例題講解概率統(tǒng)計課件

1、四、設(shè)隨量X 的概率密度函數(shù)為求(1) a 的值;1量X 的密度函數(shù)為四、已知連續(xù)型隨求(1) A ;2量X 的密度函數(shù)為四、已知連續(xù)型隨3作業(yè):P64習(xí)題2.5(11)設(shè)某儀器裝了3個獨立工作的同型號電子元件, 其(:小時)都服從同一指數(shù)分布, 密度函數(shù)為 x 600 ,1f ( x) x 0其他e 6000,試求此儀器在最初使用的200小時內(nèi)至少有一個此種電子元件損壞的概率解: 設(shè)X 表示電子元件的,x600 ,則X 的分布函數(shù)為F ( x) 1 ex 0其他0, 1 P( X 200) F (200) 1 e3設(shè)Y 表示3個電子元件中在最初使用的200小時內(nèi)損壞的個數(shù), 1 1 13 )

2、,3 )3k ,即P(Y k) C k(1 e3 )k (e(k 0,1,2,3)則YB(3, 1 e3 1 1 1 0.6321.從而P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C 0 (1 e3 )0 (e3 )3 1 e34例題與講解例3: 若( X ,Y ) 求:(1)常數(shù)c;(2) P(0 X 1, 0 Y 1);(3)分布函數(shù)F ( x, y);(4) P( X ,Y ) D), 其中D : 2 x 3 y 6.( 2 x3 y )0,x 0, y 0其他6e,f ( x , y) ( X ,Y ) 5f ( x , y) ce(2x3 y ) ,x 0, y 00,其他(4) P( X

3、,Y ) D), 其中D : 2 x 3 y 6.P( X ,Y ) D) f ( x, y) dxdyD:2 x 3 y6 6e( 2 x 3 y )dxdyyD16 2 x23( 2 x 3 y )dx6edy3006 2 xOx332 x3 y6 eedydx30062 x303 2 x 3 y 2e(e)dx0y 6 2 x3D : 0 x 3, 0 2 xe6 ) dx 2(e1303 1 7e6 . ( e2 x 2e6 x)066e( 2 x 3 y )D1例題與講解例4: 設(shè)( X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)為1 e xe y e x y ,0,x 0, y 0其他F ( x, y

4、) 求( X ,Y )的密度函數(shù) f ( x, y) .F ( x, y) e xe x y ,解: 當x 0, y 0 時, x 2F ( x, y) e x y ,x ye x y ,x 0, y 0 f ( x, y) .0,其他72. 二維連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度定理: 若( X ,Y ) f ( x, y),則f1( x) 0證明:顯然且對任意的a b, 有P(a X b) P(a X b, Y )f ( x, y) dydxb a X f ( x) f ( x, y)dy,另一個同理可證.1量, 聯(lián)合確定了邊緣,對連續(xù)型的隨反之不真.8Y f ( y) f ( y) f ( x

5、, y)dxY2 X fX (x) f1 ( x) f ( x, y)dy例題與講解例1: 設(shè)隨機向量( X ,Y )服從區(qū)域 D上的均勻分布, 其中D (x, y) 1 x 1, 1 y 1,求X ,Y的邊緣密度函數(shù) f1 ( x) 和 f2 ( y). 1解:由題意得: f ( x, y) 4 , | x | 1, | y | 1 f ( x, y)dy而 f (x) ,1 0其他1 dy 1 ,1f ( x) 1 4當| x | 1時,當| x | 1時,f ( x, y)dy12 f1( x) 0 ,f ( x, y) 0, f ( x) 1 ,1 ,| x | 1| y | 1f2

6、( y) ,20 ,同理:20 ,1| x | 1| y | 1X , Y 分別服從一維均勻分布9例題與講解例2: 設(shè)隨機向量( X ,Y )服從區(qū)域 D上的均勻分布, 其中x2 y2 1,D (x, y)求X ,Y的邊緣密度函數(shù) f1 ( x) 和 f2 ( y).y 1 ,x2 y2 1其他解: 由題意得: f (x, y) 0,f1 ( x) f ( x, y)dyf1( x) f ( x, y)dy當| x | 1時,x 1O11 x211 x22 dy ,1 x2 f1( x) 0,f ( x, y) 0,當| x | 1時,同理 2 1 y2f ( y) ,| y | 120,|

7、y | 110 2 1 x2 ,| x | 1f ( x) 10,| x | 1y 1 x 2y 1 x2此題中的X , Y 均從一維均勻分布因此: 二維均勻分布的邊緣勻分布不一定是一維均勻分布對于連續(xù)型隨機向量, 在由聯(lián)合密度求邊緣密度時,要去求聯(lián)合密度的積分. 當聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候, 在計算積分時應(yīng)特別注意積分限的選取.11例題與講解例3: 設(shè)D (x, y)x2 y 1, x 0 ,隨機向量(X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為:(書例)(3)邊緣密度 fX ( x) 和fY ( y).(2)P ( X 1 , Y 1);求(1) A的值;2f ( x, y)dxdy 2Dy(1)Ax

8、 ydxdyy解:y 1(1,1)121( x101Axydy A)dxy x2dxx202x2x0126 A( x x )21D : 0 x 1, x y 1 A(41200A6( x, y) D其他6x y , A 6. 1,此時 f ( x, y) 0 ,12Df ( x, y) Ax y ,( x, y) D0 ,其他例題與講解例3: 設(shè)D (x, y)x2 y 1, x 0,隨機向量(X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為:求(1) A的值; (2) P( X 1 , Y 1);(3)邊緣密度 fX (x) 和fY ( y).22解:(2)P( X 1 ,Y 1 ) f ( x, y)dxdy

9、2211y 1( x, y ) x, y(1,1)22 D2y x 6 xydxdyD11213f ( x, y) Ax y ,( x, y) D0 ,其他例題與講解例3: 設(shè)D (x, y)x2 y 1, x 0 ,隨機向量(X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為:求(1) A的值; (2)P ( X 1 , Y 1);(3)邊緣密度 fX ( x) 和fY ( y).22解: (3) 當0 x 1時,y1x 21y 1x 26 xy dy 3 x y2f ( x) f ( x, y) dy(1,1)1y x2 3 x(1 x4 )當x 0或 x 1時,x0f1( x) f ( x, y) dy 0,

10、 f ( x) 3 1其他,10 ,14Df ( x, y) Ax y ,( x, y) D0 ,其他例題與講解例3: 設(shè)D (x, y)x2 y 1, x 0,隨機向量(X,Y ) 的聯(lián)合概率密度為:求(1) A的值; (2) P( X 1 , Y 1);(3)邊緣密度 fX (x) 和fY ( y).22解: (3) 當0 y 1時,yyy 6 xy dx 3 y x 2y 1f ( y) f ( x, y)dx(1,1)200y x2 3 y 2當y 0或 y 1時,x0f ( x) f ( x, y)dx 0,220 x 13 y, f ( y) .20 ,其他15Df ( x, y)

11、 Ax y ,( x, y) D0 ,其他3.1.4隨量的獨立性量的獨立性, 這里隨機以隨機事件的獨立性定義隨變量至少有兩個, 所以涉及到的是隨機向量.定義: 若對任意的實數(shù) x, y, 有:P ( X x, Y y ) P ( X x) P (Y y),即有:F( x, y) FX ( x) FY (x), 稱隨量 X , Y 相互獨立.( X , Y )離散型定理: X , Y 相互獨立 ( X , Y )連續(xù)型要判斷X , Y 是否相互獨立, 必須求出聯(lián)合分布和邊緣分布.性質(zhì): 若 X 與Y 相互獨立, 則它們的連續(xù)函數(shù) g(X )與h(Y ) 也相互獨立.特別有:若 X 與Y 相互獨立

12、, 則aX b 與cY d 相互獨立.(其中a, b, c, d為常數(shù), 且a 0, c 0)16f ( x, y) f1( x) f2 ( y)( x, y) R2pi j pi. p. j(i, j 1,2,)例題與講解例1: 設(shè)( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律如下, 判斷X ,Y 的獨立性. 1 3 3 ,pp 0 p解:0.10184323即P ( X 0,Y 1) 0 P( X 0) P(Y 1) X ,Y 不是相互獨立的.3217YXP(X xi )01 813 823 8301 81 8P(Y yj )3 41 4例題與講解例2: 袋中有5個球, 其中2白3黑, 每次任取一只, 連

13、續(xù)兩次,記X 0第一次取白球第一次取黑球Y 0第二次取白球第二次取黑球 1 1分別求有放回和無放回取球時, ( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布.并判斷X ,Y 的獨立性.解: 有放回時:無放回時:與實際情況相符 pi j 4 1 pi . p. j p00p0 . p.0(i, j 0,1),2510 X ,Y 相互獨立. X ,Y 不是相互獨立.18X Y01pi .0 1 10 3 10251 3 10 3 1035p. j2535X Y01pi .0 4 25 6 25251 6 25 9 2535p. j2535例題與講解例3: 設(shè)隨機向量( X ,Y )服從區(qū)域 D上的均勻分布, 其中

14、D (x, y)| x | 1, | y | 1,求X ,Y的邊緣密度函數(shù) f1 ( x) 和 f2 ( y).并判斷X ,Y 的獨立性. 1 , | x | 1, | y | 1解: 由題意得:f ( x, y) 40,其他11| y | 1| y | 1 ,| x | 1| x | 1 ,( x, y) R2f ( y) 2 ,f ( x) 2 ,由前求出:120 ,0 , f ( x, y) f1( x) f2 ( y) ,從而X ,Y 相互獨立.19例題與講解例4: 設(shè)隨機向量( X ,Y )服從區(qū)域 D上的均勻分布, 其中x2 y2 1,D (x, y)求X ,Y的邊緣密度函數(shù) f1

15、 ( x) 和 f2 ( y).并判斷X ,Y 的獨立性. 1 ,x2 y2 1其他f (x, y) 解: 由題意得:0,由前求出:1 x21 y2 2 2| x | 1| x | 1 ,| y | 1| y | 1 ,f1 ( x) f2 ( y) 0,0,f (0, 0) 1f1(0) f2 (0) 4 當x 0, y 0 時, 2從而X ,Y 不是相互獨立的.20n個隨量和隨量序列的獨立性n 相互獨立等價于定理: 離散型隨量聯(lián)合概率分布等于邊緣概率分布的乘積.連續(xù)型隨量n 相互獨立等價于聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積.若n 個隨n 相互獨立, 則它們中的量任意 m (2 m n) 個

16、隨也相互獨立.量imn ,中任意n (n 2,3,)個定義:若隨量序列量序列相互獨立.量都是相互獨立的, 則稱該隨隨21因此: 對于隨量X , Y , (X ,Y ) 的聯(lián)合分布完全確定了邊緣分布, 反之不真, 但當X , Y 相互獨立時, 邊緣確定了聯(lián)合.例5: 設(shè)隨量X 與Y 獨立, 其概率分布由表確定,令Z X Y , W XY ,求隨機向量( X , Y ) 的聯(lián)合概率分布,并求W , Z 的概率分布.解:因為 X , Y 相互獨立, 則聯(lián)合分布為:22W X Y0123P0.60.20.120.08W X Y1234P0.30.380.240.08YX12300.30.180.121

17、0.20.120.08X01P0.60.4Y123P0.50.30.2例題與講解例6: 單項選擇題12P( X 1) P(Y 1) ,P( X 1) P(Y 1) 1 ,則下列式子正確的是 (B . P( X Y ) 0D .P( X Y ) 1C).2A . X YC . P( X Y ) 12解: 聯(lián)合分布律為: P( X Y ) P( X 1,Y 1) ( X 1,Y 1) P( X 1,Y 1) P( X 1,Y 1) 1 1 1 .44223X Y 11pi . 11414121141412p. j1212則即兩個獨立的正態(tài)分布的隨量的和仍服從正態(tài)分布.24卷積公式例題與講解例7:

18、設(shè)X 和Y 獨立同服從標準正態(tài)分布N (0,1),求Z1 X Y ,解: X N (0,1),Z2 X Y 的概率密度.Y N (0,1), 且 X 和Y 獨立,Z1 X Y N ( 0, 2), X Y N ( 0, 2 ),Z22z1fZ(z) fZ2 2(z) 從而e2112e2z 24,( z ) .225例題與講解例8: 設(shè)隨,量X ,Y 分別表示兩個獨立系統(tǒng)的使用X , Y 分別服從參數(shù)為 , ( ) 的指數(shù)分布,求Z X Y 的概率密度函數(shù). x y, y 0 , x 0 ,ee解:X f ( x) ( y) Y f21y 0 x 00 ,0 ,FZ (z) P (Z z) P

19、( X Y z)FZ(z) 0, fZ(z) 0,當z 0 時,當 z 0 時, 由卷積公式得:z ( z y )y d yf (z) f (z e0y) f ( y) dy eZ12z (e z e z e z )z0( ) y z( ) y eeedy 026 (e z e z ) , z 0f Z (z) 0,z 0.272829( y) f解:f ( x, y) dx當0 y 1時,Yy12xy x1y 4 y 4 y3 8 y 8xydx2x 1y1xfY ( y) 0 ,0當y 0 或 y 1時, 4 y 4 y 3, 0 y 1故fY ( y ) 0 ,其他(1) f(1) 1 3 3(3) 當x 1 , y 1 時,f (1 , 1) 2 fXY222 24222 2從而X ,Y 不是相互獨立的.30 第3章隨機向量3.13.23.3二維隨機向量及