大學(xué)物理 物理學(xué) 課件 電荷和靜電場(chǎng)

1、電荷和靜電場(chǎng)第十章1、什么是電磁學(xué)電磁運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的一種基本運(yùn)動(dòng)形式。電磁學(xué)是研究電磁運(yùn)動(dòng)及其規(guī)律的物理學(xué)分支。2、電磁學(xué)的主要內(nèi)容電荷、電流產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)的規(guī)律； 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互作用； 電磁場(chǎng)對(duì)電流、電荷的作用； 電磁場(chǎng)中物質(zhì)的各種性質(zhì)。 3、學(xué)習(xí)電磁學(xué)的意義在現(xiàn)代物理學(xué)中的地位是非常重要的。深入認(rèn)識(shí)物質(zhì)結(jié)構(gòu)。是學(xué)習(xí)電工學(xué)、無(wú)線電電子學(xué)、自動(dòng)控制、計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的基礎(chǔ)。電磁學(xué)本章主要內(nèi)容：研究真空中靜電場(chǎng)的基本特性：描述靜電場(chǎng)的物理量：電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)靜電場(chǎng)的基本定律：庫(kù)侖定律、疊加原理 靜電場(chǎng)的基本定理：高斯定理、環(huán)路定理 靜電場(chǎng)對(duì)電荷的作用 一、電荷1、電荷摩擦起電：用木塊摩擦過的琥珀能

2、吸引碎草等輕小物體的現(xiàn)象。許多物體經(jīng)過毛皮或絲綢等摩擦后，都能夠吸引輕小的物體。人們就說它們帶了電，或者說它們有了電荷。當(dāng)物質(zhì)處于電中性時(shí)，質(zhì)子數(shù)電子數(shù)當(dāng)物質(zhì)的電子過多或過少時(shí)，物質(zhì)就帶有電荷 電子過多時(shí)物體帶負(fù)電 電子過少時(shí)物體帶正電原子失去或獲得電子的過程，稱為電離。10-1 電荷和庫(kù)侖定律2、電荷守恒定律在一個(gè)與外界沒有電荷交換的孤立系統(tǒng)中，不管系統(tǒng)中的電荷如何遷移，整個(gè)系統(tǒng)的電荷總量（正負(fù)電荷的代數(shù)和）必定保持不變。3、電荷量子化電量的定義：物體所帶電荷的多少叫作電量。單位：庫(kù)侖(C)1913年，密立根用液滴法從實(shí)驗(yàn)中測(cè)出所有電子都具有相同的電荷，而且?guī)щ婓w的電荷是電子電荷的整數(shù)倍。

3、電子電量 e 帶電體電量 q=ne, n=1,2,3,.電荷的這種只能取離散的、不連續(xù)的量值的性質(zhì)，叫作電荷的量子化。電子的電荷e稱為基元電荷，或電荷的量子。2002年國(guó)際推薦值4、電荷的相對(duì)論不變性： 在不同的參照系內(nèi)觀察，同一個(gè)帶電粒子的電量不變。即，一切帶電體的電量不因其運(yùn)動(dòng)而改變，電荷的這一性質(zhì)叫做電荷的相對(duì)論不變性。 1964年,物理學(xué)家蓋爾-曼(M.Gell-Mann)預(yù)言：強(qiáng)子（如質(zhì)子、中子、介子和超子等）是由更基本的粒子夸克構(gòu)成的，夸克和反夸克的電量應(yīng)取e/3或2e/3。但我們至今尚未發(fā)現(xiàn)以自由狀態(tài)存在的夸克。 電荷是由微觀粒子所攜帶，電量也是物質(zhì)的一種屬性。粒子物理的研究表明

4、，任何一種微觀粒子都存在其反粒子，粒子和它的反粒子分別攜帶等量異號(hào)的電荷，如：電子（）和正電子（），質(zhì)子（）和反質(zhì)子（）等。二、 庫(kù)侖定律庫(kù)侖 (Charlse-Augustin de Coulomb 1736 1806)法國(guó)物理學(xué)家1773年提出的計(jì)算物體上應(yīng)力和應(yīng)變分布情況的方法，是結(jié)構(gòu)工程的理論基礎(chǔ)。1779年對(duì)摩擦力進(jìn)行分析，提出有關(guān)潤(rùn)滑劑的科學(xué)理論。17851789年，用扭秤測(cè)量靜電力和磁力，導(dǎo)出著名的庫(kù)侖定律。他還通過對(duì)滾動(dòng)和滑動(dòng)摩擦的實(shí)驗(yàn)研究，得出摩擦定律。庫(kù)侖定律內(nèi)容在真空中，兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力，其大小與點(diǎn)電荷電量的乘積成正比，與兩點(diǎn)電荷之間距離的平方成反比，作用

5、力在兩點(diǎn)電荷之間的連線上，同號(hào)電荷互相排斥，異號(hào)電荷互相吸引。真空電容率實(shí)驗(yàn)表明，庫(kù)侖力滿足線性疊加原理，即不因第三者的存在而改變兩者之間的相互作用。庫(kù)侖力的疊加原理： 庫(kù)侖力滿足牛頓第三定律 庫(kù)侖定律只適用于描述兩個(gè)相對(duì)于觀察者為靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用例101：在氫原子中，電子與質(zhì)子之間的距離約為5.310-11m，求它們之間的庫(kù)侖力與萬(wàn)有引力，并比較它們的大小。解：氫原子核與電子可看作點(diǎn)電荷萬(wàn)有引力為兩值比較結(jié)論：庫(kù)侖力比萬(wàn)有引力大得多，所以在原子中，作用在電子上的力，主要是電場(chǎng)力，萬(wàn)有引力完全可以忽略不計(jì)。10-2 電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度一、電場(chǎng)1、電場(chǎng)的概念在電荷周圍存在有電場(chǎng)這種特殊物質(zhì)

6、，電荷之間的相互作用是通過電場(chǎng)傳遞的。在電場(chǎng)中的任何帶電體，都受到電場(chǎng)的作用力，這種力稱為電場(chǎng)力。2、靜電場(chǎng)和靜電力靜止電荷產(chǎn)生的場(chǎng)叫做靜電場(chǎng)。由靜電場(chǎng)傳遞的力稱為靜電力。電荷 電場(chǎng) 電荷3、判斷電場(chǎng)的存在 若將一個(gè)電荷引到空間某點(diǎn)，如果它受到電場(chǎng)力的作用，該點(diǎn)必定存在電場(chǎng)；如果不受電場(chǎng)力的作用，該點(diǎn)則沒有電場(chǎng)。二、電場(chǎng)強(qiáng)度1、試探電荷線度足夠小，小到可以看成點(diǎn)電荷；電量足夠小，小到把它放入電場(chǎng)中后，原來(lái)的電場(chǎng)幾乎沒有什么變化。2、實(shí)驗(yàn)在靜止的電荷Q周圍的靜電場(chǎng)中，放入試探電荷q0 ，討論試探電荷q0 的受力情況。F與r 有關(guān)，而且還與試探電荷q0 有關(guān)。3、電場(chǎng)強(qiáng)度試探電荷受到源電荷的作用力

7、與試驗(yàn)電荷電量的比值F/q0 則與試探電荷無(wú)關(guān)，可以反映電場(chǎng)本身的性質(zhì)，用這個(gè)物理量作為描寫電場(chǎng)的場(chǎng)量，稱為電場(chǎng)強(qiáng)度（簡(jiǎn)稱場(chǎng)強(qiáng)）。電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，等于單位正試探電荷在該點(diǎn)所受的電場(chǎng)力，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)力的方向一致（當(dāng)q0為正值時(shí)）。單位：N.C-1或V.m-1電場(chǎng)強(qiáng)度是電場(chǎng)的屬性，與試探電荷的存在與否無(wú)關(guān)，并不因無(wú)試探電荷而不存在，只是由試探電荷反映。4、電場(chǎng)力電荷q在電場(chǎng)E中的電場(chǎng)力當(dāng)q0時(shí)，電場(chǎng)力方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同；當(dāng)qr0時(shí)，x2- r0 2/4 x2在電偶極子軸線延長(zhǎng)線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與電偶極子的電偶極矩大小成正比，與電偶極子中心到該點(diǎn)的距離的三次方成反比；

8、電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電偶極矩的方向相同。3、電偶極子中垂線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度當(dāng)yr0時(shí)，y2+ r0 2/4 y2電偶極子中垂線上距離中心較遠(yuǎn)處一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，與電偶極子的電矩成正比，與該點(diǎn)離中心的距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。 例題10-2 有一均勻帶電直線，單位長(zhǎng)度上的電量為 ，求離直線的距離為a的P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。 解 此類題可按下列步驟求解: (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖所示。 (2)將直線分為長(zhǎng)為dx的無(wú)限多個(gè)電荷元dq=dx(視為點(diǎn)電荷)，并寫出一個(gè)有代表性(位置用一變量表示)的電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)： 由于不同位置的電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE方向不同,故應(yīng)將dE向x軸和y軸方向投影,

9、于是有(3)分析問題的對(duì)稱性。oPaxyxdqdxrdExdEy dEx=dEcos (4)統(tǒng)一積分變量,定積分限,完成積分,得到所求場(chǎng)強(qiáng)分量式r=a/sin , x=-a.cot ,dx=ad /sin2dEy=dEsin12oPaxyxdqdxrdExdEy (1)對(duì)無(wú)限長(zhǎng)帶電直線, 討論:記??！ (2)對(duì)平面、柱面等形狀,可利用帶電直線公式積分。12oPaxyxdqdxrdExdEy 1=0和 2=；代入得 例題10-3 求均勻帶電的無(wú)限大平面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)(設(shè)平面單位面積上的電量為 )。 解 分為若干長(zhǎng)直導(dǎo)線積分。 由對(duì)稱性可知，平面外P點(diǎn)的電場(chǎng)方向是垂直于平面向上的(即y方向)，所以

10、完成積分得:.1=.1dxdx1xyoaP.xdxr無(wú)限大平面電場(chǎng)與a無(wú)關(guān)。(勻強(qiáng)電場(chǎng))E=0E=02記住無(wú)限大平面電場(chǎng)！+- 例題10-4 一均勻帶電Q的圓弧，半徑為R、圓心角為，求圓心o處的電場(chǎng)。 解 由對(duì)稱性可知，圓心o點(diǎn)的電場(chǎng)是沿角 的平分線(y軸)方向的。 將圓弧劃分為若干電荷元dq(點(diǎn)電荷)，利用點(diǎn)電荷公式積分：oRQyxxoyRdqd 例題10-5 一半徑為R的圓環(huán)，電荷線密度=ocos , 其中o為常量，求圓心o點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 將圓環(huán)分為若干個(gè)點(diǎn)電荷dq積分。RxyoodqRxyd 例題10-6 一圓環(huán)半徑為R、均勻帶電q，求軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 由對(duì)稱性可知，軸線上的電場(chǎng)方

11、向是沿軸線向上的。即討論： 任何均勻帶電的旋轉(zhuǎn)體(如圓形、球形、柱形)用圓環(huán)公式積分求電場(chǎng)最為方便。poRxqrdq 例題10-7 一均勻帶電的半球面，半徑為R，電荷面密度為，求球心o處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 圖中圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)：dq= .2 r.Rdz2+r2=R2,z =RcosEodzRr場(chǎng)強(qiáng)方向如圖所示。 10-3 高斯定理1、定義一、電場(chǎng)線電場(chǎng)線上每一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的方向與該點(diǎn)切線方向相同，而且電場(chǎng)線箭頭的指向表示場(chǎng)強(qiáng)的方向。2、幾種典型的電場(chǎng)線分布 正點(diǎn)電荷 負(fù)點(diǎn)電荷等量正點(diǎn)電荷等量異號(hào)點(diǎn)電荷3、電場(chǎng)線密度定義：經(jīng)過電場(chǎng)中任一點(diǎn)，作一面積元dS，并使它與該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)垂直，若通過dS面的電場(chǎng)線條數(shù)

12、為de，則電場(chǎng)線密度為de /dS。4、靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線性質(zhì)電場(chǎng)線起于正電荷（或無(wú)限遠(yuǎn)），止于負(fù)電荷（或無(wú)限遠(yuǎn)）；不是閉合曲線，也不在沒有電荷的地方中斷；任何兩條電場(chǎng)線在沒有電荷的地方都不會(huì)相交。5、關(guān)于電場(chǎng)線的幾點(diǎn)說明電場(chǎng)線是人為畫出的，在實(shí)際電場(chǎng)中并不存在；電場(chǎng)線可以形象地、直觀地表現(xiàn)電場(chǎng)的總體情況;電場(chǎng)線圖形可以用實(shí)驗(yàn)演示出來(lái)。對(duì)于勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)線密度處處相等，而且方向處處一致。二、電（場(chǎng)強(qiáng)度）通量1、定義通過電場(chǎng)中任一曲面的電場(chǎng)線的條數(shù)叫做通過這一面元的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。2、勻強(qiáng)電場(chǎng)的電通量平面S與E平行時(shí)平面S與E有夾角時(shí)en3、非均勻電場(chǎng)的電通量微元dS對(duì)封閉曲面4、方向的規(guī)定閉合曲面外

13、法線方向(自內(nèi)向外) 為正。當(dāng)電場(chǎng)線從面內(nèi)穿出時(shí), de 為正;當(dāng)電場(chǎng)線由面外穿入時(shí), de 為負(fù)SndS 三、高斯定理高斯（Carl Friedrich Gauss 17771855）德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家。高斯在數(shù)學(xué)上的建樹頗豐，有“數(shù)學(xué)王子”美稱。高斯長(zhǎng)期從事于數(shù)學(xué)并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)等領(lǐng)域的研究，主要成就：(1)物理學(xué)和地磁學(xué)：關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對(duì)單位（長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間）法則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。(2)光學(xué) ：利用幾何學(xué)知識(shí)研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯光學(xué)。(3)天文學(xué)和大地測(cè)量學(xué)中：如小行星軌道的計(jì)算，地球大

14、小和形狀的理論研究等。(4)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理：結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)算，發(fā)展了概率統(tǒng)計(jì)理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線。 (5)高斯還創(chuàng)立了電磁量的絕對(duì)單位制。1、高斯定理的內(nèi)容通過任意閉合曲面S的電通量，等于該閉合曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以0，與封閉曲面外的電荷無(wú)關(guān)。2、證明出發(fā)點(diǎn)：庫(kù)侖定律和疊加原理球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向與其徑向相同。球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小由庫(kù)侖定律給出。面元ds 的方向?yàn)槊嬖姆ň€方向.通過一個(gè)與點(diǎn)電荷q 同心的球面S的電通量qdSErS此結(jié)果與球面的半徑無(wú)關(guān)?；蛘哒f，通過各球面的電場(chǎng)線總條數(shù)相等。從 q發(fā)出的電場(chǎng)線連續(xù)的延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)。包圍點(diǎn)電荷q的任意封閉曲面

15、SqSS電場(chǎng)線對(duì)于任意一個(gè)閉合曲面S，只要電荷被包圍在S面內(nèi)，由于電場(chǎng)線是連續(xù)的，在沒有電荷的地方不中斷，因而穿過閉合曲面S與S的電場(chǎng)線數(shù)目是一樣的。由于電場(chǎng)線的連續(xù)性可知，穿入與穿出任一閉合曲面的電通量應(yīng)該相等。所以當(dāng)閉合曲面內(nèi)無(wú)電荷時(shí)，電通量為零。通過不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面的電通量為零多個(gè)點(diǎn)電荷的電通量等于它們單獨(dú)存在時(shí)的電通量的代數(shù)和利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可證連續(xù)分布 qS電場(chǎng)線S q3、關(guān)于高斯定理的說明高斯定理是反映靜電場(chǎng)性質(zhì)（有源性）的一條基本定理；高斯定理是在庫(kù)侖定律的基礎(chǔ)上得出的，但它的應(yīng)用范圍比庫(kù)侖定律更為廣泛；高斯定理中的電場(chǎng)強(qiáng)度是封閉曲面內(nèi)和曲面外的電荷共同產(chǎn)生的，并非只由

16、曲面內(nèi)的電荷確定；若高斯面內(nèi)的電荷的電量為零，則通過高斯面的電通量為零，但高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度并不一定為零；通過任意閉合曲面的電通量只決定于它所包圍的電荷的代數(shù)和，閉合曲面外的電荷對(duì)電通量無(wú)貢獻(xiàn)。但電荷的空間分布會(huì)影響閉合面上各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；高斯定理中所說的閉合曲面，通常稱為高斯面。四、高斯定律應(yīng)用舉例高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用，是用來(lái)計(jì)算帶電體周圍電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。實(shí)際上，只有在場(chǎng)強(qiáng)分布具有一定的對(duì)稱性時(shí)，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。求解的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)母咚姑妗３Ｒ姷木哂袑?duì)稱性分布的源電荷有：球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等無(wú)限大平面電荷：包括無(wú)限大的均勻帶電

17、平面，平板等。軸對(duì)稱分布：包括無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等；步驟：1.進(jìn)行對(duì)稱性分析，即由電荷分布的對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定理來(lái)求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（常見的對(duì)稱性有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性等）；2.根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：待求?chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，穿過該高斯面的電通量容易計(jì)算。一般地，高斯面各面元的法線矢量n與E平行或垂直，n與E平行時(shí)，E的大小要求處處相等，使得E能提到積分號(hào)外面；3.計(jì)算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。 例10-8 均勻帶電球殼的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的薄球殼。求球殼內(nèi)部和外部

18、任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球殼外時(shí)當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球殼內(nèi)時(shí)高斯面高斯面均勻帶電球殼結(jié)果表明：均勻帶電球殼外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布象球面上的電荷都集中在球心時(shí)所形成的點(diǎn)電荷在該區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布一樣。例10-9 均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的球體。求球體內(nèi)部和外部任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。均勻帶電球體解：以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球體外時(shí)當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球體內(nèi)時(shí)例10-10 無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)設(shè)有一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電

19、直線，電荷線密度為，求距離直線為 r 處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個(gè)通過P點(diǎn)，高為h的圓筒形封閉面為高斯面 S，通過S面的電通量為圓柱側(cè)面和上、下底面三部分的通量。S 其中上、下底面的電場(chǎng)強(qiáng)度方向與面平行，電通量為零。所以式中后兩項(xiàng)為零。此閉合面包含的電荷總量其方向沿求場(chǎng)點(diǎn)到直導(dǎo)線的垂線方向。正負(fù)由電荷的符號(hào)決定。解：由于電荷分布對(duì)于求場(chǎng)點(diǎn) P到平面的垂線 OP 是對(duì)稱的，所以 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)必然垂直于該平面。例10-11 無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一無(wú)限大均勻帶電平板，單位面積上的電荷，即電荷面密度為，求距離平板為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直于帶電平面。高斯面所包圍的電

20、量為由此可知，電場(chǎng)強(qiáng)度為由高斯定理可知電場(chǎng)強(qiáng)度方向離開平面電場(chǎng)強(qiáng)度方向指向平面例10-12 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的無(wú)限大平行平面的電場(chǎng)設(shè)面電荷密度分別為1=+ 和2= - 解：該系統(tǒng)不再具有簡(jiǎn)單的對(duì)稱性，不能直接應(yīng)用高斯定律。然而每一個(gè)帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)先可用高斯定律求出，然后再用疊加原理求兩個(gè)帶電平面產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)。由圖可知，在A 區(qū)和B區(qū)場(chǎng)強(qiáng)均為零。C區(qū)場(chǎng)強(qiáng)的方向從帶正電的平板指向帶負(fù)電的平板。場(chǎng)強(qiáng)大小為一個(gè)帶電平板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的兩倍。一、靜電場(chǎng)屬于保守場(chǎng)10-4 電勢(shì)及其與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系點(diǎn)電荷q固定于原點(diǎn)O，試探電荷q0在q的電場(chǎng)中由A點(diǎn)沿任意路徑ACB到達(dá)B點(diǎn)，取微元dl，電場(chǎng)力對(duì)q0的元功為1

21、、點(diǎn)電荷電場(chǎng)E在點(diǎn)電荷的非勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)力對(duì)試探電荷所作的功與其移動(dòng)時(shí)起始位置與終了位置有關(guān)，與其所經(jīng)歷的路徑無(wú)關(guān)。2、任意帶電體電場(chǎng)任意帶電體都可以看成由許多點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，根據(jù)疊加原理可知，點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)為各點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的疊加任意點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)力所作的功為每一項(xiàng)均與路徑無(wú)關(guān)，故它們的代數(shù)和也必然與路徑無(wú)關(guān)。3、結(jié)論在真空中，一試探電荷在靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，靜電場(chǎng)力對(duì)它所作的功，僅與試探電荷的電量、起始與終了位置有關(guān)，而與試探電荷所經(jīng)過的路徑無(wú)關(guān)。靜電場(chǎng)力也是保守力，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理在靜電場(chǎng)中，將試探電荷沿閉合路徑移動(dòng)一周時(shí)，電場(chǎng)力所作的功為ABCD電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)

22、定義：電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分叫電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流。靜電場(chǎng)環(huán)路定理：在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流為零。三、電勢(shì)能、電勢(shì)差和電勢(shì)電荷在電場(chǎng)的一定位置上，具有一定的能量，叫做電勢(shì)能。PQ靜電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值。 電勢(shì)能為零的參考點(diǎn)選擇也是任意的，若WQ=0，則電場(chǎng)中P點(diǎn)的電勢(shì)能為：結(jié)論：試探電荷q0在電場(chǎng)中點(diǎn)P的電勢(shì)能，在數(shù)值上等于把它從點(diǎn)P移動(dòng)到零電勢(shì)能處的電場(chǎng)力所作的功。1、電勢(shì)能2、電勢(shì)差 靜電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)P、Q之間的電勢(shì)差，在數(shù)值上等于把單位正電荷從點(diǎn)P移到點(diǎn)Q時(shí)，靜電場(chǎng)力所作的功。電勢(shì)差也叫電壓。3、電勢(shì) 比值 WP/ q0 、WQ/ q0與q0無(wú)關(guān)，只決定于電場(chǎng)的性

23、質(zhì)及場(chǎng)點(diǎn)的位置，所以這個(gè)比值是反映電場(chǎng)本身性質(zhì)的物理量，可以稱之為電場(chǎng)中P點(diǎn)和Q點(diǎn)的電勢(shì)。顯然它們分別等于單位正電荷在P、Q兩點(diǎn)的電勢(shì)能。說明：電勢(shì)是標(biāo)量，有正有負(fù)；電勢(shì)的單位：伏特 1V=1J.C-1；電勢(shì)具有相對(duì)意義，它決定于電勢(shì)零點(diǎn)的選擇。在理論計(jì)算中，通常選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零；在實(shí)際工作中，通常選擇大地的電勢(shì)為零。但是對(duì)于“無(wú)限大”或“無(wú)限長(zhǎng)”的帶電體，只能在有限的范圍內(nèi)選取某點(diǎn)為電勢(shì)的零點(diǎn)。電勢(shì)零點(diǎn)的選擇和電勢(shì)能零點(diǎn)的選擇是一樣的。電勢(shì)的表示： 電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)在數(shù)值上等于把單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢(shì)能為零的點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所作的功。當(dāng)電荷分布在有限空間時(shí)，無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)能和電勢(shì)為零1、

24、點(diǎn)電荷電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)當(dāng)選擇無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)：正點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)恒為正，離電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低；負(fù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)恒為負(fù)，離電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越高。四、電勢(shì)的計(jì)算空間有一點(diǎn)電荷q，求與它相距r的點(diǎn)P的電勢(shì)。選擇無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)結(jié)論：2、點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)電場(chǎng)由n個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，qn產(chǎn)生點(diǎn)電荷系所激發(fā)的電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)的電勢(shì)的代數(shù)和。這個(gè)結(jié)論叫做靜電場(chǎng)的電勢(shì)疊加原理。若第i個(gè)點(diǎn)電荷到點(diǎn)P的距離為ri，那么3、任意帶電體電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)Prdq線分布面分布體分布例題10-13 均勻帶電圓環(huán)軸線的電勢(shì)。已知電荷q 均勻地分布在半徑為R的圓環(huán)上，求圓環(huán)的軸

25、線上與環(huán)心相距x 的點(diǎn)的電勢(shì)。解：在圓環(huán)上取一電荷元它在場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)為積分得場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)為Ox例題10-14 均勻帶電圓盤軸線的電勢(shì)。已知電荷q均勻地分布在半徑為R的圓盤上，求圓盤的軸線上與盤心相距x的點(diǎn)的電勢(shì)。解：在圓盤上取一半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，其電量為dq=2rdr，在場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)為積分得場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì)為當(dāng)xR時(shí)把圓盤當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)電荷例題10-15 均勻帶電球體的電勢(shì)。 已知電荷q均勻地分布在半徑為R的球體上，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：由高斯定理可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布方向沿徑向當(dāng)rR時(shí)當(dāng)rR時(shí)例題10-16 均勻帶電球殼的電勢(shì)。 已知電荷q均勻地分布在半徑為R的球殼上，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：由高斯定

26、理可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布方向沿徑向當(dāng)rR時(shí)當(dāng)rR時(shí)RrV例題10-17 求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。解：假設(shè)電荷線密度為l，則場(chǎng)強(qiáng)為：由此例看出，當(dāng)電荷分布擴(kuò)展到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能再選在無(wú)窮遠(yuǎn)處。 若仍然選取無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，則由積分可知各點(diǎn)電勢(shì)將為無(wú)限大而失去意義。此時(shí)，我們可以選取某一距帶電直導(dǎo)線為rB的B點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，則距帶電直線為r的P點(diǎn)的電勢(shì)：方向垂直于帶電直線。五、等勢(shì)面1、定義電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)連起來(lái)所構(gòu)成的面，叫做等勢(shì)面。即V(x,y,z)=C，的空間曲面稱為等勢(shì)面。等勢(shì)面上的任一曲線叫做等勢(shì)線。2、等勢(shì)面的性質(zhì)在等勢(shì)面上移動(dòng)電荷時(shí)，電場(chǎng)力不作功；證明：因?yàn)閷挝?/p>

27、正電荷從等勢(shì)面上M點(diǎn)移到N點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為零，而路徑不為零，dl0除電場(chǎng)強(qiáng)度為零處外，電場(chǎng)線與等勢(shì)面正交。電場(chǎng)線的方向指向電勢(shì)降落的方向。3、典型的電場(chǎng)線與等勢(shì)面正點(diǎn)電荷的電場(chǎng)負(fù)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)勻強(qiáng)電場(chǎng)規(guī)定：兩個(gè)相鄰等勢(shì)面的電勢(shì)差相等，所以等勢(shì)面較密集的地方，場(chǎng)強(qiáng)較大；等勢(shì)面較稀疏的地方，場(chǎng)強(qiáng)較小。4、應(yīng)用測(cè)量電勢(shì)分布，得到等勢(shì)面，在根據(jù)等勢(shì)面與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，定性畫出電場(chǎng)線。六、電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系1、電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意方向的分量BAIIIElVV+V靜電場(chǎng)中兩個(gè)靠得很近的等勢(shì)面，電勢(shì)分別為V和V+V，在等勢(shì)面上取兩點(diǎn)A和B，間距為l，設(shè)與E之間的夾角為。負(fù)號(hào)表明：沿著場(chǎng)強(qiáng)的方向，電勢(shì)由高到低；逆著

28、場(chǎng)強(qiáng)的方向，電勢(shì)由低到高電場(chǎng)中某一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿任意方向的分量，等于這一點(diǎn)的電勢(shì)沿該方向變化率的負(fù)值，這就是電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)之間的關(guān)系。2、切向和法向分量等勢(shì)面上任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的切向分量為零法向分量電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，等于該點(diǎn)電勢(shì)沿等勢(shì)面法線方向的變化率的負(fù)值。VdVVEen高電勢(shì)低電勢(shì)直角坐標(biāo)系V稱為電勢(shì)梯度3、應(yīng)用電勢(shì)是標(biāo)量，容易計(jì)算?？梢韵扔?jì)算電勢(shì)，然后利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度，這樣做的好處是可以避免直接用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量運(yùn)算的麻煩。則有：即：電勢(shì)梯度是一個(gè)矢量，它的大小等于電勢(shì)沿等勢(shì)面法線方向的變化率，它的方向沿著電勢(shì)增大的方向。 梯度算符問題：1.場(chǎng)強(qiáng)大的地方，電勢(shì)一

29、定高。 6.場(chǎng)強(qiáng)不變的空間，電勢(shì)處處相等。5.電勢(shì)不變的空間，場(chǎng)強(qiáng)處處為零。4.電勢(shì)為零的地方，電場(chǎng)也一定為零。3.電場(chǎng)為零的地方，電勢(shì)也一定為零。2.電勢(shì)高的地方，電場(chǎng)一定大。例題10-18 求均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：由例1013知：細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)為式中R為圓環(huán)的半徑。因而軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為比較例106的結(jié)果例題1019 求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度。 xy解：設(shè)A與+q和-q均在xoy平面內(nèi)，A到+q和-q的距離分別為r+和r-，+q和-q單獨(dú)存在時(shí)，A點(diǎn)的電勢(shì)為由電勢(shì)的疊加原理，A點(diǎn)的電勢(shì)為對(duì)于電偶極子，l r，所以引入電偶極子的偶極矩p=ql電場(chǎng)強(qiáng)度為-q

30、+q-q+q電偶極子的延長(zhǎng)線上電偶極子的中垂線上比較比較10-5 靜電場(chǎng)中的金屬導(dǎo)體一、金屬導(dǎo)體的靜電平衡金屬導(dǎo)體有自由電子，作無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)。金屬導(dǎo)體放入靜電場(chǎng)中，導(dǎo)體中的自由電子在電場(chǎng)力的作用下作宏觀定向運(yùn)動(dòng)，引起導(dǎo)體中電荷重新分布而呈現(xiàn)出帶電的現(xiàn)象，叫作靜電感應(yīng)現(xiàn)象。由靜電感應(yīng)現(xiàn)象產(chǎn)生的電荷，稱為感應(yīng)電荷。1、靜電感應(yīng)1+ +AB+ +_+AB導(dǎo)體的兩個(gè)側(cè)面出現(xiàn)了等量異號(hào)的電荷。在導(dǎo)體的內(nèi)部建立一個(gè)附加電場(chǎng)。導(dǎo)體內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)E 就是E 和E0 的疊加。+-+-+-+-開始， E R2 R1 )板間電勢(shì)差圓柱形電容器的電容R1R2圓柱越長(zhǎng)，電容越大；兩圓柱之間的間隙越小，電容越大。用d表示兩

31、圓柱面之間的間距，當(dāng)d0 K3、有極分子的極化機(jī)理取向極化當(dāng)沒有外電場(chǎng)時(shí)，電偶極子的排列是雜亂無(wú)章的，因而對(duì)外不顯電性。+qq+取向極化當(dāng)有外電場(chǎng)時(shí)，每個(gè)電偶極子都將受到一個(gè)力矩的作用。在此力矩的作用下，電介質(zhì)中的電偶極子將轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)的方向。在垂直于電場(chǎng)方向的兩個(gè)表面上，將產(chǎn)生極化電荷。4、極化電荷在外電場(chǎng)中，出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)象叫做電介質(zhì)的極化。EE5、電暈現(xiàn)象在潮濕或陰雨天的日子里，高壓輸電線附近，常可以見到有淺藍(lán)色輝光的放電現(xiàn)象，稱為電暈現(xiàn)象。電暈現(xiàn)象可以用水分子的極化和尖端放電來(lái)解釋。二、極化強(qiáng)度矢量1、引入在沒有外電場(chǎng)時(shí)，電介質(zhì)未被極化，內(nèi)部宏觀小體積元中各分子的電偶極矩的矢量和為零；

32、當(dāng)有外電場(chǎng)時(shí)，電介質(zhì)被極化，此小體積元中的電偶極矩的矢量和將不為零。外電場(chǎng)越強(qiáng)，分子的電偶極矩的矢量和越大。用單位體積中分子的電偶極矩的矢量和來(lái)表示電介質(zhì)的極化程度2、電極化強(qiáng)度的定義單位體積中分子的電偶極矩的矢量和叫作電介質(zhì)的電極化強(qiáng)度。3、關(guān)于電極化強(qiáng)度的說明電極化強(qiáng)度用來(lái)表征電介質(zhì)極化程度的物理量；單位：C.m-2，與電荷面密度的單位相同；若電介質(zhì)內(nèi)各處的電極化強(qiáng)度大小和方向相同，稱為均勻極化；否則，稱為非均勻極化。三、極化強(qiáng)度和極化電荷面密度的關(guān)系在極化了的電介質(zhì)中取一長(zhǎng)為d、面積為S的柱體，柱體兩底面的極化電荷面密度分別為-和+，這樣柱體內(nèi)所有分子的電偶極矩的矢量和的大小為電極化強(qiáng)度

33、的大小為平板電容器中的均勻電介質(zhì)，其電極化強(qiáng)度的大小對(duì)于極化產(chǎn)生的極化電荷面密度。l+0-0-+P 在電介質(zhì)表面上取一面元dS, 并在電介質(zhì)中沿極化強(qiáng)度方向取一如圖所示的斜柱體。 由于極化,表面附近分子的正、負(fù)電荷重心將出現(xiàn)在dS上而成為表面的束縛電荷。PdldS=(柱內(nèi)分子電矩的矢量和) 于是極化強(qiáng)度為斜柱體體積：dV=dSdlcos束縛(極化)電荷面密度為 =Pcos=Pn 此斜柱體相當(dāng)于一個(gè)電偶極子，其電矩為 即電介質(zhì)表面的束縛電荷面密度等于該處極化強(qiáng)度的法向分量 。PdldS 顯然，由于極化而在dS上的束縛電荷為 因?yàn)殡娊橘|(zhì)是中性的,由電荷守恒定律可知，由于極化而留在封閉面S內(nèi)的束縛電

34、荷總量應(yīng)為稱為通過面元dS的元通量。 =Pcos 由此可知,通過電介質(zhì)中某一閉合曲面S的 通量 就等于因極化而在此面產(chǎn)生的束縛電荷總量。PdldS即：極化強(qiáng)度沿任意閉合曲面的面積分(通量)，等于該閉合曲面所包圍的極化電荷的負(fù)值。四、極化電荷對(duì)電場(chǎng)的影響1、電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度+0-0-+E0EEE稱為附加電場(chǎng)，也叫退極化場(chǎng)。2、電介質(zhì)的極化規(guī)律 實(shí)驗(yàn)證明：對(duì)各向同性的電介質(zhì)中ce稱為電介質(zhì)的極化率,在各向同性的電介質(zhì)中它是一個(gè)常數(shù)。3、極化電荷與自由電荷的關(guān)系r稱為電介質(zhì)的相對(duì)電容率。稱為電介質(zhì)的絕對(duì)電容率。真空中電介質(zhì)中4、電介質(zhì)對(duì)電容器電容的影響電容器充電后，撤去電源，使兩極板上的電量維持恒

35、定，測(cè)得充滿電介質(zhì)電容器兩極板間的電壓U。因而，充滿電介質(zhì)電容器的電容為極板間充滿電介質(zhì)的電容器的電容為真空電容的r倍。五、電位移 有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理1、有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理+0-0-+PDE設(shè)極板上的自由電荷的面密度為s0電介質(zhì)表面上極化電荷面密度為s端面的面積為S令電位移矢量電位移通量在靜電場(chǎng)中，通過任意一個(gè)閉合曲面的電位移矢量通量等于該面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，這就是有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理。2、電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系關(guān)于電位移矢量的說明電位移矢量是輔助量，電場(chǎng)強(qiáng)度才是基本量；描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)；在電介質(zhì)中，環(huán)路定理仍然成立，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。只與自由電荷有關(guān)3、有電

36、介質(zhì)時(shí)的高斯定理的應(yīng)用 利用電介質(zhì)的高斯定理可以使計(jì)算簡(jiǎn)化，原因是只需要考慮自由電荷，一般的步驟為，首先由高斯定理求出電位移矢量的分布，再由電位移矢量的分布求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，這樣可以避免求極化電荷引起的麻煩。例1022一平板電容器充滿兩層厚度各為d1和d2的電介質(zhì)，它們的相對(duì)電容率分別為er1和er2，極板的面積為S。求：(1)電容器的電容；(2)當(dāng)極板上的自由電荷面密度為s0時(shí)，兩介質(zhì)分界面上的極化電荷的面密度；(3)兩層介質(zhì)的電位移。er1er2d1d2s0er1er2d1d2s0解：(1)設(shè)兩電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)分別為E1和E2，選如圖所示的上下底面面積均為S的柱面為高斯面，上底面在導(dǎo)體中，下底面在電介質(zhì)中，側(cè)面的法線與場(chǎng)強(qiáng)垂直，柱面內(nèi)的自由電荷為根據(jù)高斯定理所以電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度兩極板的電勢(shì)差為電容(2)分界面處第一層電介質(zhì)的極化電荷面密度為第二層電介質(zhì)的極化電荷面密度為(3)電位移矢量為六、電場(chǎng)的邊界條件電場(chǎng)的邊界條件給出電介質(zhì)的分界面上電場(chǎng)中物理量所應(yīng)遵守的規(guī)律。1、法向分