最新2022年考研數(shù)學(xué)(一)真題及答案詳解

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3、evaluation. Civil air defense work2022年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如下圖，那么曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào).因此，由的圖形可得，曲線存在兩個(gè)拐點(diǎn).應(yīng)選C.(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，那么( )(A) (B) (C) (D

4、) 【答案】A【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問(wèn)題解來(lái)確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比擬等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來(lái)求解，也就是下面演示的解法.【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，從而原方程變?yōu)?，再將特解代入?應(yīng)選A(3) 假設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，那么 與依次為冪級(jí)數(shù)的 ( )(A) 收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn) (B) 收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn) (C) 發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D) 發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】B【分析】此題考查冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì).【解析】因?yàn)闂l件收斂，

5、即為冪級(jí)數(shù)的條件收斂點(diǎn)，所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為.而冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).應(yīng)選B. (4) 設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，那么 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【分析】此題考查將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累次積分【解析】先畫(huà)出D的圖形，所以，應(yīng)選B(5) 設(shè)矩陣，假設(shè)集合，那么線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，由，故或，同時(shí)或.應(yīng)選D (6)設(shè)二次型 在正交變換為 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，其中 ，假設(shè) ，那么在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形

6、為( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.由可得:故有所以.選A(7) 假設(shè)A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，那么 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的根本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) .(8)設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，那么 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】 ，選(D) .二、填空題：914小題,每題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9) 【答案】【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法那么，也可以用等價(jià)無(wú)窮小替換.【解析】方法一：方法二： (10) 【答案】【分析】此題考查定積分的計(jì)算

7、，需要用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡(jiǎn). 【解析】 (11)假設(shè)函數(shù)由方程確定，那么【答案】【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).【解析】令，那么又當(dāng)時(shí)，即.所以，因而(12)設(shè)是由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面平面所圍成的空間區(qū)域，那么【答案】【分析】此題考查三重積分的計(jì)算，可直接計(jì)算，也可以利用輪換對(duì)稱性化簡(jiǎn)后再計(jì)算.【解析】由輪換對(duì)稱性，得，其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以 (13) 階行列式【答案】【解析】按第一行展開(kāi)得(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么【答案】 【解析】由題設(shè)知，而且相互獨(dú)立，從而 .三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、

8、證明過(guò)程或演算步驟.(15)(此題總分值10分) 設(shè)函數(shù)，假設(shè)與在是等價(jià)無(wú)窮小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因?yàn)榉肿拥臉O限為0，那么，分子的極限為0，(16)(此題總分值10分) 設(shè)函數(shù)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，假設(shè)對(duì)任意的，由線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式.【答案】.【解析】設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為：令，得到，故由題意，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，即，可別離變量得到通解為：，得到，因此；即.(17)(此題總分值10分)函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).【答案】3【解析】因?yàn)檠刂荻鹊姆较虻姆较驅(qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.，故，模為，此題目

9、轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問(wèn)題.為了計(jì)算簡(jiǎn)單，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)在約束條件下的最大值.構(gòu)造函數(shù)：，得到.所以最大值為.(18)(此題總分值 10 分)I設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明II設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，寫(xiě)出的求導(dǎo)公式.【解析】I II由題意得 (19)(此題總分值 10 分) 曲線L的方程為起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分.【答案】【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程， (20) (此題滿11分) 設(shè)向量組內(nèi)的一個(gè)基，.I證明向量組為的一個(gè)基;II當(dāng)k為何值時(shí)，存在非0向量在基與基下的坐標(biāo)相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)證明： 故為的一個(gè)基.II由題意知，即即即，得k=0 (21) (此題總分值11 分) 設(shè)矩陣相似于矩陣.求的值；II求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣.【解析】(I) (II)的特征值時(shí)的根底解系為時(shí)的根底解系為A的特征值令，(22) (此題總分值11 分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對(duì) 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè),直到2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)的停止.記為觀測(cè)次數(shù).(I)求的概率分布;(II)求 【解析】(I) 記為觀測(cè)值大于3的概率，那么，從而， 為的概率分布； (II) 法一:分解法:將隨機(jī)變量分解成兩個(gè)過(guò)程,其中表示從到次試驗(yàn)觀測(cè)值大于首次發(fā)生，表示從次到第試驗(yàn)觀測(cè)值大于首次發(fā)生.那么，(注：Ge表示幾何分布)所以.法二:直接計(jì)算記，那么，所以，從而.(2