集合及集合的表示知識講解

1、集合及集合的表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解集合的含義，會使用符號七”氣”表示元素與集合之間的關(guān)系.能選擇自然語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感 受集合語言的意義和作用.理解集合的特征性質(zhì)，會用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常用數(shù)集、 解集和一些基本圖形的集合等.【要點(diǎn)梳理】集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)， 一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上另一方面，集合論 及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.要點(diǎn)一、集合的有關(guān)概念集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們 能意識到這些東西，并且能判斷一個(gè)給定的東

2、西是否屬于這個(gè)總體.一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，一些元素組成的總體叫集合 (set)，也簡稱集.關(guān)于集合的元素的特征確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對象，則x或者是A 的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對 象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.無序性：集合中的元素的次序無先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1, 3, 2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合.元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a屬于(belong to)A,記作ae A如果a不是集合A的

3、元素，就說a不屬于(not belong to)A,記作a wA集合的分類空集：不含有任何元素的集合稱為空集(empty set),記作：0.有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.無限集：含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R要點(diǎn)二、集合的表示方法我們可以用自然語言來描述一個(gè)集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之 外還常用列舉法和描述法來表示集合.自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?如：大于等于2且小于 等于8的偶數(shù)構(gòu)成的集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)

4、.如：1，2, 3, 4,5， x2, 3x+2, 5y3-x, X2+y2,；3.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi).具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集 合中元素所具有的共同特征.圖示法：圖示法主要包括Venn圖、數(shù)軸上的區(qū)間等.為了形象直觀，我們 常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，這種表示集合的方法 稱為韋恩（Venn）圖法.如下圖，就表示集合3,4 .2, 3,【典型例題】類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)例1.下列各組對象哪些能構(gòu)成一個(gè)集合？（1）著名的數(shù)學(xué)家；（2）比較小的正整數(shù)的全

5、體；（3）某校2011年在校的所有 高個(gè)子同學(xué)；（4）不超過20的非負(fù)數(shù)；（5）方程x2-9 = 0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；（6） 豆的近似值的全體.答案：（4）、（5）解析：從集合元素的“確定”、“互異”、“無序”三種特性判斷.“著名的數(shù)學(xué)家”、“比較小的正整數(shù)”、“高個(gè)子同學(xué)”對象不確定，所以（1）、（2）、（3）不是集合，同理（6）也不是集合.（4）、（5）可構(gòu)成集合，故答案是（4）、 （5）.點(diǎn)評:（1）判斷指定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確標(biāo)準(zhǔn)，對 于任何一個(gè)對象，都能確定它是不是給定集合的元素，同時(shí)還要注意集合中元 素的互異性、無序性.（2）“有限集”和“無限集”是通過集

6、合里面元素的個(gè)數(shù)來定義的，集合里 面元素的個(gè)數(shù)很多，但不一定是無限集.舉一反三：【變式1】判斷下列語句能否確定一個(gè)集合？如果能表示一個(gè)集合，指出它 是有限集還是無限集.（1）你所在的班，體重超過75kg的學(xué)生的全體；（2）舉辦2008年奧運(yùn)會的城 市；（3）高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題；（4）在2011年3月11日日本地震海嘯中 遇難的人的全體；（5）大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù).答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。解析：緊扣“集合”、“有限集”、“無限集”的定義解決問題.（1）你所在的班，體重超過75kg的學(xué)生是確定的，不同的，能組成一個(gè)集 合，且為有限集；

7、（2）舉辦2008年奧運(yùn)會的城市也能組成一個(gè)集合，為有限集；（3）不能構(gòu)成集合.“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確標(biāo)準(zhǔn)，對于 一道數(shù)學(xué)題是否是“難題”無法客觀判斷.（4）在2011年3月11日日本地震海嘯中遇難的人是確定的，不同的，因而 能構(gòu)成集合，是有限集.（5）大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù)也是確定的，互異的，因此這樣的實(shí)數(shù)能 構(gòu)成一個(gè)集合，是無限集.例2.集合A由形如m*n（mc Z,n eZ）的數(shù)構(gòu)成的，判斷工是不是集合A2 如3中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，-L3 = 2 +睿.由題中集合A可知m = 2,n = 1,均有 m e Z, ne Z， :.2 +3 e A，

8、艮P 一二 e A .2 - *3點(diǎn)評:(1)解答本題首先要理解與右的含義，然后要弄清所給集合是由一 些怎樣的數(shù)構(gòu)成的，工能否化成此形式，進(jìn)而去判斷工是不是集合A中2 - ；32 -寸 3的元素.(2)判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，就是判斷這個(gè)元素是否具有這 個(gè)集合的元素的共同特征.此類題，主要看能否將所給對象的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為集合 中元素所具有的形式.舉一反三：【變式 D 設(shè)S=xlx=m+x/2n,m,n e Z若aeZ，則是否有aeS?對S中任意兩個(gè)元素x，x，則x +x，x x，是否屬于集合S?121212答案：ae S是解析：(1)若 aeZ，則有 aeS，即 n=0 時(shí)，xeZ，A

9、aeS；(2)vx ， x eS，則 x =m + *2n ,x =m + % 2n (m ,n ,m ,n eZ) 121 11 222 1 1 2 2.工 + 工 =(m + m ) + 2(n + n ) e S (m + m e Z, n + n e Z) TOC o 1-5 h z 1212121212x - x =(m +2n ) - (m +2n )=m m +2n n +% 2(m n +m n )121122121 21 22 1*.*m，n， m，n eZ，.mm+2nn e Z，m n +m n eZ11221 21 21 22 1.*.x1 x2 e S.類型二：元素與

10、集合的關(guān)系例3.用符號七”或“冬”填空.2的婦 x 43x I x = n 2 +1, n e N ,5x I x = n 2 +1, n e N ；(1,1)y I y = x2,(1,1)(x, y) I y = x2.解析：給定一個(gè)對象a,它與一個(gè)給定的集合A之間的關(guān)系為a e A，或者a史A , 二者必居其一.解答這類問題的關(guān)鍵是：弄清a的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才 能下結(jié)論.對于第(1)題，可以通過使用計(jì)算器，比較各數(shù)值的大小，也可以先 將各數(shù)值轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)一致的數(shù)，再比較大小；對于第(2)題，不妨分別令x=3, x=5，解方程；對于第(3)題，要明確各個(gè)集合的本質(zhì)屬性.2、：3 =、

11、宓 、；!，. 2、；3 宅x I x 吊=4, 3克 e x I x 4 令 3 = n2 +1，則 n = /2 史 N，二 3 史x I x = n2 +1, n e N ；令5 = n2+1，則 n = 2,其中2 e N , 5 e x I x = n2+1，n e N ；V (-1, 1)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，且符合關(guān)系y=x2, (1,1)金y I y = x2,(1,1) e (x, y) I y = x2.點(diǎn)評：第(1)題充分體現(xiàn)了 “化異為同”的數(shù)學(xué)思想另外，“見根號就平方” 也是一種常用的解題思路和方法，應(yīng)注意把握.第(2)題關(guān)鍵是明確集合x I x = n2+1, n e

12、N 這個(gè)“口袋”中是裝了些X呢？還是裝了些n呢？要特別注 意描述法表示的集合，是由符號“I”左邊的元素組成的，符號“I”右邊的 部分表示X具有的性質(zhì).第(3)題要分清兩個(gè)集合的區(qū)別.集合 y I y = x 2這個(gè)“口 袋”是由y構(gòu)成的，并且是由所有的大于或等于0的實(shí)數(shù)組成的；而集合 (x, y )I y = x2是由拋物線y = x 2上的所有點(diǎn)構(gòu)成的，是一個(gè)點(diǎn)集.舉一反三：【變式1】用符號“”或“”填空 若 A=Z,則1A ； 2 A.2 若B = 12x2 x 1 = 0則1B ； 2 B .2 答案： , e (2) e , 類型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用例 4.定義集合運(yùn)算：Ad B

13、= z I z = xy(x + y),x e A, y e b-設(shè)集合 A = 。, #，B = 2,3，則集合AaB的所有元素之和為A. 0 B. 6 C. 12 D. 18答案：D解析：A B = z I z = xy(x + y),x e A, y e B ， 當(dāng) A = 0,1,B = 2,3時(shí)， Ad B = 0 , 6 ,，1于是B的所有元素之和為0+6+12=18.點(diǎn)評：這類試題通過給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運(yùn)算方法，在新的情境下完成 某種推理證明是集合命題的一個(gè)新方向.常見的有定義新概念、新公式、新運(yùn)算 和新法則等類型.舉一反三：【變式 1】定義集合運(yùn)算：A * B = z I

14、z = xy, x e A, y e B，設(shè) A = 1,2，B = 0,2， 則集合A * B的所有元素之和為()A. 0 B. 2 C. 3 D. 6答案：D解析： :z = xy, x e A, y e B， 且 A = 1,2 ，B = 0,2，z的取值有：0, 2, 4故 A * B = 0,2,4 ，集合A * B的所有元素之和為：0+2+4=6.高清課程：集合的表示及運(yùn)算例5.設(shè)集合A = （x e R | ax2 + 2x +1 = 0 ，當(dāng)集合A為單元素集時(shí)，求實(shí)數(shù)a的 值.答案：0，1解析：由集合A中只含有一個(gè)元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方 程并沒有注明

15、是一個(gè)二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，可得是一次方程，故滿足題意.當(dāng)aN0時(shí)，則為一個(gè)二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個(gè)相等的 根，即為判別式為0時(shí)的a的值，可求得為a=1.故a的取值為0，1.例6.已知集合A =a + 2,（ a +1）2, a 2 + 3a + 3），若1e A，求實(shí)數(shù)a的值及集合A .答案：a = 0，A = 1,2,3.解析:（1）若 a + 2 = 1,則 a = -1.所以A = 1,0,1，與集合中元素的互異性矛盾，則a = -1應(yīng)舍去.（2）若（a +1）2 = 1，貝V a = 0 或 a = -2，當(dāng)a = 0時(shí)，A = 2,1

16、,3滿足題意；當(dāng)a = -2時(shí)，A = 0,1,1，與集合中元素的互異性矛盾，則a = -2應(yīng)舍去.（3）若a2 + 3a + 3 = 1，則a = -1或a = -2，由上分析知a = -1與a = -2均應(yīng)舍去.綜上，a = 0，集合 A = 1,2,3 .點(diǎn)評：本題中由于1和集合A中元素的對應(yīng)關(guān)系不明確，故要分類討論.此 類問題在解答時(shí)，既要應(yīng)用元素的確定性、互異性解題，又要利用它們檢驗(yàn)解 的正確與否，特別是互異性，最容易忽視，必須在學(xué)習(xí)中引起足夠的重視.舉一反三：【變式1】已知集合A = ? + 2,a2 + 2，3 e A，求實(shí)數(shù)a的值答案：a = -1解析：當(dāng)a + 2 = 1，即

17、a = -1時(shí)，A = 3,3，與集合的概念矛盾，故舍去當(dāng)a2 + 2 = 3,即a = 1時(shí)，a = 1不滿足題意舍去，故a = -1.類型四：集合的表示方法例7.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：方程X2 -3 = 0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；由大于15小于25的所有整數(shù)組成的集合.答案： (1) 、3- .君; (2) 16,17,18,19,20,21,22,23,24 。解析:(1)設(shè)方程x2 -3 = 0的實(shí)數(shù)根為X，并且滿足條件X2 -3 = 0因此，用描述法表示為A = x I x2 -3 = 0, x e R；方程X2 -3 = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根點(diǎn)-V3因此，用列舉法表示為A

18、= 3，-*.(2)設(shè)大于15小于25的整數(shù)為X，它滿足條件xe Z，且15x25，因此，用描述法表示為B = x I15 x -x (5) M =x(6)P=x|x(x-a)=0， aE R解析：本題是描述法與列舉法的互化，一定要先觀察描述法中代表元素是什 么.A=(1， -2， -1， 2B=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)C=(0，1，2，3D=(0，0) M=0(6)當(dāng) a#0 時(shí)，P=0，a；當(dāng) a=0 時(shí)，P=0.點(diǎn)評：此例題（2）與（3）, （4）與（5）兩組都是考察代表元素的，而（6） 考察了集合元素的互異性，遇到代數(shù)式時(shí)，能否意識到字母ae R，需要分類討 論.【變式2】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）比5大3的數(shù)；（2）方程x2 + y2 -4x + 6y +13 = 0