(jù)相似原理 環(huán)境相似 就是人工在實(shí)驗(yàn)室里產(chǎn)生與所研究對(duì)象在自然界中所處環(huán)境類似的條件，比如飛機(jī)設(shè)計(jì)中的風(fēng)洞，魚雷設(shè)計(jì)中的水洞、水池等等。 性能相似 則是用數(shù)學(xué)方程來表征系統(tǒng)的性能，或者利用數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，來模仿該數(shù)學(xué)方程所表征的系統(tǒng)。性能相似原理也是仿真技術(shù)遵循的基本原理。 幾何相似 就是把真實(shí)系統(tǒng)按比例放大或縮小，其模型的狀態(tài)向量與原物理系統(tǒng)的狀態(tài)完全相同。土木建筑、水利工程、船舶、飛機(jī)制造多采用幾何相似原理進(jìn)行各種仿真實(shí)驗(yàn)。連續(xù)系統(tǒng)仿真中的數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)仿真中的數(shù)學(xué)模型有很多種，但基本上可分為三類：連續(xù)時(shí)間模型、離散時(shí)間模型及連續(xù)離散混合模型。 系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間模型通常可以有以下幾種表

3、示方式：常微分方程，傳遞函數(shù)，權(quán)函數(shù)，狀態(tài)空間描述，框圖。數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換如控制系統(tǒng)仿真的過程控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真就是以控制系統(tǒng)的模型為基礎(chǔ)，采用數(shù)學(xué)模型代替實(shí)際的系統(tǒng)，以計(jì)算機(jī)為主要工具，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究的一種方法。 通常，采用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)仿真的過程有以下幾個(gè)方面：建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立控制系統(tǒng)的仿真模型編制控制系統(tǒng)的仿真程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)并輸出仿真結(jié)果基本控制方式 1.開環(huán)控制: 指系統(tǒng)的輸出量對(duì)系統(tǒng)不產(chǎn)生控制作用的控制方式. 開環(huán)控制有兩種情形 ：1）按給定值控制; 輸出輸入控制器被控對(duì)象2）按擾動(dòng)補(bǔ)償控制(/順饋控制) 輸入控制器被控對(duì)象補(bǔ)償環(huán)節(jié)擾動(dòng)控制系

4、統(tǒng)建模2. 閉環(huán)控制(/反饋控制): 指系統(tǒng)的輸出信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的控制作用有直接影響的控制方式. 輸出檢測(cè)元件輸入控制器被控對(duì)象3. 復(fù)合控制: 指閉環(huán)控制與開環(huán)控制相結(jié)合的控制方式. 或者說, 是偏差控制和順饋控制相結(jié)合的控制方式.實(shí)例系統(tǒng)分析（1）、請(qǐng)?jiān)趫D1中標(biāo)示出a、b、c、d 應(yīng)怎樣連接才能成為負(fù)反饋系統(tǒng)？（2）、試畫出系統(tǒng)的方框圖，并簡(jiǎn)要分析系統(tǒng)的工作原理。 例題1： 下圖是一電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)工作原理圖：KM+E 給定u r 放大器 觸發(fā)器 整流器 電抗器 電動(dòng)機(jī) 負(fù)載 測(cè)速發(fā)電機(jī) a b c + u fd u a n解： 、 a與d，b與c分別相連， 即可使系統(tǒng)成為負(fù)反饋系統(tǒng)； 、

5、系統(tǒng)方框圖為： u fun給定u r放大器觸發(fā)器整流器電動(dòng)機(jī)負(fù)載測(cè)速發(fā)電機(jī)例題2：下圖是一電爐溫度控制系統(tǒng)原理示意圖。試分析系統(tǒng)保持電爐溫度恒定的工作過程，并指出系統(tǒng)的被控對(duì)象、被控量以及各部件的作用，最后畫出系統(tǒng)方塊圖。 電爐給定電壓 電壓放大 功放 調(diào)壓裝置 220V 電阻絲 熱電偶 解： 、系統(tǒng)工作過程及各部件的作用（略）；、 系統(tǒng)方框圖為： 、被控對(duì)象：電爐； 被控量：電爐爐溫； u fuT給定u r放大器調(diào)壓器電阻絲電 爐熱 電 偶控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 1關(guān)于控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型定義：用以描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式2. 形式：時(shí)域模型（t）：微分/差分/狀態(tài)方程等；復(fù)

6、域模型（s=+j）：傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖；頻域模型（）：頻率特性。3 建模方法及步驟 方法：分析法（主）和實(shí)驗(yàn)法； 步驟： 確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量； 從輸入端開始，依次列寫各元件/環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程式（如微分方程）； 消去中間變量，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)注形式。 注：標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程中的系數(shù)通過系統(tǒng)的參數(shù)化具有一定物理意義系數(shù)的一種表達(dá)形式。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 動(dòng)態(tài)元件：電容、電感關(guān)于電容元件的說明(1) 線性電容元件的定義式為 ，該式對(duì)應(yīng)于u,q取“一致的參考方向”，即電壓極性為正的極板上帶正電荷，如圖所示

7、。(2) 當(dāng)電壓，電流取關(guān)聯(lián)正向時(shí)，電容元件的伏安關(guān)系式為 ，或(3) 電容元件的電流比例于電壓的變化率，這是電容元件與電阻元件的一個(gè)重要不同之處。稱電容元件為動(dòng)態(tài)元件。 ，其中 ，該式說明，當(dāng)前時(shí)刻t 的電容電壓不僅與現(xiàn)實(shí)的電流相關(guān)，而且與以前電流的作用情況有關(guān)，即它具有記憶電流作用的本領(lǐng)，故稱電容元件為“記憶元件”。(6) 當(dāng)電容電流為有界函數(shù)時(shí)，電容電壓不可能發(fā)生“突變”（或跳變），只能連續(xù)變化，稱之為電容電壓的連續(xù)性，這是電容元件一個(gè)很重要的性質(zhì)。(7) 電容元件中儲(chǔ)藏的電場(chǎng)能量計(jì)算式為(8) 由于在任意時(shí)刻t，均有 =0，這表明電容元件是無源元件。同時(shí)它能存儲(chǔ)電場(chǎng)能量，但不消耗能量，

8、故電容元件是非耗能元件，且稱它為“儲(chǔ)能元件”。 在直流電路中，通過電容的電流恒為零，稱之為電容元件的“隔直作 用”；而在電路工作頻率極高時(shí)，電容元件兩端電壓近似為零，即相 當(dāng)于“短路”。關(guān)于電感元件的說明(1)當(dāng)電流和磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則時(shí)，線性電感元件的定義式為(2)當(dāng)電感元件的電壓，電流為關(guān)聯(lián)正向時(shí)，其伏安關(guān)系式為 或 (3) 由電容，電感元件的伏安關(guān)系式可知， 具有類比性，稱電感，電容元件為對(duì)偶元件。(4) 電感元件也是動(dòng)態(tài)元件。在直流電路中，電感元件兩端的電壓為零，相當(dāng)于短路；而當(dāng)電路的工作頻率極高時(shí)，電感元件近似為“開路”。(5) 當(dāng)電感元件兩端的電壓為有界函數(shù)時(shí)，電感電流

9、不能跳變，稱之為電感電流的連續(xù)性。(6)電感元件是儲(chǔ)能元件，其儲(chǔ)能的磁場(chǎng)能量的計(jì)算式為(7)與電容元件相似，電感元件是無源元件，亦是非耗能元件。 動(dòng)態(tài)元件：電容、電感4 實(shí)例分析 例題1：RC無源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u(píng)1為輸入量，u2為輸出量列寫該網(wǎng)絡(luò)的微分方程式。 i2C1C2R2R1u1u2i 1解： u1為輸入量，u2為輸出量； 設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示；則有： i1 R1+(i1i2)dt/C1 = u1 i2 R2+ (i2dt)/C2=(i1i2)dt /C1 (i2dt) /C2 = u2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 消去中間變量i1，i2后，化為標(biāo)準(zhǔn)形式： R1R2C1

10、C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例題2： 在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1，uc（0）=0.1V, i(0)=0.1A, ur(t)=1V。試求電路在通電瞬間uc（t）的變化規(guī)律。 u c（t）u r（t）CLR解：求得該電路的微分模型： 對(duì)上式兩邊求拉氏變換： LCs2Uc(s)-suc(0)-u c(0) +RCsUc(s)-uc(0)+ Uc(s) = Ur(s) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由于 u c（0）= u c（t）t=0 =i（0）/C 將已知各條件代入后有： （s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2

11、)即通電瞬間, ur（t）=1 或 Ur（s）=Lur（t）=1/S 故再對(duì)上式兩邊求反拉氏變換： =1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例題3：已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為 其中x（t）, y（t）分別為輸入、輸出量,且知x（t）=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y（t）的表達(dá)式. 解: 對(duì)微分方程兩邊求拉氏變換： s2Y（s）-s y (0-)- y(0-)+2sy（s）- y (0-)+2Y（s）= X（s） 代入已知條件，注意X（s）=Lx（t）=L(t)=1 整理后得：Y（s）=1/（s

12、2+2s+2） 故 y（t）= L-1Y（s）= L-11/（s2+2s+2） 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 =1/2j L-1 1/（s+1-j）-1/（s+1+j）=1/2j e-（1-j）- e-（1+j） = e-tSint幾何建模幾何建模,劃分網(wǎng)格磁場(chǎng)建模：例如，波動(dòng)解存在的判據(jù)及方程分類 以平面電磁波為例，基本方程及求解過程如下：判據(jù)：可化為波動(dòng)方程的物理系統(tǒng)存在波動(dòng)解；問題：只適合具有單一波動(dòng)模式的線性系統(tǒng)。 求形如 exp(ikx-it) 的波動(dòng)解： 直接從原一階偏微分方程組出發(fā)：存在非零解（非平凡解）的充分必要條件是 其中 為實(shí)數(shù)。注意， 即為系數(shù)矩陣 A 的本征值。判據(jù)：系數(shù)矩陣存在

13、實(shí)本征值的系統(tǒng)存在波動(dòng)解，本征值 即波的相速度。一階偏微分方程組分類：雙曲型；橢圓型；廣義雙曲型流體力學(xué)建模 流體的物理量：任意空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的物理量在任意時(shí)刻都有確定的數(shù)值，即流體的物理量是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，如： =(x,y,z,)； u=u(x,y,z,)；t=t(x,y,z, ) 密度場(chǎng) 速度場(chǎng) 溫度場(chǎng)描述流體性質(zhì)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理量很多，如密度、壓力、組成、速度、溫度等。據(jù)連續(xù)介質(zhì)假定，任何空間點(diǎn)上流體的物理量都是指位于該點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量。如密度：流體力學(xué)建模質(zhì)量守恒方程： 該方程是質(zhì)量守恒的總的形式，可以適合可壓和不可壓流動(dòng)。源項(xiàng) S m是稀疏相增加到連續(xù)相中的質(zhì)量，（如

14、液體蒸發(fā)變成氣體）或者質(zhì)量源項(xiàng)（用戶定義）。對(duì)于二維軸對(duì)稱幾何條件，連續(xù)方程可以寫成：式中，x是軸向坐標(biāo)；r 是徑向坐標(biāo)，u和v分別是軸向和徑向速度分量。流體力學(xué)建模動(dòng)量守恒方程：慣性坐標(biāo)系下，i方向的動(dòng)量守恒方程為：式中，p是靜壓； t ij是應(yīng)力張量，定義為：pg i ， F i 是重力體積力和其它體積力（如源于兩相之間的作用）， F i 還可以包括其它模型源項(xiàng)或者用戶自定義源項(xiàng)。微分方程 最基本、最重要的數(shù)學(xué)模型是微分方程，它反映了元部件或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行的規(guī)律。建立數(shù)學(xué)模型常見的方法是解析法和實(shí)驗(yàn)法等。 解析法是根據(jù)系統(tǒng)及元部件中各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律，列出系統(tǒng)各變量之間數(shù)學(xué)表達(dá)

15、式，然后建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型； 實(shí)驗(yàn)法是采用某些檢測(cè)儀器，在現(xiàn)場(chǎng)對(duì)控制系統(tǒng)加入特定信號(hào)，對(duì)輸出響應(yīng)進(jìn)行測(cè)量和分析，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 微分方程模型控制系統(tǒng)微分方程建立的一般步驟采用解析法來建立微分方程所遵循的一般步驟是：（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。（2）根據(jù)物理和化學(xué)定律（比如：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系式。（4）消去原始方程式的中間變量，得到一個(gè)關(guān)于輸入、輸出的微分方程式。（5）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將輸出各項(xiàng)放在等號(hào)左端，輸入各項(xiàng)放在等號(hào)右端，

16、并且按照微分方程的階次降冪排列，同時(shí)將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。 解：在RLC串聯(lián)電路中，輸入電壓Ur為系統(tǒng)的輸入量，輸出電壓c為系統(tǒng)的輸出量。根據(jù)克希霍夫定律，可以得到回路的電壓方程如下：【例】RLC串聯(lián)電路，建立該系統(tǒng)的微分方程。 回路的電壓方程：電容兩端的電壓為：中間變量為： 建立該系統(tǒng)的微分方程帶入原始方程中，消去中間變量，并移項(xiàng)整理得： 該式即為RLC串聯(lián)電路的微分方程。 線性微分方程的求解采用拉普拉斯變換求解微分方程的步驟（1）將系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到以S為變量的代數(shù)方程，也稱為變換方程。（2）求解變換方程，得到系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達(dá)式。（3）將輸出的象函數(shù)

17、表達(dá)式展開成部分分式。（4）對(duì)部分分式進(jìn)行拉普拉斯反變換，即可得到系統(tǒng)微分方程的解。已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為其中x(t), y(t)分別為輸入、輸出量, 且知x(t)=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y(t)的表達(dá)式. 解: 對(duì)微分方程兩邊求拉氏變換： s2Y(s)-s y(0-)- y(0-)+2s Y(s)- y (0-)+2Y(s)= X(s)代入已知條件，注意X(s)=Lx(t)=L(t)=1整理后得： Y(s)=1/(s2+2s+2)故 y(t) = L-1Y(s)= L-11/(s2+2s+2) =1/2j L-1 1/(s+1-j)-1/(s+1+j) =1/2j e

18、-（1-j）- e-（1+j） = e-t Sin(t)傳遞函數(shù)的概念1. 傳遞函數(shù)的定義 對(duì)于一個(gè)線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 表示為：2. 傳遞函數(shù)的求取 按照傳遞函數(shù)的定義，利用系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行相應(yīng)的拉氏變換，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。3. 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 根據(jù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式的分析，傳遞函數(shù)具備下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或元部件動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，在形式上與系統(tǒng)的微分方程一一對(duì)應(yīng)。（2）傳遞函數(shù)只表明輸入變量與輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，不能夠反映出系統(tǒng)內(nèi)部的信息。（3）傳遞函數(shù)只能直接反映

19、系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)在給定工作點(diǎn)處是相對(duì)靜止的；若系統(tǒng)處于非零初始狀態(tài)下，則傳遞函數(shù)無法反映系統(tǒng)的特性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，需要作其它方面的處理。傳遞函數(shù)的性質(zhì)（4）傳遞函數(shù)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)確定，而與輸入信號(hào)的形式無關(guān)，它反映了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)。對(duì)于同一系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量和輸出量時(shí)其傳遞函數(shù)是不同的。（5）同一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)于不同作用點(diǎn)的輸入信號(hào)和不同觀測(cè)點(diǎn)的輸出信號(hào)之間，傳遞函數(shù)具有相同的分母多項(xiàng)式，所不同的是分子多項(xiàng)式。在分析系統(tǒng)性能時(shí)，常將傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，它決定著系統(tǒng)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。（6）實(shí)際系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式階次n總

20、是大于分子多項(xiàng)式階次m，這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)總是存在“慣性”，且外部提供的能量是有限的。 （7）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，無法直接由它看出實(shí)際系統(tǒng)的物理構(gòu)造，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)表示。 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)通常，控制系統(tǒng)是由若干元部件有機(jī)組合而成的，從結(jié)構(gòu)和作用原理來看，可以有各種各樣的不同元部件，但是從動(dòng)態(tài)性能和數(shù)學(xué)模型來看，可以分為幾個(gè)基本的典型環(huán)節(jié)。不管元部件是機(jī)械式、電氣式、液壓式等，只要其數(shù)學(xué)模型一樣，它們就可以歸納為同一個(gè)環(huán)節(jié)，這樣給分析、研究系統(tǒng)性能帶來很多方便。 常用的典型環(huán)節(jié)主要有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等6種形式。1.

21、 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)也稱為放大環(huán)節(jié)，其特點(diǎn)是環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比。傳遞函數(shù)為： 其中k為放大系數(shù)。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)2. 慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： k為傳遞系數(shù)；T為慣性時(shí)間常數(shù) 3. 一階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)為： 為微分時(shí)間常數(shù) 理想的微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為： 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)4. 積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為： 式中， 稱為積分時(shí)間常數(shù)。 5. 振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為： 其中T為時(shí)間常數(shù)， 為阻尼系數(shù)，也稱為阻尼比， 稱為無阻尼自然振蕩頻率。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 6. 延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是具有時(shí)間上的延遲效應(yīng)，當(dāng)輸入量作用后，在給定一段時(shí)間之前，延遲環(huán)節(jié)的輸出量一直未變化，只有到達(dá)延遲時(shí)間以后

22、，環(huán)節(jié)的輸出量才無偏差的復(fù)現(xiàn)原信號(hào)。 延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： 例題:在右圖中，已知L=1H，C=1F，R=1。試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。 u c（t）u r（t）CLR解：求得該電路的微分模型：對(duì)上式兩邊求拉氏變換： LCs2Uc(s)-s uc(0)-u c(0) +RCs U c(s)- uc ( 0)+ U c(s) = Ur(s) 即LCs2Uc(s) + RCs U c(s)+ U c(s) = Ur(s) 故 G(S) = U c(s)/ Ur(s) =1/ LCs2 + R Cs+ 1 = 1/(s2+s+1)例題: 求右圖所示電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(S)。C2R2R1C1u1u

23、2Z2Z1U1U2C2R2R1C1u1u2解： 將電源等效為復(fù)阻抗電路 Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）； Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2S+1）/C2S； G(S)=U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2） = (R1C1S+1)(R2C2S+1)/(R1C1S+1)(R2C2S+1)+ R1C2S 狀態(tài)空間描述 狀態(tài)方程： 根據(jù)分析，對(duì)于某一特定系統(tǒng)（可以是線性或非線性的、定?；驎r(shí)變的），當(dāng)引入n個(gè)狀態(tài)變量，將其化為n個(gè)一階微分方程組的形式，再對(duì)其采用矩陣描述，可以得到如下表達(dá)式： . X=AX+BU Y=CX 其中： A狀態(tài)變量系數(shù)矩陣 B輸入變量系數(shù)

24、矩陣 C輸出變量系數(shù)矩陣數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換 在實(shí)際工程中，由于要解決系統(tǒng)如自動(dòng)控制問題所需要的數(shù)學(xué)模型與該問題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，也可能是要解決問題最簡(jiǎn)單而又最方便的方法所用到的數(shù)學(xué)模型與該問題所給定的已知數(shù)學(xué)模型不同，此時(shí)，就需要對(duì)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 另外，在不同的應(yīng)用場(chǎng)合，由于實(shí)際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形式各異，在仿真時(shí)要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換，即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程序能夠處理的模型形式。 通常，系統(tǒng)的微分方程作為描述動(dòng)態(tài)性能的基本形式，當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時(shí)，又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，而在計(jì)算機(jī)中，利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最方便。所以，討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換具

25、有實(shí)際的指導(dǎo)意義。經(jīng)典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學(xué) 在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)仿真，首先要將連續(xù)模型離散化，因此，首先討論離散化原理及要求，這是連續(xù)系統(tǒng)仿真的基礎(chǔ)。 離散化原理及要求 從根本意義上講，數(shù)字計(jì)算機(jī)所進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算僅僅是“數(shù)字”計(jì)算，它表示數(shù)值的精度受限于字長(zhǎng)，這將引入舍入誤差；另一方面，這種計(jì)算是按指令一步一步進(jìn)行的，因而，還必須將時(shí)間離散化，這樣就只能得到離散時(shí)間點(diǎn)上系統(tǒng)性能。用數(shù)字仿真的方法對(duì)微分方程的數(shù)值積分是通過某種數(shù)值計(jì)算方法來實(shí)現(xiàn)的。任何一種計(jì)算方法都只能是原積分的一種近似。因此，連續(xù)系統(tǒng)仿真，從本質(zhì)上是對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)從時(shí)間、數(shù)值兩個(gè)方面對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行離散化，并選擇合適的數(shù)值

26、計(jì)算方法來近似積分運(yùn)算，由此得到的離散模型來近似原連續(xù)模型。 離散化原理 設(shè)系統(tǒng)模型為： ，其中u(t)為輸入變量，y(t)為系統(tǒng)變量；令仿真時(shí)間間隔為h，離散化后的輸入變量為 ，系統(tǒng)變量為 ，其中 表示t=kh。如果 ， 即 ， （對(duì)所有k=0,1,2,），則可認(rèn)為兩模型等價(jià)，這稱為相似原理 。離散化原理實(shí)際上，要完全保證 是很困難的。進(jìn)一步分析離散化引入的誤差，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，由計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)引入的舍入誤差可以忽略，關(guān)鍵是數(shù)值積分算法，也稱為仿真建模方法。相似原理用于仿真時(shí)，對(duì)仿真建模方法有三個(gè)基本要求：（1）穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后得到的仿真模型也應(yīng)是穩(wěn)定的。 （2）準(zhǔn)

27、確性：有不同的準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，最基本的準(zhǔn)則是： 絕對(duì)誤差準(zhǔn)則： 相對(duì)誤差準(zhǔn)則：其中 規(guī)定精度的誤差量。 離散化原理（3）快速性：如前所述，數(shù)字仿真是一步一步推進(jìn)的，即由某一初始值出發(fā)，逐步計(jì)算，得到，每一步計(jì)算所需時(shí)間決定了仿真速度。若第k步計(jì)算對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)時(shí)間間隔為計(jì)算機(jī)由計(jì)算需要的時(shí)間為Tk，則，若Tk=hk稱為實(shí)時(shí)仿真，Tkhk稱為超實(shí)時(shí)仿真，而大多數(shù)情況是Tkhk ，對(duì)應(yīng)于離線仿真。 數(shù)值積分法原理連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真中離散化最基本的算法是數(shù)值積分算法。對(duì)于形如 的系統(tǒng)，已知系統(tǒng)變量y的初始條件y(t0)=y0，現(xiàn)在要求y隨時(shí)間變化的過程y(t)。計(jì)算過程可以這樣考慮：首先求出初始點(diǎn)的y(t

28、0)= y0的f(t0 , y0)，微分方程可以寫作：數(shù)值積分法原理_歐拉法歐拉法用矩形面積近似表示積分結(jié)果，也就是當(dāng)t=t1時(shí)，y(t1)的近似值為 y1 ：重復(fù)上述作法，當(dāng)對(duì)任意時(shí)刻t=tk+1時(shí)有： 令 稱為第 步的計(jì)算步距。若積分過程中步距不變 ，可以證明，歐拉法的截?cái)嗾`差正比于 。 數(shù)值積分法(微分方程初值問題數(shù)值計(jì)算法):微分方程在已知初值情況下進(jìn)行求解數(shù)值積分方法采用遞推方式進(jìn)行運(yùn)算，而采用不同的積分方法會(huì)引進(jìn)不同的計(jì)算誤差，為了提高計(jì)算精度，往往會(huì)增加運(yùn)算量。就同一種積分算法而言，為提高計(jì)算精度，減小積分步距,計(jì)算量增大，影響系統(tǒng)運(yùn)算速度。因此，計(jì)算精度和速度是連續(xù)系統(tǒng)仿真中常迂到的一對(duì)矛盾，也是數(shù)字仿真中