02.量子物理第二章方程有補充

1、第27章方程洛意關(guān)于物質(zhì)波的概念傳到作了一個關(guān)于物質(zhì)波的后，后， 德拜(P.Debye)評論說：有了波，就應(yīng)有一個波動方程。幾個月后，果然提出了一個波方程，這就是后來在量子力學(xué)中著名的方程。方程是量子力學(xué)的動力學(xué)方程，象方程一樣，不能從更基本的方程推導(dǎo)出來；它是否正確，只能由實驗檢驗。方程的建立(方程法)1一.1.一維方程 一維運動粒子無勢場，不受力，動量不變。 一維運動粒子的波函數(shù)(前已講)由此有 xih= ()P2 = -(P 2 ) x2h2P22mE =再利用2h2) (x, t)-(x22m= ih ( ) (x, t) t運動粒子(無勢場)的此即一維方程推廣到若粒子在勢場 U(x,

2、 t) 中運動P22m由有E =+U(x, t)(x, t) = 0 e-i(2/h) (Et px)一維方程式中 = (x, t)是粒子在勢場 U= U(x, t)中運動的波函數(shù)P22m和經(jīng)典關(guān)系E =+U(x, t)相比較,只要把再作用到波函數(shù) (x, t) 上，即上述方程。到E ih( ) tP -ih( ) x-h2( 2 ) + U(x, t)2mx2= ih ( ) t2.三維方程式由一維方程推廣三維方程式算符2x22y22z22+(三維方程式在球坐標(biāo)下的形式請見p332)U(r, t) = 0 時，方程的解，即三維運動粒子的波函數(shù)當(dāng)(r, t) =0 e(-i / h) (E t

3、 p r )-h22 + U(r, t) (r, t) 2m= ih ( ) (r, t ) t波函數(shù)的疊加原理方程是 的線性微分方程；若1、2 是方程的解，則 c11 + c22 也是方程的解。(c1 、c2 是常數(shù)) E.Schrodinger & P.A.M.Dirac榮獲1933 年 Nobel Prize (for the discoveryofnew productive forms ofatomictheory)(1887-1961)奧地利人創(chuàng)立量子力學(xué)二.定態(tài)方程1.一維定態(tài)方程若粒子在恒定勢場U = U (x)(含常數(shù)勢場 U = U0 )方程式可用分離變量法求解。中運動(1

4、)分離變量把波函數(shù)寫為(x,t) = (x)T(t)代入一維方程( 2 ) + U(x)h22m-x2= ih ( ) t則分為兩個方程ih dT(t)= ET(t)(1)d td2h2+ U(x) (x) = E (x)(2)-2mdx2E 在這里是分離常數(shù)，與 x、t 無關(guān)(1)式的解T(t) = ce-(i/h)Et由量綱分析可知，E 具有能量的量綱。(2)一維定態(tài)方程式(2)即 一維定態(tài)方程 = (x)定態(tài)波函數(shù)它所描寫的粒子的狀態(tài)稱作定態(tài)，是能-h2d2+U(x) (x) 2mdx2= E (x)量取確定值的狀態(tài)。概率密度(x,t) *(x,t) (x) *(x)定態(tài)下的概率密度和時

5、間無關(guān)2.三維定態(tài)U= U(r)方程U(x,y,z)或同樣三維定態(tài)方程三.波函數(shù)的物理條件用來描寫實物粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足下列物理條件1.標(biāo)準(zhǔn)條件： (x)必須 單值、有限、連續(xù)-h22 + U(r) (r) 2m= E(r)因為，粒子的概率在任何地方只能有一個值；不可能無限大；不可能在某處發(fā)生突變。2.歸一化條件粒子在空間各點的概率總和應(yīng)為l定態(tài)下一維定態(tài)*在量子力學(xué)中用方程式 加上波函數(shù)的物理條件 (x) *(x) dx = 1-全空間 (r ) *(r ) d = 1全空間 (r, t) *(r, t) d = 1求解微觀粒子在一定的勢場中的運動問題(求波函數(shù)，狀態(tài)能量，概率密度 等)例2

6、7.1(P332)一質(zhì)量為m 的粒子在空間繞一定點做圓周運動，圓半徑為 r。求粒子的波函數(shù)并確定其可能的能量和角動量。解：三維定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)求解粒子的波函數(shù)(散射問題)。一.一維無限深方勢阱中的粒子模型：金屬電子運動，很難逸出金屬表面。不考慮點陣離子的電場時，可認(rèn)為是無限深方勢阱。U(x)U(x)U=U0U=U0UU極限a0 xx一維無限深方勢阱1.勢函數(shù)U(x) =(0 x a)(x 0, x a)0U(x)粒子可在區(qū)范圍內(nèi)運動，但不能到0ax達(dá)區(qū)和區(qū)。金屬aEU=0EU=02.定態(tài)阱內(nèi)方程d2 dx2h22m)(x) = E (x)(-令= 2mE k2h2則阱內(nèi)方程d2 (x) +

7、k2 (x) = 0dx23.分區(qū)求通解阱外： 1(x) = 0 ；3(x) = 0阱內(nèi)： 2(x) = Asin(kx +)A、：待定常數(shù)。4.由波函數(shù)物理條件定具體解單值條件已滿足有限條件已滿足由連續(xù)條件：2(0) =1(0) = 0Asin =02(a) =3(a) = 0Asinka+ =0 = 0ka = n有，n =1,2,3,于是 2(x) = Asin(n/a)x由歸一條件：波函數(shù)的空間部分5.概率密度n(x) = |nE、n(x)、|n(x)|2(x)|2n = 3|n|2Enn = 2n 很大量子 經(jīng)典n = 10ax量子理論：概率密度呈周期性分布；經(jīng)典粒子：概率密度在阱內(nèi)

8、各處相等(粒子在阱內(nèi)運動)3 勢壘一.一維勢壘(barrienetration)粒子從 x = - 處以確定能量 E 入射；給定勢函數(shù) U(x)；解定態(tài)方程，求粒子的波函數(shù)和概率分布。兩塊金屬或半導(dǎo)體接觸處勢能隆起，形成勢壘。U (x)1.勢函數(shù)U= U0EU = 0II 區(qū)I 區(qū)o(x 0)xU(x) =0 ，U0，入射能量 E U02.定態(tài) I 區(qū)方程d21(x)2mE1(x) =0,+(x0)k2h2有d (x)21+k (x) = 0,2(x 0)令 2m (E - U ) = -,( 0)20h2有d22(x)- 22(x) = 0,(x0)dx23.通解1(x) = Aeikx+

9、Be-ikx2(x) = Ce-x + Dex4.物理條件有限：當(dāng) x 時，2(x)應(yīng)有限，D = 0，得于是1(x) = Aeikx+ Be-ikx(波動型解)入射波反射波2(x) = Ce-x其他常數(shù)均可定出(指數(shù)型解)U(x)U= U0 (x)EII 區(qū)U = 0I 區(qū)ox5.概率密度( x 0 區(qū))|2(x)|2 e-2x= e -22m(U0 -E)/ h2 x|2(x)|2可見x 0 區(qū)(E U0)粒子出現(xiàn)概率0(和經(jīng)典不同)U0、x 概率 電子逸出金屬表面的模型量子：電子透入勢壘，在金屬表面形成一層電子氣。經(jīng)典：電子不能進入 E(總能量) 0 區(qū)域， E 0 區(qū)域，概率密度： |

10、2(x)|2 = C2e-2x當(dāng) x = 1/2 時，概率密度降為 1/e位置不確定度：h2x = 1=222m(U0 E )動量不確定度：p h = 2m(U E )2x0粒子進入的速度 = = p = 2 (U E )/mm0粒子進入的時間不確定度h x t =4(U0 E )粒子能量的不確定度E h 2 (U0 E )2t粒子的總能量為E +E粒子動能的不確定度Ek = ( E +E ) U0 U0 E粒子動能的不確定度大于其名義上的負(fù)動能的值。負(fù)動能被不確定關(guān)系“掩蓋”了， 它是一種觀察不到的“虛” 動能。二.隧道效應(yīng)(tunneling effect)(勢壘)U (x)U= U0 (

11、x)Eoxa透射系數(shù) T：粒子勢壘的概率。(粒子可到達(dá) x a 的區(qū)域)比喻：經(jīng)典U = 0U = 0例放射性核的 粒子U (x)U(x)ox核內(nèi)勢壘及粒子的隧道效應(yīng)黑洞黑洞邊界是物質(zhì)(包括光)只能進不能出的“單向壁”；對黑洞內(nèi)的物質(zhì)來說，“單向壁”就是一個絕高的勢壘；黑洞內(nèi)的物質(zhì)可通過隧道效應(yīng)逸出- 黑洞蒸發(fā)熱核反應(yīng)其它例：熱核反應(yīng)是兩個帶正電的核(如 2H 和 3H)聚合時產(chǎn)生的。兩核間的斥力作用相當(dāng)于一高勢壘；2H 和 3H 通過隧道效應(yīng)聚合到一起：核能越大，勢壘厚度越小，聚合的概率越大(這是熱核反應(yīng)需 108K 的高溫的原因)掃描隧道顯微鏡(Scanning TunnelingMicr

12、oscope)1986 年榮獲利用了隧道效應(yīng)。獎的掃描隧穿顯微鏡隧道電流 idU0AU0U0U探針E樣品電子云用隧道效應(yīng)觀察樣品表面的微結(jié)構(gòu)dBBA圖象處理系統(tǒng)掃描探針樣品表面電子云隧道電流 I 與樣品和針尖間的距離 d 關(guān)系敏感：I U exp-A()1/2d其中：d 樣品和針尖間的距離U加在樣品和針尖間的微小電壓 A常數(shù)平均勢壘高度隧道電流是電子波函數(shù)程度的量度，通過它可“直接看到”樣品表面結(jié)構(gòu)。硅表面77重構(gòu)圖象STM (中國化學(xué)研究所研制的CSTM-9000 型掃描隧道顯微鏡)用 STM 得到的神經(jīng)細(xì)胞象用AFM得到的癌細(xì)胞的表面圖象三.原子搬遷:量子圍欄：圍住圈內(nèi)處于銅表面的電子，故

13、稱作量子圍欄(quantum corral)。根據(jù)鐵原子對表面電子的強散射作用，M.Crommie 等最初設(shè)想可以用 Fe 原子做成對表面電子的量子化“禁錮”結(jié)構(gòu)，象圍牲口一樣將電子圍起來。他們的量子圍欄確實起到了這樣的作用。Fe 原子并非密集排列，但卻同續(xù)圍欄差不多，很少有電子能透過圍欄“逃”出去。圍欄內(nèi)的電子波如到圍欄處，就會因Fe 原子的強烈散射而被擋回去，從而在欄內(nèi)形成同心圓狀的駐波，導(dǎo)致圍欄內(nèi)同心圓狀的局域態(tài)密度起伏。圖中的波紋就是電子駐波，是世界上首次觀察到的電子駐波的直觀圖形。另一張MIT 的 Kastner 認(rèn)為這一成就表明：“你能做任何人過去作夢也想不到的事情”。由于這一貢獻(xiàn)

14、，賓、羅和了 1986 年度的三人物理獎。前兩人是掃描隧道顯微鏡的直接發(fā)明者，第三人是 1932 年電子顯微鏡的發(fā)明者，這里是為了追朔他的功勞。附：分子搬遷1991 年 2 月 IBM 的“原子書法”小組又創(chuàng)造出“分子繪畫”藝術(shù)“CO小人”。圖中每個白團是單個 CO 分子豎立在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子，CO 分子的間距：0.5 nm；“分子人”身高：5 nm，堪稱為世界上最小的“小人圖”。操作方法：把 STM 針尖移到吸附于鉑表面的 CO 分子的頂端，一股細(xì)小電流 ，削弱 CO 分子和鉑表面的結(jié)合力，變成 CO 分子和針尖的結(jié)合。這樣 CO 分子就會隨針尖移動到新的位置，并粘附到鉑表面上。多次移動后形成一個可愛的“大腦袋的小人”。移動分子實驗的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子新分子的目標(biāo)又前進了一步，其內(nèi)在意義目前尚無法估量。其他還有銻分子，有機分子、水分子搬遷等。3 諧振子諧振子模型是一維振動的簡化模型，固體中原子的振動即可用此模型來。一.勢函數(shù)U = 1= 1m2xkx222 = k/m- 振子的固有頻率二.一維諧振子的方程d2 dx22m h212m x ) = 0