特征值和特征向量

1、關(guān)于特征值與特征向量課件第一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、定義我們知道，在有限維線性空間中，取了一組基之后，線性變換就可以用矩陣來(lái)表示.為了利用矩陣來(lái)研究線性變換，對(duì)于每個(gè)給定的線性變換，我們希望能找到一組基使得它的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式.從現(xiàn)在開(kāi)始，我們主要來(lái)討論，在適當(dāng)?shù)倪x擇基之后，一個(gè)線性變換的矩陣可以化成什么樣的簡(jiǎn)單形式.為了這個(gè)目的，先介紹特征值和特征向量的概念.第二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義 7.3.1 設(shè) A 是數(shù)域 P 上線性空間 V 的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域 P 中一個(gè)數(shù) 0 ，存在一個(gè)非零向量 ，使得A = 0 .那么 0 稱(chēng)為 A 的一個(gè)

2、特征值，而 稱(chēng)為 A 的屬于特征值 0 的一個(gè)特征向量.這里需要注意，特征值 0 是數(shù)域 P 中的數(shù)量,特征向量 是非零向量.顯然，零向量對(duì)任意的0 都滿(mǎn)足 A = 0 ，因此這不具有“特征”意義.第三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、幾何意義在幾何向量空間 R2 和 R3 中，線性變換 A 的特征值與特征向量的幾何意義是：特征向量 ( 起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)) 與其像 A 同向(或反向)，同向時(shí)，特征值 0 0，反向時(shí)， 0 0，且 0 的絕對(duì)值等于 | A | 與 | | 之比值；征向量被線性變換變成 0 .如果特征值 0 = 0，則特第四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如：在

3、 R2 中，向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)變換 S ，當(dāng) 0 時(shí)，對(duì)任意非零向量 R2 ， S ( ) 與 都不共線 ( 圖 7-8所示 )S ( )O圖 7-8此時(shí)， S 沒(méi)有實(shí)特征值；第五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) = 時(shí)，R2 中任何非零向量 都與 S ( )共線，且S ( ) = - (圖 7-9所示)，S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向量.O1S (1)2S (2)圖 7-9所以，- 1 是第六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果 是線性變換 A 的屬于特征值 0 的特征向量，那么 的任何一個(gè)非零倍數(shù) k 也是 A 的屬于 0 的特征向量 .因

4、為從 A = 0 可以推出A (k ) = 0 (k ) . 這說(shuō)明特征向量不是被特征值唯一決定的.相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定，因?yàn)橐粋€(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.第七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、求法設(shè) V 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間，1 , 2 , , n 是它的一組基，線性變換 A 在這組基下的矩陣是 A.又設(shè) 0 是 A 的特征值， 是 A 的屬于0 的一個(gè)特征向量， 在基 1 , 2 , , n 下的坐標(biāo)是x01 , x02 , , x0n .則 A 的坐標(biāo)是第八張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月0 的坐標(biāo)是因此 A = 0 相當(dāng)于坐標(biāo)之間的等式第

5、九張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上式可進(jìn)一步變形成這說(shuō)明特征向量 的坐標(biāo) (x01 , x02 , , x0n ) 滿(mǎn)足齊次方程組( 0E - A ) X = 0 .由于 0，所以它的坐標(biāo) x01 , x02 , , x0n 不全為第十張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月零，即齊次方程組 ( 0E - A ) X = 0 有非零解.我們知道，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式等于零，即我們引入以下定義.第十一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義 7.3.3 設(shè) A 是數(shù)域 P 上一 n 級(jí)矩陣， 是一個(gè)數(shù)字.矩陣 E - A 的行列式稱(chēng)為 A 的特征多項(xiàng)

6、式，次多項(xiàng)式.這是數(shù)域 P 上的一個(gè) n第十二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上面的分析說(shuō)明，如果 0 是線性變換 A 的特征值，那么 0 一定是矩陣 A 的特征多項(xiàng)式的一個(gè)根；反過(guò)來(lái)，如果 0 是矩陣 A 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 P 中的一個(gè)根，即 |0E - A | = 0，那么齊次線性 方程組 ( 0E - A ) X = 0 就有非零解.這時(shí)，如果(x01 , x02 , , x0n ) 是方程組 ( 0E - A ) X = 0 的一個(gè)非零解，那么非零向量 = x011 + x022 + + x0nn 滿(mǎn)足 A = 0 ，即 0 是線性變換 A 的一個(gè)特征值第十三張，PPT共四十

7、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月線性變換 A 的特征值與特征向量的步驟如下：Step 2 ：計(jì)算 A 的特征多項(xiàng)式，并求出特征方程在數(shù)域 P 中的所有根. 的特征值 1 , 2 , , s ，它們也就是線性變換 A 就是屬于特征值 0 的一個(gè)特征向量.于是可得求Step 1 ：在線性空間 V 中取一組基1 , 2 , , n ，寫(xiě)出 A 在這組基下的矩陣 A ；設(shè)矩陣 A 有 s 個(gè)不同的全部特征值.第十四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月特征向量在基 1 , 2 , , n 下的坐標(biāo).Step 3 : 對(duì) A 的每個(gè)特征值 i ( i = 1, 2,s ), 求解齊次線性方程組 (i E -

8、A ) X = 0，該方程組的全部解即為矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于 i 的全部矩陣 A 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱(chēng)為 A 的特征值，而相應(yīng)的線性方程組 (i E - A ) X = 0 的解也就稱(chēng)為 A 的屬于這個(gè)特征值的特征向量.第十五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、舉例例 1 在 n 維線性空間中，數(shù)乘變換 K 在任意一組基下的矩陣都是 kE，它的特征多項(xiàng)式是| E - kE | = ( - k)n .因此，數(shù)乘變換 K 的特征值只有 k .由定義可知,每個(gè)非零向量都是屬于數(shù)乘變換 K 的特征向量.第十六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 2 設(shè)線性變換 A 在基1 , 2 ,

9、3下的矩陣是求 A 的特征值與特征向量.解A 的特征多項(xiàng)式為單擊這里求特征值第十七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月所以，A 的特征值為當(dāng)時(shí), 解方程組即第十八張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月單擊這里開(kāi)始求解解之得基礎(chǔ)解系為所以屬于的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是 1 = 1 + 2 + 3，全部特征向量就是第十九張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)時(shí), 解方程組即第二十張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解之得基礎(chǔ)解系為單擊這里開(kāi)始求解所以屬于的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是全部特征向量就是第二十一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 3 在空間 Pxn 中，線性變換D

10、 f (x) = f (x)在基下的矩陣是第二十二張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月D 的特征多項(xiàng)式是因此，D 的特征值只有 0 .通過(guò)解相應(yīng)的齊次線性方程組知道，屬于特征值 0 的線性無(wú)關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù).這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零的常數(shù).第二十三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 4 平面上全體向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)二維線性空間，第一節(jié)中旋轉(zhuǎn) S 在直角坐標(biāo)系下的矩陣為它的特征多項(xiàng)式為當(dāng) k 時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根，因而，當(dāng) k 時(shí)， S 沒(méi)有特征值.第二十四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月五、特征子空間容易看出，對(duì)于線性變換 A 的任一個(gè)特征值

11、0 ，全部適合條件A = 0的向量 所成的集合，部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一個(gè)子空間，顯然，的維數(shù)就是屬于 0 的線性無(wú)關(guān)的特征向的最大個(gè)數(shù).也就是 A 的屬于 0 的全稱(chēng)為 A 的一個(gè)特征子空間，記為第二十五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (2) 12 n = |A|.證 由行列式的定義可知, 矩陣 A 的特征多 六、性質(zhì)性質(zhì)7.3.1 設(shè) 1 , 2 , n 是 n 階矩陣 A = (aij) 的 n 個(gè)特征值( k 重特征值算作 k 個(gè)特征值) , 則(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;項(xiàng)式性質(zhì) 1第二十六張，PPT共四十

12、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月因而, A 的特征多項(xiàng)式中, n 與 n-1 的系數(shù)由該項(xiàng)中, 有一項(xiàng)是主對(duì)角線上 n 個(gè)元素的乘積( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各項(xiàng)至多含有主對(duì)角線上的 n - 2 個(gè)元素.第二十七張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 | E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1 + + (-1)n |A| . 確定.不難看出, n 的系數(shù)為 1 , n-1 的系數(shù)為-(a11 + a22 + + ann).另外, 在特征多項(xiàng)式中令 = 0 可得其常數(shù)項(xiàng)為 |A| .故第二十八張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 1

13、2 n = |A|. 證畢稱(chēng)為矩陣 A 的跡, 記作 trA.由于 1 , 2 , , n 是 A 的 n 個(gè)特征值, 所以| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比較上述兩式可得1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;第二十九張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月特征值自然是被線性變換所決定的.但是在有限維空間中，任取一組基之后，特征值就是線性變換在這組基下矩陣的特征多項(xiàng)式的根.隨著基的不同，線性變換的矩陣一般是不同的.但是這些矩陣是相似的。性質(zhì)7.3.2 相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.第三十張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明設(shè)

14、 A B，即有可逆矩陣 X，使B = X-1AX .于是| E - B | =| E - X-1AX | = | X-1(E - A)X |= | X-1 | | E - A | | X |= | E - A | .證畢第三十一張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)7.3.2 正好說(shuō)明，線性變換的矩陣的特征多項(xiàng)式與基的選擇無(wú)關(guān)，它是直接被線性變換決定的.因此，以后就可以說(shuō)線性變換的特征多項(xiàng)式了.既然相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，當(dāng)然特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)于相似的矩陣來(lái)說(shuō)都是相同的.譬如說(shuō)，考慮特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，得到相似矩陣有相同的行列式.因此，以后就可以說(shuō)線性變換的行列式了.第三十二張

15、，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)該指出，性質(zhì)7.3.2 的逆是不對(duì)的，特征多項(xiàng)式相同的矩陣不一定是相似的.例如它們的特征多項(xiàng)式都是 ( - 1)2 ，但 A 和 B不相似,因?yàn)楹?A 相似的矩陣只能是 A 本身.第三十三張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì) 3哈密頓 - 凱萊(Hanmilton-Caylay) 定理設(shè) A 是數(shù)域 P 上一個(gè) n n 矩陣，f () = | E - A |是 A 的特征多項(xiàng)式，則 f (A) = An-(a11+a22+ann)An-1+ (-1)n |A|E = O. 第三十四張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明設(shè) B( ) 是 E

16、- A 的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，有B( ) (E - A) = | E - A |E = f ( ) E .因?yàn)榫仃?B( ) 的元素是 | E - A | 的各個(gè)代數(shù)余子式，都是 的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過(guò) n - 1 .因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， B( ) 可以寫(xiě)成B( ) = n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1 .其中 B0 , B1 , , Bn-1都是 n n 數(shù)字矩陣.再設(shè) f ( ) = n + a1n-1 + + an-1 + an ，則 第三十五張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月f ( )E = nE + a1n-1E + + an-1E + an E .而B(niǎo)( ) (E - A)= (n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1)(E - A)= nB0 + n-1(B1 - B0A) + n-2 (B2 - B1A)+ + (Bn-1 - Bn-2 A) - Bn-1A .比較上述兩式，得第三十六張，PPT共四十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月以 An , An-1 , , A , E 依次從右邊乘上式中的第一式 , 第二式