金融工程復習

1、金融工程復習題一、名詞解釋絕對定價法和相對定價法絕對定價法：根據(jù)證券未來現(xiàn)金流的特征，運用恰當?shù)馁N現(xiàn)率將這些現(xiàn)金流貼現(xiàn)加總為現(xiàn)值，該現(xiàn)值就是 此證券的合理價格。相對定價法：利用標的資產(chǎn)價格與衍生證券價格之間的內(nèi)在關系，直接根據(jù)標的資產(chǎn)價格求出衍生證券價 格。風險中性定價原理定價衍生證券時，假設所有投資者對于標的資產(chǎn)所蘊含的價格風險的態(tài)度都是中性的，既不偏好也不厭惡。 此條件下，所有證券的預期收益率都等于無風險利率，因為風險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引 他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有現(xiàn)金流都應使用無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。最小方差優(yōu)套期保值比率指套期保值的目標是使得整個套期

2、保值組合收益的波動最小化的套期保值比率，具體體現(xiàn)為套期保值收益 的方差最小化。遠期利率協(xié)議遠期利率協(xié)議是買賣雙方同意從未來某一商定的時刻開始，在某一特定時期內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額 確定、以特定貨幣表示的名義本金的協(xié)議。利率互換和貨幣互換利率互換：雙方同意在未來一定期限內(nèi)根據(jù)同種貨幣的相同名義本金交換現(xiàn)金流，其中一方的現(xiàn)金流根據(jù) 事先選定的某一浮動利率計算，而另一方根據(jù)固定利率計算。貨幣互換：在未來約定期限內(nèi)將一種貨幣的本金和固定利息與另一方貨幣的等價本金和固定利息交換。期權內(nèi)在價值與時間價值內(nèi)在價值：是0與多方行使期權時所獲收益貼現(xiàn)值的較大值。時間價值：在期權尚未到期時，標的資產(chǎn)價格的波動為

3、期權持有者帶來收益可能性所隱含的價值。二、問答題無套利定價的主要特征是什么？第一，套利活動在無風險的狀態(tài)下進行，也就是，最差的情況下套利者的最終損益為零，而不會為負。第二，無套利的關鍵技術是所謂的復制技術，即用一組證券來復制另外一組證券。復制技術的要點是 使復制組合的現(xiàn)金流特征，與被復制組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復制組合的多頭與被復制組合的空頭相 互之間應該完全實現(xiàn)頭寸對沖。第三，無風險的套利活動從初始現(xiàn)金流看是零投資組合，即開始時套利者不需要任何資金的投入，在投資 期間也不需要任何維持資本（需要以金融市場的無限制賣空為前提）。遠期價格與期貨價格有什么關系？二者十分相似，都是理論交割價格，唯一

4、的區(qū)別是遠期和期貨合約交易機制的不同：遠期合約在簽訂之后 不再變化直至到期交割清算，而期貨合約則每日盯市結算結清浮動盈虧。具體來講，當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。相反，當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關時， 遠期價格就會高于期貨價格。遠期和期貨的價格差異幅度還取決于合約有效期的長短。此外，稅收，交易費用，保證金的處理方式，違 約風險流動性等等因素的差異也會導致遠期價格和期貨價格差異。如何證明無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理？遠期價格F是使遠期合約價值f為零的交割價格K，則有：F=Se人?。㏒e r（T

5、-t）、一 一 . .、假設KSe ，即交易對手報出的交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值。此時套利者可以按無風險利率r 借入S現(xiàn)金，期限為T-t。然后用S購買一單位標的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠期合約，交割價格為K。 在T時刻，該套利者可將一單位標的資產(chǎn)交割換得K現(xiàn)金，并歸還借款本息Se*-t），從而實現(xiàn)K- Ser偵-t） 的無風險利潤。 .Se r（T-t）、.一 .若K 08n2G于是從而b n* = p hHG b G遠期利率套利如何操作?基于久期的利率套期保值的最優(yōu)比率如何確定金融互換的功能是什么？互換的運用主要包括三方面：套利，風險管理與合成新產(chǎn)品。根據(jù)套利收益來源的不同，互換套利可大致

6、分為信用套利及稅收與監(jiān)管套利。風險管理是互換最重要，最基本的功能與運用領域?；Q的種類不同，其管理的風險也是各不相同的，其中利率互換主要運用于管理利率風險，貨幣互換主 要運用于管理匯率風險?；Q的第三個用途是構造新的金融產(chǎn)品。無論是套利，風險管理還是構造新產(chǎn)品，運用的互換目的都是降低成本，提高收益與進行風險管理。試述利率互換在風險管理中的運用。期權價格的影響因素有哪些，它們是怎樣影響期權價格的？影響期權價格的五大因素：1 .標的資產(chǎn)的市場價格與期權的協(xié)議價格是影響期權價格最主要的因素。因為這兩個價格及其相互關系不僅決定著內(nèi)在價值，而且還進一步影響著時間價值。由于看漲期權在執(zhí)行 時，其收益等于標

7、的資產(chǎn)當時的市價與協(xié)議價格之差。因此，標的資產(chǎn)的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲 期權的價格也就越高。對于看跌期權而言，由于執(zhí)行時其收益等于協(xié)議價格與標的資產(chǎn)市價的差額，因此， 標的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權的價格也就越高。期權的有效期時間價值顯然會受到時間的影響。但是，對于歐式和美式期權，時間的影響有所不同：對于美式期權，有 效期越長，期權價值越大，而歐式期權則不一定。但在一般情況下，期權的邊際時間價值都是正的，也就 是說，隨著時間的增加，期權的時間價值是增加的。然而，隨著時間的延長，期權時間價值的增幅是遞減 的。因此，我們可以得出兩點結論：結論1：對于到期日確定的期權來說，在其他條

8、件不變時，隨著時間的流逝，其時間價值的減小是遞增的。 結論2：當時間流逝同樣的長度，期限長的期權時間價值的減小幅度將小于期限短的期權時間價值的減小 幅度。標的資產(chǎn)價格的波動率所謂波動率是指標的資產(chǎn)收益率的標準差，它反映了標的資產(chǎn)價格的波動狀況。標的資產(chǎn)價格的波動率越 高，期權的時間價值就越大。原因在于多頭的最大虧損僅限于期權費，上漲獲利與下跌虧損不對稱，所以 波動的價值為正。波動率越大，時間價值越大。4 .無風險利率影響期權價格的另一個重要因素是無風險利率，尤其是短期無風險利率。從靜態(tài)角度考慮，無風險利率越 高，標的資產(chǎn)未來預期價格越高，同時預期盈利的現(xiàn)值越低，這兩種效應都會使看跌期權價值降低

9、，由于 前者效應更大，無風險利率越高，看漲期權價格也較高。從動態(tài)角度看，無風險利率提高時，原有均衡被 打破，為了使標的資產(chǎn)預期收益率提高，通常同時降低標的資產(chǎn)的期初價格和預期未來價格，前者降幅更 大，同時貼現(xiàn)率隨之上升。對于看漲期權來說，這兩種效應都使期權價格下降，對于看跌期權來說，前者 的正效應通常大于后者的負效應，因此其價格上升。5.標的資產(chǎn)的收益按照美國市場慣例，標的資產(chǎn)分紅或者是獲得相應現(xiàn)金收益的時候，期權的協(xié)議價格合約并不進行相應的 調整；但標的資產(chǎn)的價格卻發(fā)生了變化，因此在期權有效期內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生的現(xiàn)金收益將使看漲期權價格 下降，而使看跌期權價格上升。期權價格的上下限是如何確定的？

10、以歐式期權為例：1.1看漲期權價格的上限看漲期權的價格都不會超過標的資產(chǎn)的價格。因為，如果期權價格高于標的資產(chǎn)價格，套利者可以通過 買入標的資產(chǎn)并賣出期權來獲得無風險利潤。因此，標的資產(chǎn)價格是歐式期權的上限：CWS1.2看跌期權價格的上限由于歐式看跌期權只能在到期日T執(zhí)行，因此歐式看跌期權不能高于未來協(xié)議價格X的現(xiàn)值： pWXe-r(T-t)下限，均以無收益情形為例2.1看漲期權價格的下限一一無收益情形為了推導出期權價格下限，我們考慮如下兩個組合：組合A： 一份歐式看漲期權加上金額為Xe -r(Tt)的現(xiàn)金組合B： 一單位標的資產(chǎn)在組合A中，如果現(xiàn)金按無風險利率投資則在T時刻將變?yōu)閄，即等于協(xié)

11、議價格。此時多頭要不要執(zhí)行 看漲期權，取決于T時刻標的資產(chǎn)價格(ST)是否大于X。若STX，則執(zhí)行看漲期權，組合A的價值 為ST；若STWX，則不執(zhí)行看漲期權，組合A的價值為X。因此，在T時刻，組合A的價值為：max(ST, X)而在T時刻，組合B的價值為ST。由于max(ST, X)NST，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于 組合 B，即：c + Xe-r(t-)NS，cNST -Xe-(t-)由于期權的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格下限為：cN max(S -Xe-g), 0)2.2看跌期權價格的下限一一無收益情形考慮如下兩個組合：組合C： 一份歐式看跌期權加上一單位標的

12、資產(chǎn)組合D：金額為Xe r(T-)的現(xiàn)金在T時刻，如果ST X，期權將不被執(zhí)行，組合C價值 為ST，即在組合C的價值為：max (ST, X)假定組合D的現(xiàn)金以無風險利率投資，則在T時刻組合D的價值為X。由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：p + SN Xe-r(t-t)pNS-Xe-r(t-t)由于期權價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權價格下限為：p N max(- Xe r(t-t) -S, 0)歐式看漲期權與看跌期權的平價關系如何確定？1,無收益資產(chǎn)歐式看漲期權與看跌期權考慮以下兩個組合：組合A： 一份歐式看漲期權加上金額為執(zhí)行價

13、格現(xiàn)值的現(xiàn)金組合B： 一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產(chǎn)在期權到期時，兩個組合的價值均為max(SX)。由于歐式期權不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻，必須 具有相等的價值，即：C + Xe tt)= p + S這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系(Parity)。它表明歐式看漲期權的價值可根 據(jù)同協(xié)議價格和到期日的歐式看跌期權的價值推導出來，反之亦然。如果公式不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使公式成立。根據(jù)以上平價公式，我們可以得到 C = p + S XefTT)我們可以用金融工程的眼光來看待這個公式，它表示看漲期權等價于借錢買入股

14、票，并買入一個看跌期 權來提供保險。和直接購買股票相比，看漲期權多頭有兩個優(yōu)點：保險和可以利用杠桿效應。2有收益資產(chǎn)歐式看漲期權與看跌期權在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為收益的現(xiàn)值與執(zhí)行價格現(xiàn)值之和， 我們就可推導有收益資產(chǎn)歐式看漲期權和看跌期權的平價關系：C + D + Xe-r(T-t)= p + S根據(jù)上式我們可以得到：c = p + S Xe-r(t-t) D也就是說在其它條件相同的情況下，如果紅利的現(xiàn)值增加，有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權的價值會下跌。布萊克-舒爾斯-默頓偏微分方程如何推導？三、計算題基于該股票的看漲期權的有效期是孔在這個1.假設一個無紅利支付的

15、股票，當前時刻t股票價格為S，有效期內(nèi)，股票價格或者上升到珈，或者下降到Sd。當股票價格上升到Su時，期權的收益為九，如果股票的價格下降到Sd時，期權的收益為fd。試用無套利方法確定該股票期權在當前時刻t的價值f。解：首先，構造一個由股股票多頭和一個期權空頭組成的證券組合，假設無風險利率為r。由于沒有套利機會，上漲到Su時，貼現(xiàn)到t時刻的總收益=(Suk-fu )e-r (tt) (S -f) = 0下降到Sd時，貼現(xiàn)到t時刻的總收益=(Sd fd )e-r (tt) (S A f) = 0 fufd所以，A =Su Sdf = S A (SuA fu )er (T-1)把八帶入得：fu fd

16、 fu fdf = S (Su-fu )er (tt)Su SdSu SdP62,1 .假設一種無紅利支付 的股票目前市價20元，無風險連續(xù)復利年利率為10%，求該股票三個月遠期 價格。如果三個月后該股票市價為15元，求這份交易數(shù)量為100單位的遠期合約多頭方的價值。答：F=Ser(Tt) =20 x e0.ix0.25 =20.51，三個月后，對于多頭(將來買入資產(chǎn))來說，該遠期合約的價值為(15-20.51) x100=551。2.假設一種無紅利支付的股票目前市價20元，無風險連續(xù)復利年利率為10%，目前市場上該股票三個月 遠期價格為23元，請問應如何進行套利？答：F=Ser(Tt) =2

17、0 x e0.1x 0.25=20.50元的無風險利潤。某股票預計在2個月和5個月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價等于30元，所有期限的無風險連續(xù)復利年利率均為6%,某投資者剛取得該股票6個月期的遠期合約空頭，交易單位為100。請問： 該遠期價格等于多少？3個月后，該股票價格漲到35元，無風險利率仍為6%，此時遠期合約空頭價值 等于多少？ 答：2個月和5個月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e-0.06x2/12+e-0.06x5/12=1.97元。遠期價格=(30-1.97)0.06x0.5=28.88 元。若交割價格等于遠期價格，則遠期合約的初始價值為0。在3個月后的這個時點，2個月后派發(fā)的1

18、元股息的現(xiàn)值=e-0.06x2/12=0.99元。遠期價格=(35-0.99)e0.06x3/12=34.52 元。此時空頭遠期合約價值=100 x(28.8834.52)e-0 06x3/1? =-556 元。P. 130，1.假設在一筆互換合約中，某一金融機構每半年支付6個月期的LIBOR，同時收取8%的年利率 (半年計一次復利)，名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個月，9個月和15個月的LIBOR (連續(xù)復利率)分別為10%，10.5%和11%。上一次利息支付日的6個月LIBOR為10.2% (半年計一次 復利)。試分別運用債券組合和FRA組合計算此筆利率互換對金融機構的價

19、值。答(1)運.用債券絹合：*B = ke-r.t. + Ae-狄從題目中可知k = $400萬，k = $510萬，因此，得f i=1B = (A + k *)e-r1t1 fiB = 4e-0.1x0.25 + 4e-0.105x0.75 + 104e-0.11x1.25 = $0.9824_fix億美元Bfl =(100+5.1)e-0.1x0.25 =$1.0251 億美一所以此筆利率互換對該金融機構的價值為98.4102.5=427萬美元(金融機構要支付427)(2)運用FRA組合:人 皿 、以人-八 ，入鼻 口 0.5 x100 x(0.08 -0.102)e-0.1x0.25 =

20、-107萬美元3個月后的那筆交換對金融機構的價值是0.105x0.75-0.10 x0.25 _010750.5由于3個月到9個月的遠期利率為-=.2 x (e0.1075/2 -1)10.75%的連續(xù)復利對應的每半年計一次復利的利率為= 0.110440.5 x100 x(0.08 - 0.11044)e-0.105x0.75 =-141萬美元所以9個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為 同理可計算得從現(xiàn)在開始9個月到15個月的遠期利率為11.75%，對應的每半年計一次復利的利率為12.102%。所以15個月后那筆現(xiàn)金流交換的價值為0.5 x100 x(0.08 - 0.12102)e-0.11x1.

21、25= -179萬美元所以此筆利率互換對該金融機構的價值為-107 -141 -179 = -427萬美元假設美元和日元的LIBOR的期限結構是平的，在日本是4%而在美國是9% (均為連續(xù)復利率)。某一金融機構在一筆貨幣互換中，每年收入日元，利率5%,同時付出美元，利率8%。兩種貨幣的本金分別 為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年期限，每年交換一次利息，即期匯率為1美元=110 日元。是分別運用債券組合和遠期外匯組合計算此筆貨幣互換對該金融機構的價值。（1）運用債券組合：如果以美元為本幣，那么 Bd = -8e-009X1 + -8e02+ 10-8e-009x3 = 964

22、4 萬美元萬日元=60e-0.04xi + 60e-0.04x2 + 1260當。.。4、3 = 123,055所以此筆貨幣互換對該金融機構的價值為V =S B -B = 123055 9644 = 1543萬美元 互換 0 F D 110.（2）運用遠期外匯組合：I即期匯率為1美元= 110日元，或者是1日元=0.009091美元。因為美元和日 元的年利差為5 %，根據(jù) F = S 官 中”, 一年期、兩年期和三年期的遠期匯率分別為0-009091e0-05x1 = 0.009557.991e 0.05x2 = .1470.009091e 0.05x3 =0.010562與利息交換等價的三份遠期合約的價值分別為(爵60 X .9557)e-0.09x1 =20.71萬美元(0.8 60 x 0.010047)e-0.09x2 =16.47萬美元(0.8 60 x 0.010562)e-0.09x3 =12.69萬美元= -201.4