隨機(jī)過(guò)程試題及解答

1、2016隨機(jī)過(guò)程(A)解答1、(15分)設(shè)隨機(jī)過(guò)程X () = U -1 + V , t g (0,8), u，V是相互獨(dú)立服從正態(tài)分布N(2,9) 的隨機(jī)變量。求X(t)的一維概率密度函數(shù)；求X(t)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。求X(t)的二維概率密度函數(shù)；解：由于U，V是相互獨(dú)立服從正態(tài)分布N(2,9)的隨機(jī)變量，所以X(t) = U -1 + V也服從正 態(tài)分布，且：m(t) = E X (t )= E U -1 + V = t - E U + E V = 2t + 2(x-2t-2*D(t) = D X(t)= D U -1 + V = 12D U+ D V = 9t2 + 9故

2、：X(t)的一維概率密度函數(shù)為：f (x) = 2= -e 18(t2 +1) , -8 x8X(t)的均值函數(shù)為：m(t) = 2t + 2 ；相關(guān)函數(shù)為：R( s,t) = E X (s) - X (t )= E (U - s + V) - (U -1 + V)=st - E U2+(s +1) - E u V+ E V2=st 13 + (s +1) - 4 +13協(xié)方差函數(shù)為：B(s, t) = R(s, t) 一 m(s) - m(t) = 9st + 9(3)相關(guān)系數(shù):P = P (s, t)=B (s, t)9 st + 9st +1vD(s) vD(t)v9s2 + 9 .履1

3、2 + 9 vs2 +1 . 2 +1X(t)的二維概率密度函數(shù)為:fs ,t(XX2) =118兀s2 +1 t2 +1 ：1 一p211 el 2(1-p 2)(% -2s-2)2 2p(X -2s-2)(x2-2t-2) (x2-2t-2)29( s2 +1) - 9?2 +1t2 +1+ 4( t2 +1)2、(12分)某商店8時(shí)開(kāi)始營(yíng)業(yè)，在8時(shí)顧客平均到達(dá)率為每小時(shí)4人，在12時(shí)顧客的 平均到達(dá)率線(xiàn)性增長(zhǎng)到最高峰每小時(shí)80人，從12時(shí)到15時(shí)顧客平均到達(dá)率維持不變 為每小時(shí)80人。問(wèn)在10:0014:00之間無(wú)顧客到達(dá)商店的概率是多少？在10:0014:00 之間到達(dá)商店顧客數(shù)的數(shù)學(xué)

4、期望和方差是多少？解：到達(dá)商店顧客數(shù)服從非齊次泊松過(guò)程。將8時(shí)至15時(shí)平移到07時(shí)，則顧客的到達(dá)速率函數(shù)為：人(t )=4 + 19t, 80,在10:0014:00之間到達(dá)商店顧客數(shù)X(6) -X(2)服從泊松分布，其均值:m(6) - m(2) = f X (t )dt =j(4 + 19t )dt + f 80dt=282在10:0014:00之間無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為：P X (6) - X (2) = 0=空)0-e -282 = e -282 0!在10:0014:00之間到達(dá)商店顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差相等，均為:m(6) 一 m(2) = 2823、(13分)設(shè)移民到某地區(qū)定居的

5、戶(hù)數(shù)是一個(gè)泊松過(guò)程，平均每周有8戶(hù)定居，如果一戶(hù) 4人的概率為0.2,如果一戶(hù)3人的概率為0.3, 一戶(hù)2人的概率為0.3, 一戶(hù)1人的概率 為0.2,并且每戶(hù)的人口數(shù)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，求在8周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)的 數(shù)學(xué)期望與方差。解：已知移民到某地區(qū)定居的戶(hù)數(shù)N(t)是一個(gè)強(qiáng)度X = 8的泊松過(guò)程，第i戶(hù)的人口數(shù)(i = 1,2,A)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，在t周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)：X(t)=箜*是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程，Y的分布為：一g八。i=1:.EY = 2.5 EY 2 = 7.3i 求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。 求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P及當(dāng)零時(shí)刻初始分布為：PX

6、 = 1 = 0.2, PX = 2 = 0.2, PX = 3 = 0.6,時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后的絕對(duì)分布。0解： (1)此馬爾科夫鏈為非周期、不可約、有限狀態(tài)，存在平穩(wěn)分布兀T = 氣,兀j兀3滿(mǎn)足:兀=0.2 兀 + 0.1兀 + 0.6 兀1123兀=0.3 兀 + 0.5 兀 + 0.2 兀 2123冗=0.5 .冗 + 0.4 .冗 + 0.2 .冗3123兀+兀+兀=1P 0.2 0.3 0.3 0.2由公式：E(X(t )=XtEY,D(X(t )=XtEY2可得在5周內(nèi)移民到該地區(qū)人口數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差為：E(X (5) = 8 x 8 x 2.5 = 160,D(X (5) =

7、 8 x 8 x 7.3 = 467.24、(15分)設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:34兀2 10332 341237 兀337103故平穩(wěn)分布兀T = 赤，而，赤1103各狀態(tài)的平均返回時(shí)間：日=1兀 3211031103七=廣=3T七=廣=藥0.20.30.50.10.50.40.60.20.2123(0.2 0.30.3 0.5 (0.37 0.31 0.32(1)P (2) = P - P =0.1 0.50.40.10.5 0.40.31 0.36 0.330.6 0.2已知初始分布：Pt (0) = (0.20.2 )0.2 0.6)，0.2 0.2)0.26 0.32 0.42)

8、所以經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后的絕對(duì)分布為:(0.370.31 0.32 PT =PT (0) P(2)= (0.2 0.2 0.6) 0.31 0.36 0.33 = (0.292 0.326 0.382)0.26 0.32 0.42)5、（10分）假定在路口只有紅、綠燈（沒(méi)有黃燈），開(kāi)車(chē)時(shí)這個(gè)路口如果紅燈則下 個(gè)路口仍紅燈的概率為0.1，而如果這個(gè)路口綠燈則下個(gè)路口仍綠燈的概率為0.6，試 求路口遇紅燈的極限概率，以及紅燈和綠燈狀態(tài)的平均返回時(shí)間。解：設(shè)紅燈為狀態(tài)1,綠燈為狀態(tài)2,可以求出其轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P =(0.1 0.9 10.4 0.6 )此馬爾科夫鏈為非周期、不可約、有限狀態(tài)，存在平穩(wěn)分布兀

9、T = 氣兀2滿(mǎn)足:兀=0.1兀 + 0.4 兀2兀+兀1=0.9 兀 + 0.6 兀4解得：兀=,1 132兀 2 1349 故平穩(wěn)分布兀丁 = 汀，汀路口遇紅燈的極限概率為兀1 13紅燈和綠燈狀態(tài)的平均返回時(shí)間:113136、（15分）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I = 1,2,3,4,5，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.00.30.00.70.0、0.10.20.30.20.20.00.00.40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.00.8 ；P =中C1為非常返狀態(tài)；C2為不可約、非周期、正常返閉集，從而存在平穩(wěn)分布。對(duì)于C丁 3,5，轉(zhuǎn)移概率矩陣為:(0.4 0.6)02 0

10、8* 0.2 0.8 /，其平穩(wěn)分布滿(mǎn)足:兀=0.4 兀 + 0.2 兀兀=0.6 兀 + 0.8 兀兀+兀=1I 35解得：兀13故C2=3,5的平穩(wěn)分布兀T =0, 0,4,0,4各常返狀態(tài)的平均返回時(shí)間： = = 4,日=-L = ?3 兀5 兀 37(10分)一質(zhì)點(diǎn)在1，2,3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在t,t + h)內(nèi)，它都以概率5h + o(h)分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯?tīng)柲缏宸蛭⒎址匠?，轉(zhuǎn)移概率(t)及平穩(wěn)分布。解：質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)t時(shí)刻的位置X(t)是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程，其狀態(tài)空間：I = 1,2,3， TOC o 1-5 h z Q 矩

11、陣元素為：q. = lim 七；)=lim +：()= 5,任豐 j)j hT0 hhT0hq = (q . 1 + q) = 10，(其中約定狀態(tài)：0=3, 4=1)(-1055、即：Q = 5-10555-10 J柯?tīng)柲缏宸蛳蚯拔⒎址匠虨椋篜 (t) = 5(p (t) + p (t) -10p (t)i, ji, j1i, j+1i, jj1e15t + 3由于：Pi - 1(t) + Pi -(t) + Pj .+1(t) = 1 得到：P)=5(1-P (tjj10P (t) = 15P (t) + 5 i,ji,ji,j，C為待定常數(shù)。解此一階線(xiàn)性微分方程得：P. j (t) =

12、 C 10, i 豐 j 又因：P (0)= .i,j11, i = j 平穩(wěn)分布為：兀=limPj () =：, (J = 1,2,3)故轉(zhuǎn)移概率Pj()為：P., (t) = |1e15t +32e15t +3:13,13,tT8 J 38、（10分）設(shè)隨機(jī)過(guò)程X （t） = sin2（t +。），8t +8，其中0是服從區(qū)間0,兀 上的均勻分布的隨機(jī)變量。試回答：X（t）是否為（寬）平穩(wěn)過(guò)程？研究X的均值函數(shù) 和相關(guān)函數(shù)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解：E X (t )= Esin2(t + 0) = f L sin2(t +0 )d0 =1I = sin2(t + 0) - sin2(t-t +0) d0 f*0故E X (t) - X (t-t )= Esin2(t + 0) - sin2(t -t +0)1 1=+ cos(2t )4 8所以，X(t)是(寬)平穩(wěn)過(guò)程。 TOC o 1-5 h z )=左 m-L j sin2(t + 0)dt =2T2T s-t故X(t)的均值函數(shù)具有