曲面與空間曲面的總結(jié)

1、. z.曲面與空間曲線的總結(jié)曲面與空間曲線一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 定義：假設(shè)曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)(*,y,z)都滿足方程F(*,y,z)=0，而滿足此方程的點(diǎn)都在曲面上，則稱(chēng)此方程為該曲面的方程，而曲面稱(chēng)為此方程的圖形。例1：求與A(2,3,1)和B(4,5,6)等距離的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)跡。解：設(shè)M(*,y,z)為動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件是 |AM|=|BM|由距離公式得整理得整理得此即所求點(diǎn)的規(guī)跡方程，為一平面方程。 2.坐標(biāo)面及與坐標(biāo)面平行的平面方程：坐標(biāo)平面*Oy的方程：z=0過(guò)點(diǎn)a,b,c)且與*Oy面平行的平面方程：z=c坐標(biāo)面yOz、坐標(biāo)面zO*以及過(guò)a,b,c)點(diǎn)

2、且分別與之平行的平面方程：*=0; y=0; *=a; y=b 3. 球面方程：球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(*0,y0,z0)為球心，R為半徑的球面方程為 (*-*0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2球面的一般方程： *2+y2+z2+A*+By+Cz+D=0球面方程的特點(diǎn)：平方項(xiàng)系數(shù)一樣；沒(méi)有穿插項(xiàng)。例2：求*2+y2+z2+2*-2y-2=0表示的曲面解：整理得： (*+1)2+(y-1)2+z2=22故此為一個(gè)球心在-1,1,0)，半徑為2的球。4.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程：一般我們將動(dòng)直線l沿定曲線c平行移動(dòng)所形成的軌跡稱(chēng)為柱面。其中直線l稱(chēng)為柱面的母線，定曲線c稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線。

3、本章中我們只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。此時(shí)有以下結(jié)論：假設(shè)柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是*Oy面上的一條曲線，其方程為F(*,y)=0，則該柱面的方程為F(*,y)=0; 同理，G(*,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和*軸的柱面。分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點(diǎn)為：平行于*軸，則在其方程中無(wú)此坐標(biāo)項(xiàng)。其幾何意義為：無(wú)論z取何值，只要滿足F(*,y)=0，則總在柱面上。圓柱面幾種常見(jiàn)柱面：*+y=a 平面；圓柱面橢圓柱面；橢圓柱面；雙曲柱面；雙曲柱面；拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類(lèi)似。4.旋轉(zhuǎn)曲面：一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面

4、的定直線l旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱(chēng)為母線，l稱(chēng)為其軸。本章中我們只研究繞坐標(biāo)軸放置的曲面。此時(shí)有以下結(jié)論：設(shè)yOz平面上有一曲線c其方程為f(y,z)=0，將c繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的以z軸為軸的放置曲面的方程為：同理，曲線同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：同理,以*Oy面上曲線f(*,y)=0為母線繞*軸得曲面繞繞y軸為以以*Oz面上曲線f(*,z)=0為母線繞*軸得曲面例3求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為a的圓錐面方程。解：將yOz面上的直線z=yctg 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面整理后得：其中a=ctg二.空間曲線及其方程： 1.空間曲線的一般方程：空間曲線一般

5、可看作兩個(gè)曲面的交線，假設(shè)兩個(gè)曲面的方程分別為F(*,y,z)=0和G(*,y,z)=0，則易知其交線c的方程為稱(chēng)此方程組為曲線c的一般方程。表示怎樣的曲線？例表示怎樣的曲線？例4：方程組解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心的單位圓。例 例 方程 表示怎樣曲線解： 解： 表示中心在原點(diǎn)，半徑為1的上半球面表示母線平行于Z 軸，準(zhǔn)線在*oy面上它們的交線是*oy它們的交線是*oy面上的一個(gè)圓，半徑為1的圓柱面其圓心在其圓心在 ，半徑為2.空間曲線的參數(shù)方程：設(shè)空間曲線方程如果選定一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) *=*代入上述方程組如果選定一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) *=*代入上述方程組稱(chēng)為空間中曲線的參數(shù)方程。例如果空間

6、一點(diǎn)M在圓柱面 *2 +y2 =a2 上以等角速度繞z周旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，以等速度v沿平行于Z軸的正方向移動(dòng)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì)，當(dāng) 從 螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì)，當(dāng) 從 變到 時(shí)，Z由 變到 這說(shuō)明當(dāng) 轉(zhuǎn)過(guò)角 時(shí)， 點(diǎn)沿螺旋線升了高度 ，即上升的高度與 轉(zhuǎn)過(guò)角度成正比。三.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：在該方程組中消去z得H(*,y)=0，此為一個(gè)通過(guò)曲線L母線平行于z軸的柱面，稱(chēng)為曲線c關(guān)于*Oy面的投影柱面。此投影柱面與*Oy平面的交線即為c在*Oy平面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)投影，其方程為同理可得L在yOz面及*Oz面上投影方程為 和例例 求曲線L： 在三個(gè)坐標(biāo)面上

7、的投影曲線投影曲線方程解消去Z得1-y2=3*2+y2投影曲線方程投影柱面方程為3*2+2y2=1消去y得3*2+1-2Z=0 投影曲線方程投影柱面方程為3*2-2Z-1=0消去*得Z=1-y2投影柱面方程為Z=1-y2投影曲線方程投影曲線方程例 兩個(gè)柱面例 兩個(gè)柱面 和 的交線是一條空間曲線在在*Oy面上的投影方程。例5：求曲線解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程為從而曲線在*Oy面上的投影方程為 二、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸 設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一曲線C它的方程為f (yz) 0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周

8、就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面它的方程可以求得如下 設(shè)M(*yz)為曲面上任一點(diǎn)它是曲線C上點(diǎn)M1(0y1z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的因此有如下關(guān)系等式從而得 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程 在曲線C的方程f(yz)0中將y改成便得曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 同理曲線C繞y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)兩直線的夾角()叫做圓錐面的半頂角試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)軸為z軸半頂角為的圓錐面的方程 解 在yOz坐標(biāo)面直線L的方程為 zycot 將方程zycot中的y改成就得到所要求的圓錐面的方程或 z2a2

9、 (*2y2)其中acot 例5將zO*坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞*軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 解 繞*軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面三、柱面 例6 方程*2y2R2表示怎樣的曲面？ 解 方程*2y2R2在*Oy面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓在空間直角坐標(biāo)系中這方程不含豎坐標(biāo)z即不管空間點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣只要它的橫坐標(biāo)*和縱坐標(biāo)y能滿足這方程則這些點(diǎn)就在這曲面上也就是說(shuō)過(guò)*Oy面上的圓*2y2R2且平行于z軸的直線一定在*2y2R2表示的曲面上所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿*Oy面上的圓*

10、2y2R2移動(dòng)而形成的這曲面叫做圓柱面*Oy面上的圓*2y2R2叫做它的準(zhǔn)線這平行于z軸的直線l 叫做它的母線 例6 方程*2y2R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標(biāo)系中過(guò)*Oy面上的圓*2y2R2作平行于z軸的直線l 則直線l上的點(diǎn)都滿足方程*2y2R2因此直線l一定在*2y2R2表示的曲面上所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿*Oy面上的圓*2y2R2移動(dòng)而形成的這曲面叫做圓柱面*Oy面上的圓*2y2R2叫做它的準(zhǔn)線這平行于z軸的直線l 叫做它的母線 柱面平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線動(dòng)直線L叫做柱面的母線 上面我們看到不含z的方

11、程*2y2R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面它的母線平行于z軸它的準(zhǔn)線是*Oy面上的圓*2y2R2 一般地只含*、y而缺z的方程F(*y)0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z 軸的柱面其準(zhǔn)線是*Oy面上的曲線CF(*y)0 例如方程y22*表示母線平行于z軸的柱面它的準(zhǔn)線是*Oy 面上的拋物線y22*該柱面叫做拋物柱面 又如方程 *y0表示母線平行于z軸的柱面其準(zhǔn)線是*Oy面的直線 *y0所以它是過(guò)z 軸的平面 類(lèi)似地只含*、z而缺y的方程G(*z)0和只含y、z而缺*的方程H(yz)0分別表示母線平行于y軸和*軸的柱面 例如方程 *z0表示母線平行于y軸的柱面其準(zhǔn)線是zO*面上的直線 *z0所

12、以它是過(guò)y軸的平面四二次曲面通過(guò)截痕法，了解二次曲面的全貌1.橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線均為橢圓假設(shè)假設(shè)a=b,則 旋轉(zhuǎn)橢球面2 單葉雙曲面 數(shù)Z=h 截,截痕為一橢圓。*=h ，或y=h截,截痕為一雙曲線。 時(shí)，曲線為雙曲線，實(shí)軸平行與 時(shí)，曲線為雙曲線，實(shí)軸平行與*軸，虛軸平行與z軸，當(dāng)由零增大到b時(shí)，曲線的兩半軸縮小至零。2當(dāng)2當(dāng) 時(shí)，截痕為一對(duì)直線3當(dāng)3當(dāng) 時(shí)，曲線仍為雙曲線，但實(shí)軸平行于z軸，虛軸平行與*軸，當(dāng) 由 b增大時(shí)，曲線的兩半軸也增大。同樣用平行于yoz的平面相截時(shí)截痕也是雙曲線，可用同樣的方法討論。當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，方程變?yōu)? 雙葉雙曲面雙葉雙曲面對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)原點(diǎn)及三個(gè)坐標(biāo)面Z=

13、h截，截痕為當(dāng) 時(shí)無(wú)截痕，當(dāng) 當(dāng) 時(shí)無(wú)截痕，當(dāng) 時(shí)是兩點(diǎn)0，0， 當(dāng) 當(dāng) 時(shí)為橢圓當(dāng)*=h，或y=h截，截痕為雙曲線4 橢圓拋物面5 雙葉拋物面6 二次錐面其次還有雙曲拋物面由方程所表示的曲面稱(chēng)為雙曲拋物面 雙曲拋物面又稱(chēng)馬鞍面 用平面*t截此曲面 所得截痕l為平面*t上的拋物線此拋物線開(kāi)口朝下 其項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為 當(dāng)t變化時(shí)l的形狀不變 位置只作平移 而l的項(xiàng)點(diǎn)的軌跡L為平面y0上的拋物線因此 以l為母線L為準(zhǔn)線 母線l的項(xiàng)點(diǎn)在準(zhǔn)線L上滑動(dòng) 且母線作平行移動(dòng) 這樣得到的曲面便是雙曲拋物面 還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準(zhǔn)線的柱面依次稱(chēng)為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面 一、空間直線的一般方程 空間

14、直線L可以看作是兩個(gè)平面1和2的交線如果兩個(gè)相交平面1和2的方程分別為A1*B1yC1zD10和A2*B2yC2zD20則直線L上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程即應(yīng)滿足方程組 (1) 反過(guò)來(lái)如果點(diǎn)M不在直線L上則它不可能同時(shí)在平面1和2上所以它的坐標(biāo)不滿足方程組(1)因此直線L可以用方程組(1)來(lái)表示方程組(1)叫做空間直線的一般方程設(shè)直線L是平面1與平面2的交線平面的方程分別為A1*B1yC1zD10和A2*B2yC2zD20則點(diǎn)M在直線L上當(dāng)且僅當(dāng)它同時(shí)在這兩個(gè)平面上當(dāng)且僅當(dāng)它的坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面方程即滿足方程組 因此直線L可以用上述方程組來(lái)表示上述方程組叫做空間直線的一般方

15、程 通過(guò)空間一直線L的平面有無(wú)限多個(gè)只要在這無(wú)限多個(gè)平面中任意選取兩個(gè)把它們的方程聯(lián)立起來(lái)所得的方程組就表示空間直線L 二、空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程 方向向量如果一個(gè)非零向量平行于一條直線這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量容易知道直線上任一向量都平行于該直線的方向向量 確定直線的條件當(dāng)直線L上一點(diǎn)M 0(*0y0*0)和它的一方向向量s(mnp)為時(shí)直線L的位置就完全確定了 直線方程確實(shí)定直線L通過(guò)點(diǎn)M0(*0y0*0) 且直線的方向向量為s(mnp) 求直線L的方程 設(shè)M (*yz)在直線L上的任一點(diǎn)則(*0yy0zz0)/s從而有這就是直線L的方程叫做直線的對(duì)稱(chēng)式方程或點(diǎn)向式方程注 當(dāng)

16、mnp中有一個(gè)為零 例如m0 而np0時(shí) 這方程組應(yīng)理解為當(dāng)mnp中有兩個(gè)為零 例如mn0 而p0時(shí)這方程組應(yīng)理解為 直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù)而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦 由直線的對(duì)稱(chēng)式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程 設(shè)得方程組此方程組就是直線的參數(shù)方程 例1用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線 解先求直線上的一點(diǎn)取*1有解此方程組得y2z0即(120)就是直線上的一點(diǎn) 再求這直線的方向向量s以平面*yz1和2*y3z4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s :s(ijk)(2ij3k)4ij3k因此所給直線的對(duì)稱(chēng)式方程為令得所給直線的參數(shù)方程為提示 當(dāng)*1時(shí)

17、有 此方程組的解為y2z0 令 有*14ty2tz3t三、兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角 設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1(m1n1p1)和s2(m2n2p2)則L1和L2的夾角就是和兩者中的銳角因此根據(jù)兩向量的夾角的余弦公式直線L1和L2的夾角可由來(lái)確定 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得以下結(jié)論 設(shè)有兩直線L1L2則L 1L 2m1m2n1n2p1p20L1 L2例2求直線L1:和L2:的夾角 解兩直線的方向向量分別為s1 (141)和s2 (221)設(shè)兩直線的夾角為則所以四、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)直線和它在平面上的投影直線的

18、夾角稱(chēng)為直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面垂直時(shí)規(guī)定直線與平面的夾角為 設(shè)直線的方向向量s(mnp)平面的法線向量為n(ABC)直線與平面的夾角為則因此按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式有 因?yàn)橹本€與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行所以直線與平面垂直相當(dāng)于 因?yàn)橹本€與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直所以直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于AmBnCp0 設(shè)直線L的方向向量為(mnp)平面的法線向量為(ABC)則 LL/ / AmBnCp0 例3求過(guò)點(diǎn)(124)且與平面2*3yz40垂直的直線的方程 解平面的法線向量(231)可以作為所求直線的方向向量由此可得所求

19、直線的方程為五、雜例 例4求與兩平面 *4z3和2*y5z1的交線平行且過(guò)點(diǎn)(325)的直線的方程 解平面*4z3和2*y5z1的交線的方向向量就是所求直線的方向向量s因?yàn)樗运笾本€的方程為 例5求直線與平面2*yz60的交點(diǎn) 解所給直線的參數(shù)方程為 *2ty3t z42t代入平面方程中得 2(2t)(3t)(42t)60解上列方程得t1將t1代入直線的參數(shù)方程得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為 *1 y2 z2例6求過(guò)點(diǎn)(213)且與直線垂直相交的直線的方程 解過(guò)點(diǎn)(213)與直線垂直的平面為3(*2)2(y1)(z3)0即3*2yz5 直線與平面3*2yz5的交點(diǎn)坐標(biāo)為以點(diǎn)(213)為起點(diǎn)以點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為所求直線的方程為例6求過(guò)點(diǎn)(212)且與直