二次函數綜合題2022年重慶數學中考一模匯編

1、二次函數綜合題2022年重慶數學中考一模匯編如圖，已知二次函數 y=33x2+233x-3 的圖象與 x 軸交于點 A，B，交 y 軸于點 C，拋物線的頂點為 D(1) 求拋物線頂點 D 的坐標以及直線 AC 的函數表達式；(2) 點 P 是拋物線上一點，且點 P 在直線 AC 下方，點 E 在拋物線對稱軸上，當 BCE 的周長最小時，求 PCE 面積的最大值以及此時點 P 的坐標；(3) 在（2）的條件下，過點 P 且平行于 AC 的直線分別交 x 軸于點 M，交 y 軸于點 N，把拋物線 y=33x2+233x-3 沿對稱軸上下平移，平移后拋物線的頂點為 D，在平移的過程中，是否存在點 D

2、，使得點 D，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，若存在，直接寫出點 D 的坐標；若不存在，請說明理由如圖 1，在平面直角坐標系中，拋物線 y=12x2-2x-6 與 x 軸交于 A，B 兩點（點 A 在點 B 左側）與 y 軸交于點 T，拋物線頂點為 C(1) 求四邊形 OTCB 的面積；(2) 如圖 2，拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 D，線段 EF 與 PQ 長度均為 2，線段 EF 在線段 DB 上運動線段 PQ 在 y 軸上運動，EE，FF 分別垂直于 x 軸，交拋物線于點 E，F，交 BC 于點 M，N請求出 ME+NF 的最大值，并求當 ME+NF 的值最大時，四邊形 PNMQ

3、 周長的最小值；(3) 如圖 3，連接 AT，將 AOT 沿 x 軸向右平移得到 AOT，當 T 與直線 BC 的距離為 55 時，求 AOT 與 BCD 的重疊部分面積如圖，拋物線 y=-12x2+52x+3 與 x 軸交于點 A 、點 B，與 y 軸交于點 C，點 D 與點 C 關于 x 軸對稱，點 P 是 x 軸上的一個動點，設點 P 的坐標為 m,0，過點 P 作 x 軸的垂線 l 交拋物線于點 Q(1) 求直線 BD 的解析式；(2) 當點 P 在線段 OB 上運動時，直線 l 交 BD 于點 M，當 DQB 面積最大時，在 x 軸上找一點 E，使 QE+55EB 的值最小，求 E

4、的坐標和這個最小值(3) 在點 P 的運動過程中，是否存在點 Q，使 BDQ 是以 BD 為直角邊的直角三角形？若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由答案1. 【答案】(1) y=33x2+233x-3=33x+12-433，頂點 D 的坐標為 -1,-433，當 y=0 時，33x2+233x-3=0，解得 x1=-3，x2=1， A-3,0，B1,0當 x=0 時，y=-3， C0,-3，設直線 AC 的解析式為 y=kx+b，將 A-3,0，C0,-3 代入得，-3k+b=0,b=-3, 解得，k=-33,b=-3, 直線 AC 的解析式為 y=-33x-3(2) BCE 的周

5、長為 BC+CE+BE，其中 BC 的長是固定的， 周長取得最小值就是 BE+CE 取得最小值， 點 E 是拋物線對稱軸上一點， BE=AE， BE+CE=AE+CE， BE+CE 的最小值是 AC，點 E 是 AC 與對稱軸的交點 點 E 為 -1,-233 點 P 是拋物線上 x 軸下方一點，設點 P 為 t,33t2+233t-3，且 33t2+233t-30過點 P 作 QPx 軸交直線 AC 于點 Q，如圖 1，點 Q 坐標為 t,-33t-3當點 P 在對稱軸左側時， SPCE=SPCQ-SPEQ=12PQ0-t-12PQ-1-t=12PQ，當點 P 在對稱軸的右側時， SPCE=

6、SPCQ+SPEQ=12PQ0-t+12PQt-1=12PQ， PQ=-33t-3-33t2+233t-3=-33t2-3t， SPCE=12PQ=-36t2-32t=-36t+322+338當 t=-32 時，PEC 的面積最大，最大值是 338，此時，點 P 的坐標為 -32,-534(3) 存在點 D，使得點 D，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，D 點的坐標為 -1,-73+4198，-1,-73-4198，-1,-1134，-1,1734【解析】(3) 圖 2 經過點 P 且平行于 AC 的直線 MN 的解析式為 y=-33x-734，當 x=0 時，y=-734，即 N0,-7

7、34，當 y=0 時，x=-214，即 M-214,0，設點 D 的坐標為 -1,d，則 MN2=-2142+-7342=1474， MD2=-214-12+d2=28916+d2， ND2=-12+-734-d2=d2+732d+16316當 MDN=90 時，MD2+ND2=MN2，即 28916+d2+d2+732d+16316=1474，整理，得 4d2+73d-17=0，解得 d1=-73+4198，d2=-73-4198；當 NMD=90 時，MD2=ND2+MN2，即 28916+d2=d2+732d+16316+1474，化簡，得 732d=-2318，解得 d=-1134；當

8、 NMD=90 時，ND2=MD2+MN2，即 d2+732d+16316=28916+d2+1474，化簡，得 732d=3578，解得 d=1734 存在點 D，使得點 D，M，N 三點構成的三角形為直角三角形，D 點的坐標為 -1,-73+4198，-1,-73-4198，-1,-1134，-1,17342. 【答案】(1) 如圖 1，連接 OC， y=12x2-2x-6=12x-22-8， 拋物線的頂點坐標為 C2,-8，對稱軸為直線 x=2，T0,-6，令 y=0，A-2,0，B6,0， OT=6，OB=6， S四邊形OTCB=SOTC+SOBC=12OTxc+12OByc=30.(

9、2) 設 Em,0， Fm+2,0， B6,0，C2,-8， 直線 BC 解析式為 y=2x-12， EEx 軸，FFx 軸， Mm,2m-12，Em,12m2-2m-6， Nm+2,2m-8，Fm+2,12m2-8， ME=-12m2+4m-6，NF=-12m2+2m， ME+NF=-12m2+4m-6-12m2+2m=-m-32+3, 當 m=3 時，ME+NF 有最大值，最大值為 3， E3,0，F5,0， M3,-6，N5,-2， MN=25， EF=PQ=2， C四邊形PNMQ=PN+MN+PQ+MQ如圖 2，將 N 向下平移 2 個單位，得到對應點 N1， N15,-4，又作 N1

10、 關于 y 軸的對稱點 N2，連接 N1N2，MN2 與 y 軸的交點為 P，Q，易得 PN=N2Q，此時 MN2 最小， MN2=PN+MQ， N2-5,-4， MN2=217， C四邊形PNMQ最小值=MN2+MN+PQ=217+25+2(3) 如圖 3， C2,-8，B6,0， BC=45，BD=4，CD=8連接 TT 并延長交 BC 于 R， T 到 BC 的距離為 55，過 T 作 TSBC，垂足為 S， TS=55， TRSCBD， TRCB=TSCD， TR=TSCBCD=12 TTx 軸， R3,-6， T152,-6，T272,-6，當 T 為 T152,-6， T 在 BC

11、D 內部，如圖 4， AOT 與 BCD 重疊部分為梯形，設 AT 與 CD 的交點為 G，則 AGDATO， O52,0， AD=32， GDTO=ADAO， GD=92， DO=12， S重疊=GD+TO1212=218當 T 為 T272,-6，T 在 BCD 外部，如圖 5，設 AT 與 CD，BC 交于 J，K， TO 與直線 BC 交于點 H， O72,0，A32,0，H72,-5， 直線 AT 為 y=-3x+92， J2,-32， K3310,-275， S重疊=SBCD-SCJK-SBHO=22140， 重疊面積為 218 或 221403. 【答案】(1) 當 y=0 時，

12、-12x2+52x+3=0，解得 x1=6，x2=-1，所以 A-1,0，B6,0，當 x=0 時，y=3，則 C0,3因為點 D 與點 C 關于 x 軸對稱，所以點 D 為 0,-3設直線 BD 的解析式為 y=kx+b，將 D0,-3 和 B6,0 分別代入解析式得 b=-3,6k+b=0, 解得：k=12,b=-3. 所以直線 BD 的解析式為 y=12x-3(2) 如圖 1，設點 P 的坐標為 m,0，則點 Qm,-12m2+52m+3，Mm,12m-3 QBD的面積=12OBQM=126-12m2+52m+3-12m+3=-32m-22+24, 所以當 m=2 時，QBD 的面積有最

13、大值，此時 Q2,6如圖 2 所示：過點 E 作 EFBD，垂足為 F在 RtOBD 中，OB=6，OD=3，則 BD=35，所以 sinEBF=EFBE=sinOBD=ODBD=335=55，所以 EF=55BE，所以 QE+55EB=QE+EF，所以當點 Q，E，F 在一條直線上時，QE+55EB 有最小值，過點 Q 作 QFBC，垂足為 F，QF 交 OB 與點 E設 QF 的解析式為 y=-2x+b，將點 Q 的坐標代入得：-4+b=6，解得 b=10所以 QF 的解析式為 y=-2x+10當 y=0 時，-2x+10=0，解得 x=5，所以點 E 的坐標為 5,0，即點 E 的坐標為

14、 5,0 時 QE+55EB 有最小值所以 QE+55EB 的最小值 =5-22+6-02+556-5=35+55=1655(3) 當 QDB=90 時，如圖 3， DQ 的解析式為 y=-2x-3將 y=-2x-3 與 y=-12x2+52x+3 聯立解得：x=9+1292 或 x=9-1292所以點 Q 的坐標為 9+1292,-12-129 或 9-1292,-12+129，當 QBD=90 時，如圖 4， DQ 的解析式為 y=-2x-7.5-3=-2x+12，將 y=-2x+12 與 y=-12x2+52x+3 聯立解得 x=3 或 x=6（舍去），所以點 Q 的坐標為 3,6當 BQD=90 時，如圖 5，設點 Q 的坐標為 x,-12x2+52x+3，