(完整版)高考數(shù)學(xué)-基本不等式(知識(shí)點(diǎn)歸納)

1、 高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用一基本不等式a2 b21.（1）若 , ，則a b 2ab (2)若 , ，則（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）a ba b R22a b Rab 2a b2. (1)若a,b R* ，則(2)若a,b R 2 a b* ，則a b ab （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）ab22 a b (3)若a,b R* ，則ab (當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)取“=”）211 03.若x ，則x 2x 1 x 0 x 2(當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取“=”）(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）;若 ，則xx111 0若x ，則a bx 2即x 2或x -2xxx 03.若ab ，

2、則a ba b 2b aa ba ba b 0a b(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）若ab ，則 b a2即 或 2-2b ab aa ba2 b24.若a,b R ，則 b（當(dāng)且僅當(dāng)a 時(shí)取“=”）() 222注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例 1：求下列函數(shù)的值域12x（2）yx1x（1）y3x 2211解：（1）y3x 2 3x 6 值域?yàn)?6 ，

3、+）222x2x2211（2）當(dāng)x0 時(shí)，yx 2 x 2；xx111當(dāng)x0 時(shí)， yx = （ x ）2 x =2xxx值域?yàn)椋ǎ?2，+）解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)51例 1：已知x ，求函數(shù)的最大值。y 4x 2 44x 51解：因4x 5 0 ，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x 2)不是常數(shù)，所以對(duì)4x 2 要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x 5511 2 3 1x ,5 4x 0， y 4x 2 5 4x 34x4 55 4x 1當(dāng)且僅當(dāng)5 4x x 1，即 時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng) 時(shí)， 。x 1y 15 4xmax1 例 1. 當(dāng)解析：由時(shí)，求 y的最大值。知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積

4、為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將 y x(8 2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。 x(8 2x)的最大值為 8。當(dāng)，即 x2 時(shí)取等號(hào) 當(dāng) x2 時(shí)， y評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。3，求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。232解：0 x 3 2x 0 4 (3 2 ) 2 2 (3 2 ) 2 yxxxx223即 x時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)且僅當(dāng)4x2y 解析一：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。4 5 9（當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“”號(hào)）。當(dāng),即x

5、 1解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。422y =ttt4當(dāng)（當(dāng) t=2 即 x1 時(shí)取“”號(hào)）。t評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)y mg(x) B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值。值。即化為g(x)a技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù) fxx2例：求函數(shù) y的值域。x211解：令 x2 4 t(t 2)，則xy 2x2 4t11 0,t 1，但t 因t，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。tt1因?yàn)?y在區(qū)間單調(diào)遞增，

6、所以在其子區(qū)間。t2 5,所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.11x2 3x 1,( x 0)x(3)y 2sin x , x 3, x(0, )（2）y 2x （1）ysin xx323y x(1x)y x(23x) 的最大值.2已知0 x 1，求函數(shù)條件求最值的最大值.；30 x ，求函數(shù)1.若實(shí)數(shù)滿足a b 2，則3 3的最小值是.ab3 3a分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，b3 和3a3 3 2 3 3 2 3 6解：都是正數(shù)，a bbabab3 3aa b 2 3 3 a b 1即當(dāng)a b 1時(shí)，

7、3 3的最小值是 6當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得babab1 1x ylog x log y 2變式：若，求的最小值.并求x,y的值44技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。1 92：已知x 0, y 0 ，且 1x yx y，求 的最小值。1 9 12 1 9 9 x y 20, y 0錯(cuò)解： x，且 1，x y故 x y。x y 2 xy 12min x y xy錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在x y 2 xyx y等號(hào)成立條件是 ，在等號(hào)成立1 99 2x yxy1 9x y即y 9x ,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理

8、問題時(shí)，列出條件是等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。1 9 1 9 9x y正解： 0, 0, 1， 10 610 16xyx y x y x y x y x y9x1 9 x yy 161x y 4, y 12當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得x時(shí)， x y。min變式： （1）若x, y R 且2x y 11 1，求 的最小值xy 1，求x y的最小值a,b, x, y R a b(2)已知且x yy2技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 1，求x 1y 的最大值.2223 a b22分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。211y21 y 2 x 2

9、 222同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn) 1y 中y 前面的系數(shù)為 ， x 1y x 222221 y2下面將x， 分別看成兩個(gè)因式：2 21 yx ( ) x y 122221 y2 222 2 31 y322 x 2 2 即x 1y 2 x2242 2 421技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y 的最小值.ab分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。

10、302bb1302bb12 b 30b2法一：a，a bbb1由a0 得，0b152t 34t3116t16t16t2令tb+1，1t16，ab2（t ）34t 2 t 8t1 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6 時(shí)，等號(hào)成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab令u ab 則u2 2 u300， 5 2 u3 22 ab 3 2 ，ab18，y118a b ab（a,b R ）點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 3 0（a,b R ） 出發(fā)求得 的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b ab之間的關(guān)系，由此想到

11、不等 與aba b a b（a,b R ）式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab 的不等式，進(jìn)而解得ab 的范圍.2變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為 1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W 3x 2y 的最值.ab a b22解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系， ，本題很簡(jiǎn)單223x 2y 2 （ 3x ）（ 2y ） 2 3x2y 2 522解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W3x2y2 3x 2y 102 3x 2

12、y 10( 3x ) ( 2y ) 10(3x2y)20222 W 20 2 515變式: 求函數(shù)的最大值。y 2x 1 5 2x( x )224 2x 1 5 2x與解析：注意到的和為定值。y ( 2x 1 5 2x) 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 822 0又y ，所以0 y 2 2322x 1 5 2x=，即x y 2 2時(shí)取等號(hào)。 故 。當(dāng)且僅當(dāng)max評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利

13、用基本不等式證明不等式1已知a,b,c 為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a b c ab bc ca2221）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc111 Ra b c 1。求證： 111 8例 6：已知a、b、c ，且 a b c 分析：不等式右邊數(shù)字 8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“ 2 ”連乘，又11 a b c 2 bc，可由此變形入手。1 aaaa11 a b c 2 bc12 ac12ab R a b c 1解： a、b、c ，。1。同理1， 1。aaaabbcc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得11112 bc 2 ac 2 ab b c 111 8 。當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)。3 a b c abc應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題1 9例：已知x 0, y 0 且 1，求使不等式x y mx y恒成立的實(shí)數(shù) 的取值范圍。m1 9x y 9x 9y10 y 9xx y k