微積分課件1第三章3

1、第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值二、函數(shù)極值的定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 注：函數(shù)的極值是一個(gè)局部的定義，因此又可稱為局部極值，相應(yīng)的有局部極大值和局部極小值。二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,判別法則(第一充分條件)設(shè)函數(shù) 滿足(是極值點(diǎn)情形)那么如何判定駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)解列表討論極大值極小值例1圖形如下練習(xí)解列表討論極小值不是極值用判別法則時(shí)，只需求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，但需判斷駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，這比較麻煩這樣就有了判別法則，可以很方便的判斷出是不是極值。定理3(第二充分條件)證同理可證(2).解練習(xí)注

2、意:例2例2解極小值例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題： 商品經(jīng)營(yíng)者制定價(jià)格要使利潤(rùn)最高，工廠訂購(gòu)生產(chǎn)資料要考慮訂貨和貯存等費(fèi)用最低，體育比賽中運(yùn)動(dòng)員要力爭(zhēng)創(chuàng)造最佳成績(jī)，動(dòng)物的生理構(gòu)造也在長(zhǎng)期進(jìn)化過程中達(dá)到了某種意義下的最佳狀態(tài)。這些問題都可歸結(jié)為求解函數(shù)的最值問題。一、最值的求法步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)二、應(yīng)用舉例例4解計(jì)算比較得實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;運(yùn)輸

3、模型是管理運(yùn)籌學(xué)中重要的組成部分。 例5是運(yùn)輸模型中的最簡(jiǎn)單的一個(gè)產(chǎn)地一個(gè) 銷地問題。例5 鐵路線上AB段的距離為100km。工廠C距A處 為20km，AC垂直于AB。為了運(yùn)輸需要，要 在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路。 已知鐵路上每km貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每km 貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3：5，為了使貨物從供 應(yīng)戰(zhàn)B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問D應(yīng)選在 何處？例6例7某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月 元，租出去的房子有 套，每

4、月總收入為（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？其中河寬0.5公里，逃跑時(shí)，我軍與敵人的水平距離為4公里解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停例7解如圖,解得三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問題求最值的步驟.思考題思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在 有最小值，但練 習(xí) 題練習(xí)題答案三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)思考題下命題