【高三數(shù)學知識點總結】34：概率

1、概率1.隨機事件的概率（1）必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件；（2）不可能事件：在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件；（3）隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.（4）隨機事件的概率：對于給定的隨機事件在大量重復進行同一試驗時，事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們把這個常數(shù)常數(shù)稱為隨機事件的概率，記作注：由定義可知必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.2. 事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關系若AB且BAAB并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或

2、事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件(AB)，則稱事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件AB， P(A)+P(B)=13.古典概型（列舉法）（1）古典概型的兩大特點： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 所有的基本事件只有有限個； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.（2）古典概型的概率計算公式：如果一

3、次試驗的等可能基本事件共有個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是如果某個事件包含了其中個等可能基本事件，那么事件發(fā)生的概率為例1-1【2020全國I文】設為正方形的中心，在中任選三點，則取到三點共線的概率為（ ） B. C. D.例1-2【2016全國I文】為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任取2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ） B. C. D.例1-3【2016江蘇高考】將一顆質地均勻的骰子（一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是 .答：1-1：A

4、；1-2：C； 1-3： .4.互斥事件和對立事件（1）互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件.一般地，如果事件中的任意兩個都是互斥事件，則稱事件彼此互斥.（2）互斥事件概率公式：如果事件互斥，那么事件發(fā)生（注：表示事件至少有一個發(fā)生）的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的和，即推廣：一般地，若彼此互斥，那么注：若A，B不互斥，則（3）對立事件：如果兩個互斥事件必有一個發(fā)生，那么稱這兩個事件為對立事件.事件的對立事件記為（4）對立事件的概率公式： 注：“至多”，“至少”的問題考慮反面（對立事件）往往比較簡單.例2-1：某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生

5、喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（ ）A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%例2-2：將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，至少有一次向上的點數(shù)為1的概率是 .答：2-1：C； 2-2： 5.事件的獨立性（1）條件概率：一般地，對于兩個事件和在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，稱為事件發(fā)生的條件下事件的條件概率，記為 概率的乘法公式：注：事件表示事件和事件同時發(fā)生.（2）事件的獨立性 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 定義：一般地，若事件滿足（即事件發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率），則稱事件獨立. = 2 * GB3 * M

6、ERGEFORMAT 性質：若事件相互獨立，則事件與，與與都相互獨立. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 公式：事件相互獨立的充要條件是 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 推廣：若相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率為 = 5 * GB3 * MERGEFORMAT 區(qū)別：獨立事件與互斥事件的根本區(qū)別在于是否能同時發(fā)生，如果不能那是互斥事件，如果能再滿足則為獨立事件.注：求條件概率的兩個思路：思路一：縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式P(A|B)eq f(n(AB),n(B)計算；思路二：直接利用公式計

7、算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)eq f(P(AB),P(B)計算.全概率公式設是一組兩兩互斥的事件，且則對任意的事件有我們稱上面的公式為全概率公式.全概率公式是概率論中最基本的公式之一.6.離散型隨機變量及其概率分布隨機變量：一般地，如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，通常用大寫拉丁字母（或小寫的希臘字母，）等表示，而用小寫拉丁字母（加上適當下標）等表示隨機變量可能的取值.（2）離散型隨機變量的概率分布：一般地，假定隨機變量有個不同的取值，它們分別是，且， 則稱為隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列也可以將用表的形式來表示

8、 我們將表稱為隨機變量的概率分布表它和都叫做隨機變量的概率分布注： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 求隨機變量的概率分布的步驟：1.確定的可能取值；2.求出相應的概率；3.列成表格的形式.7.常見離散型隨機變量的概率分布（1）兩點分布（0-1分布）若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為 01則（2）超幾何分布 一批產(chǎn)品共件，其中有件次品，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，稱服從超幾何分布，記為并將記為01則；（了解）.8.二項分布（1）次獨立重復試驗（伯努利試驗

9、）一般地，由次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有兩種對立的狀態(tài)，即和每次試驗中我們將這樣的試驗稱為次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗.二項分布一般地，在次獨立重復試驗中，設事件發(fā)生的次數(shù)為在每次試驗事件發(fā)生的概率均為那么在次獨立重復試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為.此時稱隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，記作（3）均值與方差若則，注：超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系（1）區(qū)別：是否有放回是兩個的本質區(qū)別，有放回是二項分布，無放回是超幾何分布；（2）聯(lián)系：當總體容量較大時如流水線上，也可以用二項分布近似超幾何分布.9.離散型隨機變量的均值與方差（1）一般地，若離散型隨機變量的概率分布為

10、其中則有如下公式1.均值（數(shù)學期望）：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平注：對于連續(xù)型變量通常取“組中值”來代替計算期望.2.方差：(方差也可以用V(x)表示），它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.3.標準差：注：隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度.方差或標準差越小，隨機變量偏離于均值的平均程度就越小，穩(wěn)定性就越好.均值和方差的性質若隨機變量（為常數(shù)），則10.正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線函數(shù)其中實數(shù)和為參數(shù)(0，R).我們稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線（2）正態(tài)曲線的特點曲線位于x軸上方，與x軸不相交；當無限增大時，曲線無限接近軸.曲線是

11、單峰的，它關于直線對稱；曲線在處達到峰值 eq f(1,r(2) ；曲線與x軸之間的面積為1；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示（3）正態(tài)分布的定義及表示 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，則記作其中，參數(shù)反映了正態(tài)分布的集中位置，反映了隨機變量的分布相對于均值的離散程度，此時，.特別地，當時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，記作XN（0，1）. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若則如圖所示，取值不超過為圖中區(qū)域的面積，而為區(qū)域B的面積. （4）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974 注：在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，這在統(tǒng)計學中稱為原則.在次區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.【解題規(guī)范】【2014江蘇高考】盒中共有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同。（1）從盒中一次隨機抽出2個球，求取出的2個球的